高中数学选修2-2 导数及其应用复习教案

第4周教学反思：上周我们学习的内容是两个计数原理和排列与组合，两个计数原理大部分学生能掌握，但有少部分学生在做题时，分不清楚题目是哪一种原理，容易混淆；排列与组合做题时同学们对题目分析不透彻，因而搞不清在什么时候排列，在什么时候组合。对于这一问题，在教学中多教同学们分析题目，看题目是否与顺序有关，若有关，则排列，若无关则组合。
教案-庞升权-选修2-2总复习-2018春季第5周
高中选修2-2数学知识点
第一章 导数及其应用
教学目标：
1．重点理解导数相关概念；
2．掌握选修2-2的知识点
3．利用选修2-2知识解决简单问题
教学重点：利用导数研究与函数有关的简单问题，掌握推理证明的证明方法，会计算与复数有关的简单问题。
教学难点：用所学知识点解决常见问题。
授课类型：复习课
课时安排：4课时
知识点
1．函数的平均变化率为
注1：其中是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数在处的瞬时变化率是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.
3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；
函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；
5、常见的函数导数
函数
导函数
0
6、常见的导数和定积分运算公式:若，均可导（可积），则有：
和差的导数运算
积的导数运算
特别地：
商的导数运算
特别地：
复合函数的导数
微积分基本定理

（其中）
和差的积分运算
特别地：
积分的区间可加性
用导数求函数单调区间的步骤:
①求函数f(x)的导数
②令>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.
③令<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；
[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数
(3)求方程=0的根
(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤:求在上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求在上的极值；
⑵将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
9．求曲边梯形的思想和步骤:分割近似代替求和取极限 （“以直代曲”的思想）
10.定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
性质5 若，则
①推广：
②推广:
11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；
当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．
12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。
第二章 推理与证明
知识点
13.归纳推理的定义：
从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
归纳推理的思维过程大致如图： 
15.归纳推理的特点:
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
16.类比推理的定义：
根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
17.类比推理的思维过程

18.演绎推理的定义：
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。
19．演绎推理的主要形式：三段论
20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M　③结论：S是P。
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。
22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。
23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。
24反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。
26常见的“结论词”与“反义词”
原结论词
反义词
原结论词
反义词
至少有一个
一个也没有
对所有的x都成立
存在x使不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在x使成立
至少有n个
至多有n-1个
p或q
且
至多有n个
至少有n+1个
p且q
或
27.反证法的思维方法:正难则反
28.归缪矛盾
（1）与已知条件矛盾:
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾．
29．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤
(1)证明：当n取第一个值时命题成立；
(2)假设当n=k (k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确　
[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
第三章 数系的扩充和复数的引入
知识点
30.复数的概念：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，叫实部， 叫虚部，数集叫做复数集。
规定：a=c且b=d，
强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。
31．数集的关系：
32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。
33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定。
由于有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
34.求复数的模(绝对值)与复数对应的向量的模叫做复数的模(也叫绝对值)记作。由模的定义可知：
35.复数的加、减法运算及几何意义
①复数的加、减法法则：，则。
注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。
②复数的乘法法则：。
③复数的除法法则：其中叫做实数化因子
36.共轭复数:两复数互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律
设是1的立方虚根，则，
课堂小结：
导数公式
导数与函数单调性、极值、最值的关系
定积分概念及原函数与导函数公式
反证法、归纳法的步骤
复数基本概念
作业布置：试卷1
板书设计：
选修2-2
一、导数
二、推理与证明
三、复数
例题
练习
数学选修（2-2）复习试题1
一、选择题
1．函数在区间上的平均变化率为（　　）
Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5
2．已知直线是的切线，则的值为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．如果1N的力能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm（在弹性限度内）所耗费的功为（　　）
Ａ．0.18J Ｂ．0.26J Ｃ．0.12J Ｄ．0.28J
4．方程有实根，且，则（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．内有任意三点不共线的2002个点，加上三个顶点，共2005个点，把这2005个点连线形成不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（　　）
Ａ．4005 Ｂ．4002 Ｃ．4007 Ｄ．4000
6．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的第50项（　　）
Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．11
7．在证明为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数满足增函数的定义是大前提；④函数满足增函数的定义是大前提．其中正确的命题是（　　）
Ａ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①③ Ｄ．②③
8．若，则复数表示的点在（　　）
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
9．一圆的面积以速度增加，那么当圆半径时，其半径的增加速率为（　　）
Ａ．cm/s Ｂ． cm/s Ｃ． cm/s Ｄ． cm/s
10．用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到时，不等式的左边（　　）
Ａ．增加了一项
Ｂ．增加了两项
Ｃ．增加了两项，又减少了一项
Ｄ．增加了一项，又减少了一项
11．在下列各函数中，值域不是的函数共有（　　）
（1）
（2）
（3）
（4）
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
12．如图是函数的大致图象，则等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
二、填空题
13．函数在闭区间上的最大值与最小值分别为　　　　．
14．若，，且，则的值为　　　　．
15．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数与所搭三角形的个数之间的关系式可以是　　　．
16．物体的运动速度与时间之间的关系为（的单位是m/s，的单位是s），物体的运动速度与时间之间的关系为，两个物体在相距为405m的同一直线上同时相向运动．则它们相遇时，物体的运动路程为　　　　　．
三、解答题
17．已知复数，满足，且为纯虚数，求证：为实数．
18．用总长14.8的钢条做一个长方体容器的框架，如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5m，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
19．已知函数在上是减函数，求的取值范围．
20．若，观察下列不等式：，，，请你猜测满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．
21．设曲线过点，．
（1）用表示曲线与轴所围成的图形面积；
（2）求的最小值．
22.已知函数=ax3+cx+d(a≠0)在R上满足 =－,
当x=1时取得极值－2.
(1)求的单调区间和极大值;
(2)证明：对任意x1,x2∈(－1,1),不等式││<4恒成立.
数学选修（2-2）复习试题2
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．函数的导数为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．下列说法正确的是 （ ）
（A）当时，为的极大值
（B）当时，为的极小值
（C）当时，为的极值
（D）当为的极值时，
3．如果是的共轭复数，则对应的向量的模是 （ ）
（A）1 （B） （C） （D）5
4．若函数的递减区间为，则的取值范围是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
5．下列四条曲线（直线）所围成的区域的面积是 （ ）
(1);(2) ; (3);(4)
(A) (B) (C)0 (D)
6．由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，叫 （ ）
（A）合情推理 （B）演绎推理 （C）类比推理 （D）归纳推理
7．复数与的积是实数的充要条件是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
8．已知函数，那么是 （ ）
（A）仅有最小值的奇函数 （B）既有最大值又有最小值的偶函数
（C）仅有最大值的偶函数 （D）非奇非偶函数
9．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒。当所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 （ ）
（A）12 （B）10 （C）8 （D）6
10．用数学归纳法证明：，在验证n＝1时，左端计算所得的式子是 （ ）
（A）1 （B）1+a （C） （D）
11．给出下列四个命题：（1）任一两个复数都不能比较大小；（2）为实数为实数（3）虚轴上的点都表示纯虚数；（4）复数集与复平面内的向量所成的集合是一一对应的。
其中正确命题的个数是 （ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
12．用数学归纳法证明：，由到，不等式左端变化的是 （ ）
（A）增加一项
（B）增加和两项
（C）增加和两项，同时减少一项
（D）增加一项，同时减少一项
二、填空题：（每小题4分，四小题共16分）
13．已知（为常数），则 ；
14．在数列中，， ，则 ；
15．已知：△ABC中，AD⊥BC于D,三边分别是a，b，c，则有；类比上述结论，写出下列条件下的结论：四面体P-ABC中，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别是，二面角的度数分别是，则 ；
16．对于函数定义域中任意的()，有如下结论：
（1）；（2）；
（3）；（4）；试分别写出对应上述一个结论成立的四个函数：
适合结论（1） ；
适合结论（2） ；
适合结论（3） ；
适合结论（4） 。
三、解答题（17－19，21题，每题12分；20，22题，每题14分；共76分）
17．求过点（1，2）且与曲线相切的直线方程。
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是,且。
（1）求的值；（2）若，求的最大值。
19．半径为的球的内接圆柱，问圆柱的底半径与高多大，才能使圆柱的体积最大。
20．在数列中，，且前n项的算术平均数等于第n项的2n－1倍（）。
（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想的通项公式，并加以证明。
求由抛物线与它在点A（0，－3）和点B(3，0)
的切线所围成的区域的面积。
22．已知函数，。
（1） 若，且函数存在单调递减区间，求的取值范围；
（2）当时，求函数的取值范围。