课件8张PPT。2.1曲线和方程—— 2.1.2求曲线的方程（二）自学指导看课本P35—P36
掌握求曲线方程的一般步骤(共五步)
10分钟后回答问题（如有疑问可以问老师或同桌小声讨论）
一般地，求曲线方程的基本步骤为： （1）建立适当的坐标系，并设动点坐标M（x，y）;（2）写出适合条件p的点M的集合 P＝{M|p(M)};（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程 f(x，y)＝0;（4）将方程f(x，y)＝0化简;（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.建系、设点限制条件化简验证直接法坐标代换建设现代化思考2例2. 长为2的线段AB的两端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，求线段AB的中点M的轨迹方程.x2＋y2＝1 点差法返回返回§2.1.2 曲线与方程（2）
学习目标
1. 求曲线的方程；
2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P36~ P37，找出疑惑之处）
复习1：已知曲线C的方程为 ，曲线上有点，的坐标是不是 的解？点在曲线上,则=___ ．
复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程之间有哪些关系?
二、新课导学
※ 学习探究
引入：
圆心的坐标为，半径为，求此圆的方程．
问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．
探究：若，如何建立坐标系求的垂直平分线的方程．
※ 典型例题
例1 有一曲线,曲线上的每一点到轴的距离等于这点到的距离的倍，试求曲线的方程．
变式：现有一曲线在轴的下方，曲线上的每一点到轴的距离减去这点到点，的距离的差是，求曲线的方程．
小结：点到轴的距离是 ；
点到轴的距离是 ；
点到直线的距离是 ．
例2已知一条直线和它上方的一个点，点到的距离是，一条曲线也在的上方，它上面的每一点到的距离减去到的距离的差都是，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．
※ 动手试试
练1． 有一曲线,曲线上的每一点到轴的距离等于这点到直线的距离的倍，试求曲线的方程．
练2. 曲线上的任意一点到,两点距离的平方和为常数,求曲线的方程．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 求曲线的方程；
2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．
※ 知识拓展
圆锥曲线的统一定义：
到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是圆锥曲线．
：椭圆；
： 抛物线；
： 双曲线．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．方程的曲线经过点，，，中的（ ）.
A．个 B．个 C．个 D．个
2．已知，，动点满足
,则点的轨迹方程是（ ）.
A． B． C． D．
3．曲线与曲线的交点个数一定是（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
4．若定点与动点满足,则点的轨迹方程是 ．
5．由方程确定的曲线所围成的图形的面积是 ．
课后作业
1．以O为圆心，为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？
2．已知点的坐标是，过点的直线与轴交于点，过点且与直线垂直的直线与轴交于点．设点是线段的中点，求点的轨迹方程．
§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)
学习目标
1．掌握点的轨迹的求法；
2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P41~ P42，文P34~ P36找出疑惑之处）
复习1：椭圆上一点到椭圆的左焦点的距离为，则到椭圆右焦点的距离
是 ．
复习2：在椭圆的标准方程中,,,则椭
圆的标准方程是 ．
二、新课导学
※ 学习探究
问题：圆的圆心和半径分别是什么?
问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；
反之,到点的距离等于的所有点都在
圆 上．
※ 典型例题
例1在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？
变式： 若点在的延长线上，且，则点的轨迹又是什么？
小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．
例2设点的坐标分别为，.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程 ．
变式：点的坐标是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是，点的轨迹是什么？
※ 动手试试
练1．求到定点与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程．
练2．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．
三、总结提升
※ 学习小结
1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；
②相关点法：寻求点的坐标与中间的关系，然后消去，得到点的轨迹方程．
※ 知识拓展
椭圆的第二定义：
到定点与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹．
定点是椭圆的焦点；
定直线是椭圆的准线；
常数是椭圆的离心率．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．若关于的方程所表示的曲线是椭圆，则在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若的个顶点坐标、，的周长为，则顶点C的轨迹方程为（ ）．
A． B． C． D．
3．设定点 ，，动点满足条件，则点的轨迹是（ ）．
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
4．与轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是 ．
5. 设为定点，||=，动点满足，则动点的轨迹是 ．
课后作业
1．已知三角形的一边长为，周长为，求顶点的轨迹方程．
2．点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．
课件16张PPT。2.1.2《求曲线的方程》台风移动 示意图引例：在美丽的南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为直角，你认为军舰巡逻的路线应是怎样的曲线，你能为它写出一个方程吗？ 例1、设A、B两点的坐标是（－1，－1）和（2，3），求线段AB的垂直平分线的方程？思考：①如果把这条垂直平分线看成是动点运动的轨迹，那么这条垂直平分线上任意一点应该满足怎样的几何条件？
②几何条件能否转化为代数方程？用什么方法进行转化？
③用新方法求得的直线方程，是否已符合要求？为什么？(提示:方程与曲线构成对应关系,必须满足什么条件?) 发散1：已知线段AB长为5，动点P到线段AB两端点的距离相等，求动点P的轨迹方程。思考1.与例1相比，有什么显著的不同点？2.你准备如何建立坐标系，为什么？3.比较所求的轨迹方程有什么区别？
从中得到什么体会?（1）没有确定坐标系时，要求方程首先必须建立坐标系；
（2）同一条曲线，在不同的坐标系中可能有不同的方程；
（3）坐标系选取适当，可以使运算简单，所得的方程也 比较简单。你能说出它的轨迹吗？解题心得求曲线方程的一般步骤：1.建系设点－－ 建立适当的直角坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任一点M的坐标；（如果题目中已确定坐标系就不必再建立）2.寻找条件－－ 写出适合条件P的点M的集合3.列出方程－－用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0；4.化简－－化方程f(x,y)=0为最简形式；5.证明－－证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。发散2：△ABC顶点B、C的坐标分别是（0、0）和（4、0），BC边上的中线长为3，求顶点A的轨迹方程。 以这个方程的解为坐标的点是否都在曲线上？思考？(x－2)2+y2=9 (x≠5且x ≠-1)求曲线方程的一般步骤：1.建系设点－－ 建立适当的直角坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任一点M的坐标；（如果题目中已确定坐标系就不必再建立）2.寻找条件－－ 写出适合条件P的点M的集合3.列出方程－－用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0；4.化简－－化方程f(x,y)=0为最简形式；5.证明－－证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。(不要求证明，但要检验是否产生增解或漏解.)思考：1如何把实际问题转化为数学问题？
2.你觉得应如何建立直角坐标系？
3.从军舰看甲乙两岛，保持视角为直角可转化为哪些几何条件？
4.所求方程与军舰巡逻路线是否对应？ 已知点C到直线L的距离为8，若动点P到点C和直线L的距离相等，求动点P的轨迹方程。如何建立适当的直角坐标系？思考？测试评价建立坐标系的原则: 一、建立的坐标系有利于求出题目的结果；二、尽可能多的使图形上的点（或已知点），
落在坐标轴上；三、充分利用图形本身的对称性；若曲线是轴对称图形,则可以选它的对称轴为坐标轴,
也可以选取曲线上的特殊点为坐标原点.四、保持图形整体性.已知点C到直线L的距离为8，若动点P到点C和直线L的距离相等，求动点P的轨迹方程。动点P的轨迹是什么呢？测试评价小结：
1.知识方面：
2.能力方面：
3.数学思想方法：
4.由本节课的学习得到的体会和想法。作业：
必做题：P72 4、5
在上两题的基础上编题，并写出解题过程。
选做题：过点P(2，4)做两条互相垂直的直线，若
交x轴于A点，交y轴于B点，求线段AB的
中点M的轨迹方程。
再见学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是( )
A．(4，0)和(－1，0) B．(4，0)和(－2，0)
C．(4，0)和(1，0) D．(4，0)和(2，0)
【解析】 在曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0中，令y＝0，则x2－3x－4＝0，∴x＝－1或x＝4.
∴交点坐标为(－1，0)和(4，0)．
【答案】 A
2．方程(x2－4)(y2－4)＝0表示的图形是( )
A．两条直线 B．四条直线
C．两个点 D．四个点
【解析】 由(x2－4)(y2－4)＝0得(x＋2)(x－2)(y＋2)·(y－2)＝0，所以x＋2＝0或x－2＝0或y＋2＝0或y－2＝0，表示四条直线．
【答案】 B
3．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是( )
A．x＋y＝4 B．2x＋y＝4
C．x＋2y＝4 D．x＋2y＝1
【解析】 由＝(x，y)，＝(1，2)得·＝(x，y)·(1，2)＝x＋2y＝4，则x＋2y＝4即为所求的轨迹方程，故选C.
【答案】 C
4．方程(2x－y＋2)·＝0表示的曲线是( )
A．一个点与一条直线
B．两个点
C．两条射线或一个圆
D．两个点或一条直线或一个圆
【解析】 原方程等价于x2＋y2－1＝0，即x2＋y2＝1，或故选C.
【答案】 C
5．已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是( )
A．a＞1 B．0＜a＜1
C．0＜a＜1或a＞1 D．a∈?
【答案】 A
二、填空题
6．“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”的________条件．
【解析】 “方程f(x，y)＝0是曲线C的方程 ”?“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，反之不成立．
【答案】 必要不充分
7．方程·(x＋y＋1)＝0表示的几何图形是________________．
【解析】 由方程得或x－3＝0，
即x＋y＋1＝0(x≥3)或x＝3.
【答案】 一条射线和一条直线
8．(2018·广东省华南师大附中月考)已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是________.
【解析】 由于||＝||，则P为MN的中点．设N(x，y)，则M(－x，0)，P，由·＝0，得·＝0，所以(－x)·1＋·＝0，则y2＝4x，即点N的轨迹方程是y2＝4x.
【答案】 y2＝4x
三、解答题
9．如图2-1-1，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．
图2-1-1
【解】 以O1O2的中点为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
得O1(－2，0)，O2(2，0)．
连结PO1，O1M，PO2，O2N.
由已知|PM|＝|PN|，得
|PM|2＝2|PN|2，
又在Rt△PO1M中，|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2，
在Rt△PO2N中，|PN|2＝|PO2|2－|NO2|2，
即得|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．
设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
化简得(x－6)2＋y2＝33.
因此所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
10．△ABC的三边长分别为|AC|＝3，|BC|＝4，|AB|＝5，点P是△ABC内切圆上一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值．
【解】 因为|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以∠ACB＝90°.
以C为原点O，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC|＝3，|BC|＝4，得C(0，0)，A(0，3)，B(4，0)．
设△ABC内切圆的圆心为(r，r)，
由△ABC的面积＝×3×4＝r＋2r＋r，
得r＝1，
于是内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1?x2＋y2＝2x＋2y－1，
由(x－1)2≤1?0≤x≤2.
设P(x，y)，那么|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋(y－3)2＋(x－4)2＋y2＋x2＋y2＝3(x2＋y2)－8x－6y＋25＝3(2x＋2y－1)－8x－6y＋25＝22－2x，
所以当x＝0时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2取最大值为22，
当x＝2时取最小值为18.
[能力提升]
1．到点A(0，0)，B(－3，4)的距离之和为5的轨迹方程是( )
A．y＝－x(－3≤x≤0)
B．y＝－x(0≤x≤4)
C．y＝－x(－3≤x≤4)
D．y＝－x(0≤x≤5)
【解析】 注意到|AB|＝5，则满足到点A(0，0)，B(－3，4)的距离之和为5的点必在线段AB上，因此，方程为y＝－x(－3≤x≤0)，故选A.
【答案】 A
2．(2016·河南省实验中学月考)已知动点P到定点(1，0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为( )
A．y2＝4x
B．y2＝－12(x－4)
C．y2＝4x(x≥3)或y2＝－12(x－4)(x<3)
D．y2＝4x(x≤3)或y2＝－12(x－4)(x>3)
【解析】 设P(x，y)，由题意得＋|x－3|＝4.若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)，故选D.
【答案】 D
3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．
【解析】 设动点P(x，y)，
依题意|PA|＝2|PB|，
∴＝2，
化简得(x－2)2＋y2＝4，
方程表示半径为2的圆，
因此图形的面积S＝π·22＝4π.
【答案】 4π
4．过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.
【解】 法一 设点M的坐标为(x，y)，
∵M为线段AB的中点，
∴A点的坐标为(2x，0)，B点的坐标为(0，2y)．
∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2，4)，
∴PA⊥PB，即kPA·kPB＝－1，
而kPA＝＝(x≠1)，
kPB＝＝，
∴·＝－1(x≠1)，
整理得x＋2y－5＝0(x≠1)．
∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2，0)，(0，4)，
∴线段AB的中点坐标是(1，2)，它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
法二 设点M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x，0)，(0，2y)，连结PM.
∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.
而|PM|＝，
|AB|＝，
∴2＝，
化简得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程.
