人教A版高中数学必修11.3.1函数的单调性教学设计（第二课时）

本节课是《普通高中课程标准实验教科书》人教A版必修1第一章第三节函数的基本性质的第1课时《函数的单调性》.
函数的单调性是用代数方法研究函数图象局部变化趋势,是函数的一个基本性质.学生在初中已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数的图象，在此基础上学生对增减性有一个初步的感性认识，但是缺少严谨的数学语言描述，所以本节课是学生数学思想的一次重要提高。函数单调性是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础，对进一步探索、研究函数的其他性质有着示范性的作用，对解决各种数学问题有着广泛作用。此外在比较数的大小、导数以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一.


1.教学重点：函数单调性的概念；判断、证明函数的单调性。
2.教学难点：函数单调性概念的符号语言的认知；应用定义证明单调性的代数推理论证。


知识梳理
（一）.定义：设函数f(x)的定义域为I：
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
（二）证明函数单调性的步骤：
1.设值:设任意x1、x2属于给定区间，且；
2.作差:差； 3.变形：变形的常用方法有:因式分解、配方、有理化等；
4.判号:确定的正负； 5.下结论:由定义得出函数的单调性。
二、题型探究
类型一 求单调区间并判断单调性
例1.函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．



反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
类型二 证明单调性
例2.求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数．

反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1类型三 单调性的应用
命题角度1 利用单调性求参数范围
例3 ① 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，则实数a的取值范围为________________．
答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)
【解析】 由于二次函数开口向上，故其增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]，而f(x)在区间[1,2]上单调，所以[1,2]?[a，＋∞)或[1,2]?(－∞，a]，即a≤1或a≥2.
② 若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为( )
A. B.
C. D.∪
答案 A
【解析】 要使f(x)在R上是减函数，需满足：
解得≤a＜.
反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的．
命题角度2 用单调性解不等式
例4 已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)解 f(1－a)解得0即所求a的取值范围是0反思与感悟 若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小．
达标检测
1.f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有＞0，则必有( )
A．函数f(x)先增后减 B．函数f(x)先减后增
C．函数f(x)是R上的增函数 D．函数f(x)是R上的减函数
【解析】由＞0知，当a＞b时，f(a)＞f(b)；当a＜b时，f(a)＜f(b)，所以函数f(x)是R上的增函数．
【答案】 C
2.若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f (1－a)
3.f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)＜f(－2x＋8)的解集是____________．
【解析】 依题意，得不等式组解得＜x≤4.
【答案】
4.求证函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．