高中数学必修一教案 第3章 函数模型应用实例（2）

函数模型应用实例（2）
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握指数函数和对数函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题．
(2)掌握应用指数型，拟合型函数模型解答实际应用问题的题型特征，提升学生解决简单的实际应用问题的能力．
2．过程与方法
(1)经历运用指数函数和对数函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力．
(2)经历实际应用问题的求解过程，体验指数函数模型、拟合函数模型的题型特征，学会运用函数知识解决实际问题．
3．情感、态度与价值观
了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣．
●重点、难点
重点：指数函数模型、对数函数模型的应用．
难点：依据题设情境，建立函数模型．
●教学建议
1．关于对所学函数及其性质的复习
建议教师引导学生回顾、梳理幂、指数、对数函数的图象与性质．在学习过程中引导学生与所学的函数模型联系，降低函数模型建立的难度．
2．关于函数模型应用的教学
建议教师要求学生强化数学语言的转换意识，提高阅读理解的能力，要引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验二次函数、幂数、指数、对数函数与现实世界的密切联系及它们在刻画现实问题中的作用．
教学过程：
问题导思：
指数函数、对数函数的图像与性质有那些？
指数函数、对数函数模型
　某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图3－4－4所示的曲线．
图3－4－4
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．
【思路探究】　解答本题应先求出函数解析式再将第(2)问转化为解不等式问题求解．
【自主解答】　(1)当t∈[0,1]时，函数的解析式为y＝kt，
将M(1,4)代入得k＝4，∴y＝4t.
又当t∈(1，＋∞)时，函数的解析式为y＝()t－a，
将点(3,1)代入得a＝3.∴y＝()t－3.
综上有y＝f(t)＝
(2)由f(t)≥0.25，解得≤t≤5.
∴所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－＝个小时．
1．这是一个一次函数，指数函数相结合的题目，根据条件设出解析式或结合图象中的已知点求解析式是解答本题的关键．
2．在实际问题中，还常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基数为N，平均增长率为P，则对于时间x的产值或产量y，可以用公式y＝N(1＋P)x表示，解决平均增长率的问题，要用到这个函数式．储蓄中的复利问题也属于这一类型．
燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
【解】　(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中给出的公式，
可得0＝5log2，解得Q＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入题中给出的公式，得
v＝5log2＝5log28＝15(m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
易错易误分析：
求解实际应用题时考虑不全面致误
　某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，每生产100台，需要增加成本(即另增加投入)0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)＝(5x－0.5x2)万元(0≤x≤5)，其中x是产品出售的数量(单位：百台)．求年产量是多少时，工厂所得利润最大．
【错解】　设年产量为x百台，则利润函数为：
T(x)＝(5x－0.5x2)－(0.5＋0.25x)
＝－0.5x2＋4.75x－0.5＝－0.5(x－4.75)2＋10.78125，
当x＝4.75时，T(x)max＝10.78125万元．
【错因分析】　忽略了年产量大于500台的情形．
【防范措施】　有些题目中条件是分情况的，条件不同，方案也不同，一定要分清，避免盲目求解，出现错误．
【正解】　当x≤5时，同上．当x>5时，只能售出500台，利润函数为：
T(x)＝(5×5－0.5×52)－(0.5＋0.25x)＝12－0.25x，
此时T(x)<12－0.25×5＝10.75.
故当年产量是475台时，工厂所得的利润最大．
课堂小结：
1．建立数学模型是解决数学问题的主要方法，数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤．
2．实际问题中对几种增长模型的选择：
(1)指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；
(2)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律；
(3)而幂函数增长模型介于上述两者之间，适合一般增长的变化规律.
当堂达标检测：
1．某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设第一年有100只，则到第七年它们发展到________只．
【解析】　由已知第一年有100只，得a＝100，将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，得y＝300.
【答案】　300
2．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为________．
【解析】　因为该设备每年比上一年价值降低b%，所以n年后这批设备的价值为a(1－b%)n. 【答案】　a(1－b%)n
课后作业：
1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．
【解析】　依题意可设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，所以总利润
S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)，
所以当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．
2．．现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)
【解】　现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，
1 h后，细胞总数为×100＋×100×2＝×100；
2 h后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100；
3 h后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100；
4 h后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100；
可见，细胞总数y(个)与时间x(h)之间的函数关系为：
y＝100×()x，x∈N*，由100×()x>1010，得()x>108，
两边取以10为底的对数，得xlg >8，∴x>.
∵＝≈45.45，
∴x>45.45. 故经过46 h，细胞总数超过1010个.
课后反思：