高中数学必修一教案 第3章 第2课时用二分法求方程的近似解

第2课时　用二分法求方程的近似解

●三维目标
1．知识与技能
掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤，会用二分法求方程的近似解．
2．过程与方法
体会通过取区间中点，应用零点存在性定理，逐步缩小零点所属区间的范围，而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想，渗透算法思想．
3．情感、态度及价值观
在灵活调整算法，在由特殊到一般的认识过程中，养成良好的学习品质和思维品质，享受数学的无穷魅力．
●重点、难点
重点：用二分法求方程的近似解．
难点：二分法的思想及应用．
●教学建议
1．关于二分法基本思想和精确度概念的理解的教学建议：学生在学习本堂课内容的时候可能会对二分法的本质理解不够透彻，对精确度的理解会有困难．教学中可恰当地借用生产生活中的事例，使学生在解决实际问题的实践应用中充分体会“无限逼近”的思想以及精确度在“二分”中的作用．
2．关于用二分法求给定方程近似解的步骤和过程的教学建议：用二分法求给定方程近似解的步骤和过程中渗透了程序解法所蕴含的算法思想，同时由于数值计算较为复杂，对获得给定精确度的近似解增加了困难．教学中可恰当地使用信息技术工具，将本课内容制作成课件给学生充分展示计算的步骤和过程，引导学生观察、计算、思考，理解问题的本质，从而得出结论，同时让学生利用科学计算器自己动手实践，感知和体会近似思想、逼近思想、算法思想．
●教学过程
【问题导思】　
已知函数f(x)＝x2－5.
1．试写出正零点所在整数区间．【提示】　[2,3]．
2．你能利用示例1的方法把零点所在区间缩小一半吗？【提示】　可以，取区间中点2.5，计算知f(2)＝－1<0，f(2.5)＝1.25，知零点在[2,2.5]内．
3．能不能再进一步把区间缩小判断？
【提示】　能．取[2,2.5]的中点2.25，计算知f(2.25)＝0.0625，而f(2)＝－1<0，知零点在[2,2.25]内，如此继续下去，便可得到f(x)＝x2－5的零点．
对于在区间[a，b]上的图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
二分法的概念
　下列函数中，不能用二分法求零点的是________．
【思路探究】　解答本题可利用二分法的定义，检查是否具备使用二分法的条件．
【自主解答】　四个图象在零点附近的图象都是不间断的，且图象①③④的零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点，图象②的零点两侧同为正值，故不可采用二分法求零点．
【答案】　(2)
　判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
已知函数f(x)的图象如图3－4－1所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为________．
图3－4－1
【解析】　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.【答案】　4,3
用二分法求函数零点的近似值
　求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个为正数的零点(精确到0.1)．
【思路探究】　先找一个两端点函数值符号相反的区间，然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要求的近似值，最后确定要求的近似值．
【自主解答】　由于f(1)＝－2<0，f(2)＝6>0，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，在区间(1,2)内，方程有一解，记为x1，
用二分法逐步计算，得：
f(1)<0，f(1.5)>0，?x1∈(1,1.5)
f(1.25)<0，f(1.5)>0?x1∈(1.25,1.5)，
f(1.375)<0，
f(1.5)>0?x1∈(1.375,1.5)，
f(1.375)<0，f(1.437 5)>0?x∈(1.375,1.437 5)，
因为1.375与1.437 5精确到0.1的近似值都是1.4，所以1.4是函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个为正数的零点的近似值．
　用二分法求函数零点近似值的过程中，首先依据函数性质确定函数零点存在的一个区间，此区间选取应尽量小，并且易于计算，再不断取区间中点，把区间的范围逐步缩小，使得在缩小的区间内存在一零点．当达到精确度时，这个区间内的任何一个值均可作为函数的零点．
判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确到0.1)． 答案：1.3.
用二分法求方程的近似解
　证明方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解，【思路探究】　→
→→
【自主解答】　分别画函数y＝2x和y＝6－3x的图象，如图所示：
在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程6－3x＝2x的解．
由函数y＝2x和y＝6－3x的图象可以发现，
方程6－3x＝2x有唯一解，记为x1，
并且这个解在区间(1,2)上．
1．由方程的解与函数零点的等价性知，用二分法求方程的近似解问题可通过构造函数，转化为求函数的零点近似值问题．
2．求方程f(x)＝g(x)的近似值注意的问题：①确定初值区间时，一般采用图象法，作函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，观察两个函数图象的交点的横坐标的取值范围；②实施二分法时，需构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求F(x)＝0的近似解．
将本题方程改为“2－x＝2x”，如何求方程在(0,1)的近似解(精确到0.1)．
【解】　分别画出函数y＝2x，y＝2－x的图象(如图所示)，方程的解就是两函数图象的交点的横坐标．
由函数y＝2x，y＝2－x的图象，可以得到方程2x＝2－x有唯一解，记为x1，并且在区间(0,1)上．设函数f(x)＝2x＋x－2，利用计算器可以求得：x1≈0.5.
混淆“精确度”与“精确到”的概念致误
　用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解(精确度为0.1)．
【错解】　令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝2.22－5＝－0.16<0，
f(2.4)＝2.42－5＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝2.32－5＝0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.0625，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)，
由于12.25－2.21＝0.05<0.1，
所以原方程的近似解可取为2.25.
【错因分析】　本题错误的原因是混淆了“精确度”与“精确到”的概念，本题错解中误认为“精确度”就是“精确到”．
【防范措施】　1.用二分法求方程的近似解，首先是大致区间的确定，使区间长度尽量小，否则会增加运算量，虽然此类问题要求用计算器运算，但也应注意运算的准确性．
2．注意区分“精确度”与“精确到”的概念，精确度0.1是指区间(a，b)满足|b－a|<0.1；精确到0.1是指区间(a，b)的端点精确到0.1的值相等．
【正解】　令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝－0.16<0，
f(2.4)＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)<0，
所以x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.0625，因为f(2.2)·f(2.25)<0，
所以x0∈(2.2,2.25)，
再取区间(2.2,2.25)的中点x3＝2.225，
f(2.225)≈－0.049 4，f(2.225)·f(2.25)<0，
所以x0∈(2.225,2.25)．
因为2.225与2.5精确到0.1的近似值都为2.2，所以原方程的近似解为2.2.
课堂小结：
1．近似值：
在解方程或求函数的零点等问题中，当不能用准确值来表示时，常依据某一要求，用较接近准确值的一个值来表示，则这个值称之为近似值．对取近似值的要求常有“精确度为……”或“精确到……”等．
2．运用二分法求函数零点应注意以下两点：
(1)条件：函数y＝f(x)的图象在[a，b]上为一条连续曲线，且f(a)·f(b)<0时，方可使用二分法．
(2)技巧：在选择零点所在的大致区间时，应尽可能地使其长度越小越好.
双基达标检测：
1．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内，下列结论：
(1)函数f(x)在区间(0,1)内有零点；(2)函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点；
(3)函数f(x)在区间[2,16)内无零点；(4)函数f(x)在区间(1,16)内无零点．
其中正确的有________(写出所有正确结论的序号)．
【答案】　(3)
2．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
【答案】　(2,2.5)
3．下列函数零点不能用二分法求解的是________．
①f(x)＝x3－1 ②f(x)＝ln x＋3 ③f(x)＝x2＋2x＋3 ④f(x)＝－x2＋4x－1
【答案】　③
课后作业：学生用书第115课时作业
教学反思：