高中数学必修一教案 第3章函数模型应用实例（1）

3．4.2　函数模型应用实例（1）
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题．
(2)掌握应用一次和二次函数模型解答实际应用问题的题型特征，提升学生解决简单的实际应用问题的能力．
2．过程与方法
(1)经历运用一次和二次函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力．
(2)经历实际应用问题的求解过程，体验拟合函数模型的题型特征，学会运用函数知识解决实际问题．
3．情感、态度与价值观
了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣．
●重点、难点
重点：一次函数模型、二次函数模型的应用．
难点：依据题设情境，建立函数模型．
●教学建议
1．关于对所学函数及其性质的复习
建议教师引导学生回顾、梳理包括初中所学的一次、二次函数，正、反比例函数及高中所学的幂函数的图象与性质．在学习过程中引导学生与所学的函数模型联系，降低函数模型建立的难度．
2．关于函数模型应用的教学
建议教师要求学生强化数学语言的转换意识，提高阅读理解的能力，要引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验一次函数、二次函数与现实世界的密切联系及它们在刻画现实问题中的作用．
●教学流程
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问题导导思：
一次函数的图像及性质是什么？
二次函数的图像及性质是什么？
课堂互动探究：
一次函数模型
　为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图3－4－3所示．
　　　　(1)　　　　　　　　　　(2)
图3－4－3
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；
(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？
【思路探究】　解答本题可先用待定系数法求出解析式，然后进行函数值大小的比较．
【自主解答】　(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1，y2得k1＝，k2＝.
∴y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0)．
(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.
当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；
当x<96时，y1>y2，即便民卡便宜；
当x>96时，y11．函数的图象是表示函数的三种方法之一，正确识图、用图、译图是解决函数应用题的基本技能和要求．解答此类问题，关键是利用图形中的信息确定函数解析式，利用函数的性质求解，必要时还要进行分类讨论．
2．需提醒的是：一定要注意实际问题中有关量的取值范围．
北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京晚报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获得利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
【解】　设每天从报社买进x(250≤x≤400)(x∈N)份报纸，每月获得总利润y元，则
y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)＝0.5x＋625，x∈[250,400]．
函数y在[250,400]上单调递增，
∴当x＝400时，ymax＝825元．
即摊主每天从报社买进400份时，每月获得的利润最大，最大利润为825元.
二次函数模型
　(2013·聊城高一检测)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)设每辆车的月租金为x元(x≥3 000)，则能租出多少辆车？当x为何值时，租赁公司的月收益y最大？最大月收益是多少？
【思路探究】　公司的月收益y＝每辆车的月租金×租出车的辆数－租出车的维护费－未租出车的维护费．
【自主解答】　(1)租金增加了600元，
所以未出租的车有12辆，一共出租了88辆．
(2)设每辆车的月租金为x元(x≥3000)，租赁公司的月收益为y元，则租出的车有100－辆．
则y＝x(100－)－×50－(100－)×150
＝－＋162x－21 000＝－(x－4 050)2＋307 050.
当x＝4 050时，ymax＝307 050.
∴每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307 050元．
1．一般涉及到面积问题、利润问题、产量问题中的最大、最省时，常常变量间的关系是二次函数关系，求解时，首先依据题设建立等量关系，在此基础上借助二次函数的图象和性质求最值．
2．求解最值时，务必注意实际问题的定义域，以防取最值的自变量不在实际情形中．
心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(min)之间满足函数关系式y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．
(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(2)第10 min时，学生的接受能力是多少？
(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？
【解】　(1)y＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9，∴当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；
当13(2)当x＝10时，y＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59，
∴第10 min时，学生的接受能力为59.
(3)当x＝13时，y取得最大值．
∴在第13 min时，学生的接受能力最强.
课堂小结：
建立数学模型是解决数学问题的主要方法，数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤．
当堂达标检测：
一、填空题
1．1海里约合1 852 m，根据这一关系，米数y关于海里数x的函数解析式为________．
【解析】　∵1海里约合1 852 m，
∴x海里的米数为y＝1 852x(x>0)．
【答案】　y＝1 852x(x>0)
2．在一定范围内，某种产品的购买量y t与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1 000 t，每吨为800元；购买2 000 t，每吨为700元，一客户购买400 t，单价应该是________元．
【解析】　依题意，可设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，由x＝800，y＝1 000及x＝700，y＝2 000，
可得k＝－10，b＝9 000，
即y＝－10x＋9 000，
将y＝400代入得x＝860(元)．
【答案】　860
3．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．
【解析】　设隔墙的长度为x，则矩形的另一边长为＝12－2x,0所以矩形面积S＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，
∴x＝3时，S有最大值18.
【答案】　3
课后作业：
1．为了预防流感，某学校对教室采用药熏
图3－4－5
消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(min)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例(如图3－4－5所示)，现测得药物8 min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为________；自变量x的取值范围是________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为________．
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过________min后，学生才能回到教室．
【解析】　(1)当0≤x≤8时，设y与x间的关系式为y＝k1x，
又6＝8k，∴k1＝，∴y＝x.
当x>8时，设y与x间的关系式为y＝，
由6＝可知k2＝48，∴y＝.
(2)由≥1.6可得x≤30，故至少经过30 min后学生才能回到教室．
【答案】　(1)y＝x　0≤x≤8　y＝(x≥8)
(2)30
10．(2013·淮安高一检测)将进货单价40元的商品按50元一个出售时能卖出500个，若每涨价1元，其销售量就减少10个，为赚得最大利润，则销售价应为多少？
【解】　设利润为y，商品涨价x元/个，则
y＝(500－10x)(50＋x)－(500－10x)·40(x∈[0,50]，x∈N*)
＝(500－10x)(10＋x)
＝－10x2＋400x＋5 000
＝－10(x－20)2＋9 000
所以当x＝20时，y有最大值9 000，即销售价应定为70元/个
答：为赚得最大利润，则销售价应定为70元/个．
2、有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P和Q(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系有以下公式：P＝，Q＝，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得最大的利润是多少？
【思路探究】　本题考查利用换元法求二次函数的最值问题．解决本题的关键是建立目标函数及求最值的方法．首先应根据题意，建立利润与投入资金之间的函数关系，求得函数解析式，然后再转化为求函数最大值问题．
【自主解答】　设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润y万元，根据题意得
y＝x＋(0≤x≤3)，
令＝t，则x＝3－t2,0≤t≤，
∴y＝(3－t2)＋t＝－(t－)2＋，t∈[0，]．
当t＝时，ymax＝1.05，此时x＝0.75,3－x＝2.25.
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得总利润为1.05万元．

　换元法是求无理函数最值的常用方法，利用换元法将一个无理式转化为有理式，通过二次函数求得最值，在换元过程中，要注意变量取值范围的变化．
某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②所示(利润与投资单位：万元)．
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？最大利润为多少万元？
　　　　①　　　　　　　　　②
【解】　(1)设投资为x万元，A，B两产品获得的利润分别为f(x)，g(x)万元，
由题意，得f(x)＝k1x，g(x)＝k2，(k1，k2≠0，x≥0)，
又由图知f(1.8)＝0.45，g(4)＝2.5，
解得k1＝，k2＝，
∴f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设对B产品投资x万元，则对A产品投资(10－x)万元，记企业获取的利润为y万元，
则y＝(10－x)＋(0≤x≤10)，
设＝t，则x＝t2(0≤t≤)，
∴y＝－(t－)2＋，
当t＝也即x＝时，y取最大值，
故对B产品投资万元，对A产品投资万元时，其最大利润为万元