课件10张PPT。2.1.1曲线和方程看课本P34—P35
曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基本问题
8分钟后回答问题（如有疑问可以问老师或同桌小声讨论）
自学指导若曲线C与二元方程f（x，y）=0满足
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的
解
（2）以这个方程的解为坐标的点都是
曲线上的点则称：方程是曲线C的方程；
曲线C是方程的曲线.两层意识，相互相承1.判断下列结论的正误并说明理由
（1）过点A（3，0）且垂直于x轴
的直线为x=3；
（2）到x轴距离为2的点的轨迹方
程为y=2；
（3）到两坐标轴距离乘积等于1
的点的轨迹方程为xy=1.对错错概念辨析|y|=2|xy|=1 (1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的
折线，方程为(x-y)(x+y)=0;2.判断图中曲线的方程是否正确概念辨析(2)曲线C是顶点在原点的抛物线，方
程为x+ =0;0xy-11-2212.判断图中曲线的方程是否正确概念辨析 (3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到X轴，
Y轴的距离乘积为1的点集，方程y= 0xy-11-2212.判断图中曲线的方程是否正确概念辨析3.如果曲线C上的点坐标(x,y)都是方程 F(x,y)=0的解，那么（ ）
A、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上
B、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，有些不在曲线上.
C、不在曲线C上的点的坐标都不是方程 F(x,y)=0的解.
D、坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线C上.D概念辨析典型例题 例1 画出下列方程表示的曲线：
（1） ；
（2）x－|y|＝0；
（3）x2－2x＋y＝0(y＞0).例1 画出下列方程表示的曲线：§2.1.1 曲线与方程（1）
学习目标
1．理解曲线的方程、方程的曲线；
2．求曲线的方程．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P34~ P36，找出疑惑之处）
复习1：画出函数 的图象．
复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：
到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．
问题：能否写成，为什么？
新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线与一个二元方程之间，
如果具有以下两个关系：
1．曲线上的点的坐标，都是 的解；
2．以方程的解为坐标的点，都是
的点，
那么，方程叫做这条曲线的方程；
曲线叫做这个方程的曲线．
注意：1( 如果……，那么……；
2( “点”与“解”的两个关系，缺一不可；
3( 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；
4( 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．
试试：
1．点在曲线上，则a=___ ．
2．曲线上有点，则= ．
新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．
※ 典型例题
例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程式是．
变式：到x轴距离等于的点所组成的曲线的方程是吗？
例2设两点的坐标分别是，，求线段的垂直平分线的方程．
变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是，，．中线（为原点）所在直线的方程是吗？为什么？
反思：边的中线的方程是吗？
小结：求曲线的方程的步骤：
①建立适当的坐标系，用表示曲线上的任意一点的坐标；
②写出适合条件的点的集合；
③用坐标表示条件，列出方程；
④将方程化为最简形式；
⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
※ 动手试试
练1．下列方程的曲线分别是什么？
(1) (2) (3)
练2．离原点距离为的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？
三、总结提升
※ 学习小结
1．曲线的方程、方程的曲线；
2．求曲线的方程的步骤：
①建系，设点；
②写出点的集合；
③列出方程；
④化简方程；
⑤验证．
※ 知识拓展
求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 与曲线相同的曲线方程是（ ）．
A． B．
C． D．
2．直角坐标系中，已知两点，，若点满足=+，其中，，+=， 则点的轨迹为 ( ) ．
A．射线 B．直线 C．圆 D．线段
3．，，线段的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
4．已知方程的曲线经过点和点，则= ，= ．
5．已知两定点，，动点满足，则点的轨迹方程是 ．
课后作业
点，，是否在方程
表示的曲线上？为什么？
2 求和点，距离的平方差为常数的点的轨迹方程．
课件16张PPT。2.1.1《曲线与方程》教学目标 理解并能运用曲线的方程、方程的曲线的概念，建立“数”与“形”的桥梁，培养学生数形结合的意识．
教学重点：求曲线的方程
教学难点：掌握用直接法、代入法、交轨法等求曲线方程的方法
（1）、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐标满足的关系得出关系：（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在 上曲线条件方程分析特例归纳定义曲线和方程之间有什么对应关系呢？这条抛物线的方程是满足关系：分析特例归纳定义（3）、说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2分析特例归纳定义给定曲线C与二元方程f（x，y）=0，若满足
（1）曲线上的点坐标都是这个方程的解
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
那么这个方程f（x，y）=0叫做这条曲线C的方程
这条曲线C叫做这个方程的曲线定义说明：1、曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系
方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形分析特例归纳定义2、两者间的关系：点在曲线上点的坐标适合于此曲线的方程通俗地说：无点不是解且无解不是点 或说点不 比解多且解也不比点多即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够一一对应3、如果曲线C的方程是f(x，y）=0，那么点在曲线C上的充要条件是集合的观点例1判断下列结论的正误并说明理由
（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3
（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2
（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1对错错变式训练：写出下列半圆的方程学习例题巩固定义(1)举出一个方程与曲线，使 它们之间的关系符合①而不符合②.
(2)举出一个方程与曲线，使 它们之间的关系符合② 而不符合① .
(3) 举出一个方程与曲线，使 它们之间的关系既符合①又符合②。
变式思维训练，深化理解
例子：(2)画出函数 的图象C.
(-1≤x≤2)
?
(-1≤x≤2)
?
符合条件①不符合条件②符合条件②不符合条件 ①
例子：(2)画出函数 的图象C.
(-1≤x≤2)
?
?
(-1≤x≤2)
?
符合条件①、 ②
下列各题中，图3表示的曲线方程是所列出的方程吗？如果不是，不符合定义中的关系①还是关系②？ (1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线，方程为(x-y)(x+y)=0; (2)曲线C是顶点在原点的抛物线，方程为x+ =0; (3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到X轴，Y轴的距离乘积为1的点集，方程为y= 。图3例2? 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2 +y2 = 25,并判断点M1(3，-4)，M2(-3，2)是否在这个圆上.
证明：(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标原点的距离等于5，所以
也就是xo2 +yo2 = 25.?
即 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解.
(2)设 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解，那么
x02 +y02 = 25
两边开方取算术根，得
即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这个圆上的一点.
由1、2可知， x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程.
第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；归纳:
证明已知曲线的方程的方法和步骤 第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M (x0,y0)在曲线C上.
小结在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味着具备上述两个条件，只有具备上述两个方面的要求，才能将曲线的研究化为方程的研究,几何问题化为代数问题，以数助形正是解析几何的思想，本节课正是这一思想的基础。再见曲线与方程
课前预习学案
一、预习目标
在理解和掌握两种圆锥曲线（双曲线只要求理解）的定义和标准方程的基础上，能熟练的解决直线和圆锥曲线的位置关系的一些问题。
二、预习内容
１.过点（２，４）作直线与抛物线＝８ｘ只有一个公共点，这样的直线有（ ）
Ａ．一条 Ｂ．两条 Ｃ．三条 Ｄ．四条
２.双曲线＝１的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点）则直线ＰＦ的斜率的变化范围是 ( )
Ａ．(∞，0) B. （1，＋∞）
C.（－∞，0）∪（1，＋∞） D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
3.直线y=kx+1与焦点在ｘ轴上的椭圆＝1恒有公共点，则m的取值范围是
A. （０，１） B. （０，５） C. ［１，＋∞） D. ［１，５）
答案：BCA
课堂探究学案
【学习目标】
1.根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤.
2.会根据已知条件求一些简单的平面曲线方程.
3.会判断曲线和方程的关系.
【学习重难点】
学习重点：求曲线方程的步骤：
（1）依据题目特点，恰当选择坐标系；
（2）用M（x,y)表示所求曲线上任意一点的坐标；
（3）用坐标表示条件，列出方程F(x,y)=0；
（4）化方程F(x,y)=0为最简形式；
（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
学习难点：依据题目特点，恰当选择坐标系及考查曲线方程的点的纯粹性、完备性.
【学习过程】
复习回顾
我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.
新课学习
1．解析几何与坐标法：
我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.?在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.
2. 平面解析几何研究的主要问题：
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
（2）通过方程，研究平面曲线的性质.
说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.?
3. 典型例题
例1．设两点的坐标是A（-1，2）、B（3，-4），求线段AB的垂直平分线的方程．
变式训练：
证明到两定点A、B的距离是8，求到两定点距离平方和是50的动点的轨迹方程。
注：
用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x，y)=0．证明中分两个步骤：第一步，设M(x0，y0)是曲线C上任一点，证明(x0，y0)是f(x，y)=0的解；第二步，设(x0，y0)是f(x，y)=0的解，证明点M(x0，y0)在曲线C上．
小结
曲线C和二元方程f(x，y)=0应具备以下两个条件：1．若P(x0，y0)∈C，
则f(x0，0)=0成立；2．若f(x0，y0)=0，则P(x0，y0)∈C
用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x，y)=0．证明中分两个步骤：第一步，设M(x0，y0)是曲线C上任一点，证明(x0，y0)是f(x，y)=0的解；第二步，设(x0，y0)是f(x，y)=0的解，证明点M(x0，y0)在曲线C
课后练习与提高
1．已知点、，动点，则点P的轨迹是（ ）
圆 椭圆 双曲线 抛物线
2．已知椭圆的两个焦点分别是F1，F2，P是这个椭圆上的一个动点，延长F1P到Q，使得｜PQ｜＝｜F2P｜，求Q的轨迹方程是 .
答案：1. D 2.
⒊在△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=－2，且△PMN的面积为1，建立适当的坐标系，求以M、N为焦点，且过点P的椭圆的方程. (方程为+=1)
4、如下图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程.( PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1（x≠0）)
曲线与方程
【教学目标】
1.根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤.
2.会根据已知条件求一些简单的平面曲线方程.
3.会判断曲线和方程的关系.
【教学重难点】
教学重点：求曲线方程的步骤：
（1）依据题目特点，恰当选择坐标系；
（2）用M（x,y)表示所求曲线上任意一点的坐标；
（3）用坐标表示条件，列出方程F(x,y)=0；
（4）化方程F(x,y)=0为最简形式；
（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
教学难点：依据题目特点，恰当选择坐标系及考查曲线方程的点的纯粹性、完备性.
【教学过程】
复习回顾：
师：上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，我们就来学习这一方法.
讲授新课
1．解析几何与坐标法：
我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.?在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.
2．平面解析几何研究的主要问题：
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
（2）通过方程，研究平面曲线的性质.
说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.?
3. 典型例题
例1．设两点的坐标是A（-1，2）、B（3，-4），求线段AB的垂直平分线的方程．
首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决．
解：(1)易求线段AB的中点坐标为（1，-1），由斜率关系可求得l的斜率为,所以直线的方程为 这说明点的坐标是方程的解．
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．设点M (m,n)的坐标是方程①的任意一解，M到A、B的距离分别为
，综合（1）、（2），①是所求直线的方程．
变式训练： 证明到两定点A、B的距离是8，求到两定点距离平方和是50的动点的轨迹方程。
证明：1．建立合适的坐标系以AB所在的线段为X轴，中点为原点做y轴，则A的坐标为（-4，0）；B的坐标为（4，0）
设M(x,y)是圆上任意一点．由题意得：
2．设(x0，y0)是方程x2+y2=9的解，那么x02+y02=9．若M为(x0，y0)对应的点，
这说明点M在曲线上，即方程的解为坐标的点在曲线上。 由1、2可知，x2+y2=9是以坐标原点为圆心，半径等于3的圆的方程．
注：
用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x，y)=0．证明中分两个步骤：第一步，设M(x0，y0)是曲线C上任一点，证明(x0，y0)是f(x，y)=0的解；第二步，设(x0，y0)是f(x，y)=0的解，证明点M(x0，y0)在曲线C上．
三．小结：曲线C和二元方程f(x，y)=0应具备以下两个条件：1．若P(x0，y0)∈C，则f(x0，y0)=0成立；2．若f(x0，y0)=0，则P(x0，y0)∈C
用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x，y)=0．证明中分两个步骤：第一步，设M(x0，y0)是曲线C上任一点，证明(x0，y0)是f(x，y)=0的解；第二步，设(x0，y0)是f(x，y)=0的解，证明点M(x0，y0)在曲线C
四.作业：课后习题
求曲线方程学案
课前预习学案
预习目标
回顾圆锥曲线的定义，并会利用定义和性质求圆锥曲线的方程。
预习内容
1．到顶点和定直线的距离之比为的动点的轨迹方程是
2．直线与椭圆交于P、Q两点，已知过定点（1，0），则弦PQ中点的轨迹方程是
3．已知点P是双曲线上任一点，过P作轴的垂线，垂足为Q，则PQ中点M的轨迹方程是
4．在中，已知，且成等差数列，
则C点轨迹方程为
课堂探究学案
【学习目标】
1．了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题．
2．理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念．
3．通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．
4.通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法.
5.进一步理解数形结合的思想方法．
【学习重难点】
学习重点：熟练掌握求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等，并能灵活应用。
学习难点：曲线方程的概念和求曲线方程的方法．
【学习过程】
新课分析
解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质．求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程．
二、典型例题
例1．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于两点，P是上满足的点，求点P的轨迹方程。
方法点拨：用直接法：若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译”成关于动点的坐标的方程。经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹方程。其一般步骤为：建系——设点——列式——代换——化简——检验。
例2．如图，在中， 平方单位，动点P在曲线E上运动，若曲线E过点C且满足的值为常数。
求曲线E的方程；
设直线的斜率为1，若直线与曲线E有两个不同的交点Q、R，求线段QR的中点M
的轨迹方程。
方法点拨：用圆锥曲线的定义求方程。如果题目中的几何条件能够满足圆、椭圆、双曲线，抛物线的第一、二定义，则直接利用曲线定义写出其轨迹方程。
例3．如图所示，过椭圆E：上任一点P，作右准线的垂线PH，垂足为H。延长PH到Q，使HQ=
（1）当P点在E上运动时，求点Q的轨迹G的方程；
（2）当取何值时，轨迹G是焦点在平行于轴的直线上的椭圆？证明这些焦点都在同一个椭圆上，并写出椭圆的方程；
（3）当取何值时，轨迹G是一个圆？判断这个圆与椭圆的右准线的位置关系。
方法点拨：求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时需要对方程中的参数进行讨论，因为参数取值的变化会使方程表示不同的曲线，会使其与其他曲线的位置关系不同，会引起另外某些变量取值范围的变化。
例4．设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足点N的坐标为，当绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值。
方法点拨：本题是运用参数法求的轨迹。当动点P的坐标之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量，并用表示动点P的坐标，从而得到动点轨迹的参数方程，消去参数，便可得到动点P的轨迹普通方程。其中应注意方程的等价性，即由的范围确定出范围。
三、小结: 求曲线方程的两类问题：一是动点变动的根本原因，二是动点变动的约束
条件；求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等。
课后题高与练习
1.若点M（x,y）满足，则点M的轨迹是（ ）
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D抛物线.
2.点M为抛物线上的一个动点，连结原点O与动点M，以OM为边作一个正方形MNPO，则动点P的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
3.方程化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
4.一动圆M与两定圆均外切，则动圆圆心M的轨迹方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
5.抛物线关于直线对称的曲线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
６.椭圆Ｃ与椭圆关于直线对称，椭圆Ｃ的方程是（ ）
A. B.
C. D.
７.下列四个命题：
⑴圆关于点A(1，2)对称的曲线方程是；
⑵以点（2，－3）和点（2，1）为焦点的椭圆方程可以是；
⑶顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点(―4，―3)的抛物线方程只能是；
⑷双曲线右支上一点P到左准线的距离为18，则P点到右焦点的距离为；
以上正确的命题是＿＿＿＿＿＿＿.（将正确命题的序号都填上）
8.设曲线C：和直线.
⑴记与C的两个交点为A、B，求线段AB中点的轨迹方程；
⑵若线段AB上的点Q满足，求点Q的轨迹方程；
⑶在点Q的轨迹上是否存在点Q0，使得经过曲线C的焦点的弦被点Q0平分？证明你的结论.
答案：1、； 2、； 3、；
4、解析：应用圆锥曲线的定义，注意只有一支.
5、； ６、Ａ注意焦点所在位置的变化。
7、②④；
8、
略解：（1）设AB中点M，联立方程组得：，则，消云k得，注意到△＞0，∴，得
∴AB中点的轨迹方程是.
（2）点Q的轨迹方程是，是一条线段（无端点）.
（3）曲线C的焦点F，设过F的直线方程为，与曲线C的方程联立，得弦的中点的横坐标为,解得.
①当时，弦的中点的纵坐标；②当时，弦的中点的纵坐标.综上，存在点 ，使得经过曲线C的焦点的弦被点Q0平分.
求曲线的方程
【教学目标】
1．了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题．
2．理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念．
3．通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．
4.通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法.
5.进一步理解数形结合的思想方法．
【教学重难点】
教学重点：熟练掌握求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等，并能灵活应用。
教学难点：曲线方程的概念和求曲线方程的方法．
【教学过程】
一、课前预习
1．到顶点和定直线的距离之比为的动点的轨迹方程是
2．直线与椭圆交于P、Q两点，已知过定点（1，0），则弦PQ中点的轨迹方程是
3．已知点P是双曲线上任一点，过P作轴的垂线，垂足为Q，则PQ中点M的轨迹方程是
4．在中，已知，且成等差数列，则C点轨迹方程为
答案：1．（提示：设动点，则。）；2． ； 3．（提示：设，则将代入双曲线方程得。）； 4．（提示：到AB的距离之和为8。）
二、新课分析
解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质．求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程．
三、典型例题
例1．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于两点，P是上满足的点，求点P的轨迹方程。
方法点拨：用直接法：若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译”成关于动点的坐标的方程。经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹方程。其一般步骤为：建系——设点——列式——代换——化简——检验。
例2．如图，在中， 平方单位，动点P在曲线E上运动，若曲线E过点C且满足的值为常数。
求曲线E的方程；
设直线的斜率为1，若直线与曲线E有两个不同的交点Q、R，求线段QR的中点M的轨迹方程。
方法点拨：用圆锥曲线的定义求方程。如果题目中的几何条件能够满足圆、椭圆、双曲线，抛物线的第一、二定义，则直接利用曲线定义写出其轨迹方程。
例3．如图所示，过椭圆E：上任一点P，作右准线的垂线PH，垂足为H。延长PH到Q，使HQ=
（1）当P点在E上运动时，求点Q的轨迹G的方程；
（2）当取何值时，轨迹G是焦点在平行于轴的直线上的椭圆？证明这些焦点都在同一个椭圆上，并写出椭圆的方程；
（3）当取何值时，轨迹G是一个圆？判断这个圆与椭圆的右准线的位置关系。
方法点拨：求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时需要对方程中的参数进行讨论，因为参数取值的变化会使方程表示不同的曲线，会使其与其他曲线的位置关系不同，会引起另外某些变量取值范围的变化。
例4．设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足点N的坐标为，当绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值。
方法点拨：本题是运用参数法求的轨迹。当动点P的坐标之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量，并用表示动点P的坐标，从而得到动点轨迹的参数方程，消去参数，便可得到动点P的轨迹普通方程。其中应注意方程的等价性，即由的范围确定出范围。
四、小结：求曲线方程的两类问题：一是动点变动的根本原因，二是动点变动的约束
条件；求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等。
学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1．曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是( )
A．(4，0)和(－1，0) B．(4，0)和(－2，0)
C．(4，0)和(1，0) D．(4，0)和(2，0)
【解析】 在曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0中，令y＝0，则x2－3x－4＝0，∴x＝－1或x＝4.
∴交点坐标为(－1，0)和(4，0)．
【答案】 A
2．方程(x2－4)(y2－4)＝0表示的图形是( )
A．两条直线 B．四条直线
C．两个点 D．四个点
【解析】 由(x2－4)(y2－4)＝0得(x＋2)(x－2)(y＋2)·(y－2)＝0，所以x＋2＝0或x－2＝0或y＋2＝0或y－2＝0，表示四条直线．
【答案】 B
3．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是( )
A．x＋y＝4 B．2x＋y＝4
C．x＋2y＝4 D．x＋2y＝1
【解析】 由＝(x，y)，＝(1，2)得·＝(x，y)·(1，2)＝x＋2y＝4，则x＋2y＝4即为所求的轨迹方程，故选C.
【答案】 C
4．方程(2x－y＋2)·＝0表示的曲线是( )
A．一个点与一条直线
B．两个点
C．两条射线或一个圆
D．两个点或一条直线或一个圆
【解析】 原方程等价于x2＋y2－1＝0，即x2＋y2＝1，或故选C.
【答案】 C
5．已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是( )
A．a＞1 B．0＜a＜1
C．0＜a＜1或a＞1 D．a∈?
【答案】 A
二、填空题
6．“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”的________条件．
【解析】 “方程f(x，y)＝0是曲线C的方程 ”?“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，反之不成立．
【答案】 必要不充分
7．方程·(x＋y＋1)＝0表示的几何图形是________________．
【解析】 由方程得或x－3＝0，
即x＋y＋1＝0(x≥3)或x＝3.
【答案】 一条射线和一条直线
8．(2018·广东省华南师大附中月考)已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是________.
【解析】 由于||＝||，则P为MN的中点．设N(x，y)，则M(－x，0)，P，由·＝0，得·＝0，所以(－x)·1＋·＝0，则y2＝4x，即点N的轨迹方程是y2＝4x.
【答案】 y2＝4x
三、解答题
9．如图2-1-1，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．
图2-1-1
【解】 以O1O2的中点为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
得O1(－2，0)，O2(2，0)．
连结PO1，O1M，PO2，O2N.
由已知|PM|＝|PN|，得
|PM|2＝2|PN|2，
又在Rt△PO1M中，|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2，
在Rt△PO2N中，|PN|2＝|PO2|2－|NO2|2，
即得|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．
设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
化简得(x－6)2＋y2＝33.
因此所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
10．△ABC的三边长分别为|AC|＝3，|BC|＝4，|AB|＝5，点P是△ABC内切圆上一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值．
【解】 因为|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以∠ACB＝90°.
以C为原点O，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC|＝3，|BC|＝4，得C(0，0)，A(0，3)，B(4，0)．
设△ABC内切圆的圆心为(r，r)，
由△ABC的面积＝×3×4＝r＋2r＋r，
得r＝1，
于是内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1?x2＋y2＝2x＋2y－1，
由(x－1)2≤1?0≤x≤2.
设P(x，y)，那么|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋(y－3)2＋(x－4)2＋y2＋x2＋y2＝3(x2＋y2)－8x－6y＋25＝3(2x＋2y－1)－8x－6y＋25＝22－2x，
所以当x＝0时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2取最大值为22，
当x＝2时取最小值为18.
[能力提升]
1．到点A(0，0)，B(－3，4)的距离之和为5的轨迹方程是( )
A．y＝－x(－3≤x≤0)
B．y＝－x(0≤x≤4)
C．y＝－x(－3≤x≤4)
D．y＝－x(0≤x≤5)
【解析】 注意到|AB|＝5，则满足到点A(0，0)，B(－3，4)的距离之和为5的点必在线段AB上，因此，方程为y＝－x(－3≤x≤0)，故选A.
【答案】 A
2．(2016·河南省实验中学月考)已知动点P到定点(1，0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为( )
A．y2＝4x
B．y2＝－12(x－4)
C．y2＝4x(x≥3)或y2＝－12(x－4)(x<3)
D．y2＝4x(x≤3)或y2＝－12(x－4)(x>3)
【解析】 设P(x，y)，由题意得＋|x－3|＝4.若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)，故选D.
【答案】 D
3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．
【解析】 设动点P(x，y)，
依题意|PA|＝2|PB|，
∴＝2，
化简得(x－2)2＋y2＝4，
方程表示半径为2的圆，
因此图形的面积S＝π·22＝4π.
【答案】 4π
4．过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.
【解】 法一 设点M的坐标为(x，y)，
∵M为线段AB的中点，
∴A点的坐标为(2x，0)，B点的坐标为(0，2y)．
∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2，4)，
∴PA⊥PB，即kPA·kPB＝－1，
而kPA＝＝(x≠1)，
kPB＝＝，
∴·＝－1(x≠1)，
整理得x＋2y－5＝0(x≠1)．
∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2，0)，(0，4)，
∴线段AB的中点坐标是(1，2)，它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
法二 设点M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x，0)，(0，2y)，连结PM.
∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.
而|PM|＝，
|AB|＝，
∴2＝，
化简得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程.
