高中数学必修一教案 第1章集合与函数第7课时　函数的表示方法

第7课时　函数的表示方法
●三维目标
1．知识与技能
(1)明确函数的三种表示方法；
(2)会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；
(2)通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．
2．过程与方法
学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程．
3．情感、态度与价值
让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法．
●重点、难点
重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．
难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象．
●教学建议
1．关于选用适当的方法来表示函数的教学
建议教师在教学中，多结合一些实例，使学生了解各种不同的表示函数的方法的特点，并能学会选择适当的方法表示函数．
2．对于函数与其图象的关系的理解与把握
建议教师从函数概念出发，结合对应的概念，使学生能够从数形结合的角度准确把握函数与其图象的关系．
课标解读
1.理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数(重点)．
2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值(重点、难点).
知识一
函数的表示方法
【问题导思】　
某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔．每支铅笔的价格为0.5元，共需y元．于是y与x间建立起了一个函数关系．
1．函数的定义域是什么？ 【提示】　{1,2,3,4,5}．
2．y与x的关系是什么？ 【提示】　y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．
3．试用表格表示铅笔数x与钱数y之间的关系． 【提示】　
铅笔数/支
1
2
3
4
5
钱数y/元
0.5
1
1.5
2
2.5
4．试用图象表示x与y之间的关系．
【提示】　
列表 等式 图像
知识二
分段函数
【问题导思】　
国内投寄信函(本埠)，假设每封信函不超过20 g付邮资0.8元，超过20 g不超过40 g付邮资1.6元，依此类推，每封x g(01．x与y是否具有函数关系？ 【提示】　有函数关系．
2．其函数的定义域、值域各是什么？【提示】　定义域为03．x与y之间关系有何特点？ 【提示】　x在不同区间内取值时与y所对应的关系不同．
知识归纳：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数.
考点1
求函数的解析式
【例1】求下列函数的解析式：
(1)已知函数f(x)是一次函数，且f(f(f(x)))＝8x＋7，求f(x)．
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
【规律方法】
1．求函数解析式的常用方法是待定系数法和换元法．当已知函数的类型时，可设出其函数解析式，利用待定系数法求解，这里包含着方程思想的应用．
2．当不知函数类型时，一般可采用换元法，所谓换元法即将接受对象“＋1”换作另一个字母“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便可求出关于“t”的函数关系，此即为所求函数解析式，但要注意自变量取值范围的变化情况．
3．另外，求函数解析式的方法还有配凑法、解方程组法等．
【变式训练】
求下列各题中f(x)的解析式．
(1)已知函数f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)； (2)已知f(＋4)＝x＋8，求f(x)．
(3)已知2f()＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)； (4)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．
考点2
有关分段函数问题
【例2】已知函数f(x)＝
(1)求f(5)，f(f(5))，f(f(f(5)))； (2)作出函数的图象； (3)求函数的值域．
【规律方法】
1．求分段函数的函数值时，一般是先确定自变量的取值在定义域的哪个子区间，然后用与这个子区间相对应的对应法则来求函数值 ，另外对于f(f(f(a)))的求法，常采用由里向外的方式逐层求解．
2．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值范围的并集即可．
3．求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．
【互动探究】
在题设不变的情况下，若f(x)＝3求x的值．
考点3
函数在实际问题中的应用
【例3】某商场销售一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见表)：
x
30
40
45
50
y
60
30
15
0
(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设销售此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
【思路探究】　(1)→→
(2)→→
【规律方法】
解答函数建模问题的关键在于读懂题意，先将实际问题数学化，然后结合变量间对应关系特点选择合适的函数模型，解答过程中要密切关注实际问题中的隐含条件以及实际环境对自变量的限制．
【变式训练】
如图2－1－6所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一点P，由点B(起点)沿着折线BCDA，向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求：
(1)y与x之间的函数关系式； (2)画出y＝f(x)的图象．
对分段函数的概念理解不深刻致误
【例4】　已知两个函数f(x)＝ g(x)＝
(1)当x≤0时，求f(g(x))的解析式； (2)当x<0时，求g(f(x))的解析式．
【错解】　(1)由已知，当x≤0时，有f(g(x))＝f(x2)＝－x2.
(2)当x<0时，g(f(x))＝g(－x)＝(－x)2＝x2.
【错因分析】　本题错误是对分段函数没有理解，而选择了错误的解析式．
【防范措施】　对于分段函数的解析式，一定要根据自变量的取值范围来选择解析式．
【正解】　(1)由已知，当x≤0时，有f(g(x))＝f(x2)＝(x2)2＝x4.
(2)当x<0时，g(f (x))＝g(－x)＝－.
本节课主要学习了表示函数的三种方法：解析法、列表法和图象法．
1．求函数的解析式，常用的方法有两种：一是待定系数法，适用于已知函数解析式的函数；二是换元法，适用于已知f[g(x)]的表达式．
2．列表法适用于自变量的个数有限，可直接看出自变量与函数值的对应情况．但有很大的局限性．
3．图象法就是用图象来表示两个变量的函数关系，它的优点是直观形象地表示了当自变量变化时，相应的函数值变化的趋势，使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质．
4．在实际问题中建立的函数式都要求自变量的取值范围，即所求出的函数的定义域.
【当堂双基达标】
1．(2013·徐州高一检测)函数f(x)＝则f (－2)＝________.
2．函数f(x)＝|x－1|的图象是________．(填序号)
3．设f(x＋2)＝2x＋3，则f(x)＝________.
4．某市空调公共汽车的票价如下：
①5公里以内(包括5公里)，票价2元； ②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里的按5公里计算)．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)有21个汽车站，请根据题意写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
【教学反思】