高中数学必修一教案 第3章 函数模型及其应用章节总结

函数模型及其应用章节小结
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握本章的知识结构
(2)掌握函数的零点与方程根的关系
（3）进一步理解函数模型及应用
2．过程与方法
(1)经历例1掌握函数零点存在定理的应用及零点与对应方程根的关系
(2)通过例2让学生经历实际应用问题的求解过程，体验拟合函数模型的题型特征，学会运用函数知识解决实际问题．
（3）通过例3的学习让学生了解数形结合是解决零点问题的重要方法。
3．情感、态度与价值观
了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣．
●重点、难点
重点：函数零点的求法和函数模型的应用．
难点：找零点所在的大致范围，及依据题设情境，建立函数模型．
●教学建议
建议教师引导学生回顾、梳理本章的知识．在学习过程中引导学生函数与方程的思想、数形结合的思想等基本数学思想方法
教学过程：
本章知识结构
参见课本第111页
课堂探究：
函数的零点与方程根的关系
根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，思考时要多加注意．
例1：　设函数f(x)＝求函数y＝f(x)－的零点．
【思路点拨】　求函数的零点转化为求方程f(x)－＝0的解，此函数为分段函数，在每一段里求方程的解，要注意求出的解是否满足x的范围．
【解】　求函数y＝f(x)－的零点，
即求方程f(x)－＝0的根．
当x≥1时，2x－2－＝0得x＝.
当－8得x＝或x＝，
∵x<1，∴x＝舍去，
∴x＝.
∴函数y＝f(x)－的零点是，.
已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是________．
【解析】　因为Δ＝(1－k)2＋4k＝(1＋k)2≥0对一切k∈R恒成立，又k＝－1时，f(x)的零点x＝－1?(2,3)，故要使函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则必有f(2)·f(3)<0，即2【答案】　(2,3)
函数模型的应用
把握函数模型的分类，熟练掌握不同类型应用题的解题步骤，比较例题的类型．通过体会实例来掌握各类应用题的解法．函数模型的应用实例主要包含三个方面：1.利用给定的函数模型解决实际问题；2.建立确定性函数模型解决问题；3.建立拟合函数模型解决实际问题．
例2　某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R(x)(万元)满足
R(x)＝
假设该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：
(1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)；
(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
【思路点拨】　(1)利用“利润＝销售收入－总成本”求f(x)．
(2)先分段求出f(x)的最大值，然后从中选取最大值即为盈利最多的情况．
【规范解答】　(1)由题意得G(x)＝2.8＋x.
∴f(x)＝R(x)－G(x)＝

(2)当x>5时，
∵函数f(x)递减，
∴f(x)当0≤x≤5时，函数f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，
当x＝4时，f(x)有最大值为3.6(万元)．
所以当工厂生产4百台时，可使盈利最大为 3.6万元．
旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15 000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团的人数多于30人，则给与优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？
【解】　设旅游团的人数为x人，飞机票为y元，依题意，得
当1≤x≤30时，y＝900；当30所以所求函数为y＝
设利润为Q，Q＝y×x－15 000＝

当1≤x≤30时，Qmax＝900×30－15 000＝12 000，
当30＝－10(x－60)2＋21 000，
所以当x＝60时，Qmax＝21 000>12 000，
答：当旅游团人数为60人时，旅行社可获得最大利润21 000元.
数形结合思想
数形结合思想是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，进而解决问题的一种数学方法．数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数的问题．
就本章而言，数形结合思想主要用来将函数解析式、方程的根、不等式与相应的函数图象结合起来，以形助数，达到简化解题过程的目的．
例3 (2013·湖南师大附中高一检测)已知函数f(x)＝
(1)请在直角坐标系中画出函数f(x)的图象，并写出该函数的单调区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－m恰有3个不同零点，求实数m的取值范围．
【思路点拨】　解答本题可画出函数f(x)的图象，根据函数图象求解．
【规范解答】　(1)函数f(x)的图象如图；
函数f(x)的单调递减区间是(0,1)
单调递增区间是(－∞，0)及(1，＋∞)．
(2)作出直线y＝m，
函数g(x)＝f(x)－m恰有3个不同零点等价于函数y＝m与函数f(x)的图象恰有三个不同公共点．
由函数f(x)＝的图象易知：m∈(，1)．
求函数f(x)＝ex＋4x－4的零点的个数．
【解】　根据函数零点与方程实根之间的关系，令f(x)＝0，即有ex＝4－4x.
在同一直角坐标系中分别作出y＝ex，y＝4－4x的图象，如图所示，由图易知，两函数图象仅有一个公共点，故方程ex＝4－4x有唯一实根，从而函数f(x)＝ex＋4x－4有唯一的零点．
课堂小结：
求函数零点的方法：解方程f(x)＝0，注意自变量的取值范围或者转化为求两个函数图像的交点的横坐标
函数的应用要认真分析题意，准确建立函数模型
当堂达标检测：
1、在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为________．
①(－，0)　②(0，)　③(，)　④(，)．
【命题意图】　本题考查函数零点的判断方法及运算能力．
【解析】　∵f(x)是R上的增函数且图象是连续的，又f()＝e＋4×－3＝e－2<0，f()＝e＋4×－3＝e－1>0，∴f(x)定在(，)内存在唯一零点，故应填③.
2、已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2【命题意图】　本题考查了函数零点的存在区间，对数函数和一次函数的性质等知识．
【解析】　因为函数f(x)＝logax＋x－b(2f(2)＝loga2＋2－blogaa＋3－b＝4－b>0，
∴x0∈(2,3)，即n＝2.
【答案】　2
3、函数f(x)＝x－()x的零点个数为________．
【解析】　函数f(x)＝x－()x的零点个数，是方程x－()x＝0的解的个数，是方程x＝()x的解的个数，也就是函数y＝x与y＝()x的交点个数．在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.
【答案】　1
课后作业：
1、．(2010·天津高考改编)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是下列的________．(填序号)
①(－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)．
【解析】　∵f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝－2<0，
f(0)＝20＝1>0，
∴f(－1)·f(0)<0，
∴f(x)的零点所在的一个区间是(－1,0)．
【答案】　②
2、如图1所示，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v>0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R)．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1)P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v－c|×S成正比，比例系数为；(2)其他面的淋雨量之和，其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d＝100，面积S＝时，
(1)写出y的表达式；
(2)设0【命题意图】　本题考查利用函数知识及分类讨论思想解决实际应用题能力，考查数学建模能力，转化与化归以及运算求解能力．
【解】　(1)由题意知E移动时单位时间内的淋雨量为|v－c|＋，
故y＝(|v－c|＋)＝(3|v－c|＋10)．
(2)由(1)知：
当0当c故y＝
①当0②当3、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
【解】　(1)当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
由已知得解得
故函数v(x)的表达式为v(x)＝

(2)由(1)可得f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，
故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20所以当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．