高中数学人教A版必修四教案 2 2.3向量的数乘运算

科目: 数学 教材：必修四第二章主备人： 审核人 把关人：
使用年级：高一试验部 使用时间： 第6周第3课时 使用日期： 月 日
向量的数乘运算
学习目标：要求学生进一步掌握实数与向量的积的定义、数乘运算的三个运算律，熟练掌握向量共线的充要条件
重点:实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；
难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。
自主学习
1）定义：
请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）
可根据小学算术中的解释，类比规定：实数与向量的积就是，它还是一个向量，但要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行。
实数与向量的积是一个向量，记作. 它的长度和方向规定如下：
（1）.
（2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，.
2）运算律：
问：求作向量和（为非零向量）并进行比较，向量与向量相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）
生：，.
师：设、为任意向量，、为任意实数，则有：
（1）；　（2）；　
（3）.
通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
小练习1：
计算：（1）； （2）；
（3）.
3）向量平行的充要条件：
请同学们观察，，回答、有何关系？
生：因为，所以、是平行向量.
引导：若、是平行向量，能否得出？为什么？可得出吗？为什么？
生：可以！因为、平行，它们的方向相同或相反.
师：由此可得向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.
对此定理的证明，是两层来说明的：
其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知与平行，即与平行.
其二，若与平行，且不妨令，设（这是实数概念）．接下来看、方向如何：①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使.
小练习2：如图：已知，，试判断与是否平行．
解：∵
∴与平行.
4）单位向量：
单位向量：模为1的向量.
向量（）的单位向量：与同方向的单位向量，记作.
思考：如何用来表示？ （ ）
命题方向3 向量在平面几何中的探究应用
例3.平行四边形一顶点和对边中点的连线能三等分此平行四边形的一条对角线吗？若能，请写出证明过程；若不能，请说明理由．
[解析]　已知在?ABCD中，F为DC的中点，E为AF与BD的交点，求证：E为BD的一个三等分点．
规律总结：在上述证明过程中，由与不共线及(λ－μ)＝(1－μ－λ)，知必有(λ－μ)＝(1－μ－λ)＝0，进而得到关于λ与μ的方程组．通过本例，应掌握利用向量共线的条件解题的方法．
命题方向4 共线向量与三点共线问题
例4.设两个非零向量a与b不共线，
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．
[分析]　(1)欲证三点A、B、D共线，即证存在实数λ，使＝λ，只要由已知条件找出λ即可．
(2)由两向量共线，列出关于a、b的等式，再由a与b不共线知，若λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)
即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b，
∵a、b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.
5)课堂小结
（学生小结，教师补充）