课件9张PPT。2.2.1椭圆及其标准方程
学习目标:
1.理解椭圆标准方程的推导；
2.掌握椭圆的标准方程；
3.会根据条件求椭圆的标准方程,会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。
自学指导看课本P38---P40
1.理解椭圆标准方程的推导；
2.掌握椭圆的标准方程；
3.会根据条件求椭圆的标准方程,会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。
10分钟后回答问题（如有疑问可以问老师或同桌小声讨论）注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方：
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;(常记作2c)
（3）绳长---轨迹上任意点到两定点距离和确定. (常记作2a,
且2a>2c)若2a=F1F2轨迹是什么呢？若2a2c>0)定 义注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.练习1.下列方程哪些表示椭圆？?练习2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5；(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点； (4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).小结：求椭圆标准方程的步骤：①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a, b的值.练习3. 已知椭圆的方程为： ，请填空：
(1) a=__，b=__，c=__，焦点坐标为___________，焦距等于__.
(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，
并且CF1=2,则CF2=___. 5436(-3,0)、(3,0)8练习4.已知方程 表示焦点在x轴 上的椭圆，则m的取值范围是 .(0,4) (1,2)课件7张PPT。2.2.1椭圆及其标准方程（二）焦点在y轴上,中心在原点：焦点在x轴上,中心在原点：椭圆的标准方程:(这两种坐标系下的方程形式,是最简的)(1)(2)b2=a2— c2cab其中F1(-c,0)，F2(c,0)其中F1(0,-c)，F2(0,c)注:①这样设不失为一种方法.§2.2.1椭圆及其标准方程(1)
学习目标
1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；
2．掌握椭圆的定义；
3．掌握椭圆的标准方程．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P38~ P40，文P32~ P34找出疑惑之处）
复习1：过两点,的直线方程 ．
复习2：方程 表示以 为圆心, 为半径的 ．
二、新课导学
※ 学习探究
取一条定长的细绳，
把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．
新知１： 我们把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．
反思：若将常数记为，为什么？
当时，其轨迹为 ；
当时，其轨迹为 ．
试试：
已知，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．
小结：应用椭圆的定义注意两点：
①分清动点和定点；
②看是否满足常数．
新知２：焦点在轴上的椭圆的标准方程
其中
若焦点在轴上，两个焦点坐标 ，
则椭圆的标准方程是 ．
※ 典型例题
例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴，焦点在轴上；
⑵，焦点在轴上；
⑶．
变式：方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的范围 ．
小结：椭圆标准方程中： ； ．
例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程 ．
变式：椭圆过点 ，，，求它的标准方程．
小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．
※ 动手试试
练1. 已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）．
A． B．6 C． D．12
练2 ．方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的范围．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 椭圆的定义：
2. 椭圆的标准方程：
※ 知识拓展
1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）．
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．平面内一动点到两定点、距离之和为常数，则点的轨迹为（ ）．
A．椭圆 B．圆
C．无轨迹 D．椭圆或线段或无轨迹
2．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
3．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一个焦点的距离是（ ）．
A．4 B．14 C．12 D．8
4．椭圆两焦点间的距离为，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于和，则椭圆的标准方程
是 ．
5．如果点在运动过程中，总满足关系式，点的轨迹是 ，它的方程是 ．
课后作业
1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在轴上，焦距等于，并且经过点；
⑵焦点坐标分别为，；
⑶．
2. 椭圆的焦距为，求的值．
第二章第三节椭圆及其标准方程
课前预习学案
预习目标；预习椭圆的定义和标准方程的推导
二、 预习内容：1．椭圆的定义
(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距．
注：①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是 ．
②当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程
(1) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：，其中( > >0，且 )
(2) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是，其中a，b满足： ．
三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：熟练掌握椭圆的定义及标准方程，熟练掌握解析几何的基本思想方法——坐标法，体会数形结合思想和类比思想的应用。
学习重难点：1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．2．难点：椭圆的标准方程的推导
二、学习过程：（一）椭圆的定义
1、[动动手]：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图版的两点处，套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
2、[问题]：①对比两条曲线，分别说出移动的笔尖满足的几何条件。
②能否说，椭圆为平面上一动点到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹呢？为什么？
3、[讨论]： 平面上一动点到两个定点的距离之和等于这两个定点间的距离的点的轨迹是什么？
4、[概括归纳] 椭圆的定义：
（二）椭圆的标准方程
1、[问题]① 你能说出求轨迹方程的一般步骤吗？
② 我们是如何建系求圆的标准方程的？观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单？
2、[动动手]：根据椭圆定义完成标准方程的推导过程。
【注意】问题1 怎样化简方程+=2a
同位合作： 相互检查化简的过程、结果是否正确？出现什么问题？如何更正？
分组讨论： 对a2－b2该如何处理？它有几何意义吗？画图说明。
问题２ 如果焦点Ｆ1，Ｆ2在ｙ轴上，坐标分别为（０，－Ｃ）（０，Ｃ），a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？它和焦点在轴上的椭圆方程有什么区别？
三、反思总结：椭圆的标准方程：
四、当堂检测：１.已知椭圆上的一点P，到椭圆一个焦点的距离为３，则P到另一焦点距离为（ ）
A．２ B．３ C．５ D．７
２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ ）
A. B. C. D.
答案D C
课后练习与提高
1.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是( )
A
2．椭圆的一个焦点是，那么等于（ ）
A. B. C. D.
3．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( )
A. B. C. D.
4．方程表示焦点在轴的椭圆时，实数的取值范围是____________
5．过点且与椭圆有共同的焦点的椭圆的标准方程为_____________
6．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程。
答案：1.B 2.A 3.B 4. 5.
6. 或
2.3椭圆及其标准方程
【教学目标】
1．使学生理解并掌握椭圆的定义、标准方程及其推导过程，并能进行简单应用．
2．通过数形结合，教学生猜想，培养学生的探索发现能力．
3．帮助学生树立运动变化的观点，培养学生的探索能力和进取精神．
【教学重难点】
教学重点：对椭圆的定义的理解及其标准方程记忆，
教学难点：椭圆标准方程的推导．
【教学过程】
一、复习并引入新课
师：在解析几何中，我们通常把动点按照某种规律运动形成的轨迹叫做曲线．曲线和方程的关系是什么？
生：如果曲线上任意一点的坐标都是方程f(x，y)=0的解，同时以方程f(x，y)=0的解为坐标的点又都在曲线上，那么方程就是曲线的方程，曲线就是方程的曲线．
师：圆的定义是：在平面上，到定点的距离等于定长的点的轨迹；那么当动点满足哪些条件时轨迹仍然是圆？
生：①平面上到两个定点(距离为2d)距离的平方和等于定值a(a＞2d2)的点的轨迹是圆；
②平面上，与两个定点连线的斜率乘积为-1的点的轨迹是圆．
(以上结论在本节课之前书上习题中，请学生自己总结．)
师：由此可见，平面上到两个定点距离或与两个定点连线满足某种条件的点的轨迹比较特殊，下面就从这点出发研究．
二、讲授新课
1．请学生观察计算机演示如图2-23，并思考两个问题．
(1)动点是在怎样的条件下运动的？
(2)动点运动出的轨迹是什么？
观察后请学生回答．
生：动点是在“到两个定点距离之和等于定值”这一条件下
运动的，轨迹是椭圆．
师：椭圆这种曲线你在哪些地方见过？
生：立体几何中圆的直观图是椭圆．
生：人造卫星的运行轨道．
师：好，这种曲线在实际生活中是很常见的，很多物体的横截面的轮廓线也是椭圆，可见学习这种曲线的有关知识是十分必要的．
(联系实际生活进行教学可以使教学内容亲切，激发学生的学习热情．)
师：是否到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢？
(学生可能一时答不出，教师可请学生观察计算机演示如图2-24并思考．)
师：当两个定点位置变化时，轨迹发生了怎样的变化？
生：当两个定点重合时，轨迹变化为圆；当定值等于两个定点间的距离时，轨迹是一条线段．
师：可见圆是椭圆的特例．据此你能得到什么结论？
生：平面上不存在到两个定点距离之和小于定值的点．
说明：观察计算机演示“通过两焦点位置的改变而引起椭圆形状变化的课件”，首先从一个点分裂为两个点，曲线从圆变成椭圆；随着两点间距离的增大，椭圆越来越扁，直到动点到此两点距离之和恰好等于两点间距离时，动点的运动曲线变成了线段，然后随着两点间距离的缩小，曲线再变成椭圆；当两点重合时，曲线又变成了圆，如此反复……如图2-24．从而启发学生发现椭圆定义中的条件，然后师生共同小结完成下表，教师可用投影进行完整的总结．
在平面上到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹为
最后由学生口述教师板书：把平面内与两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹叫做椭圆，其中2a＞|F1F2|．顺便可以指出两个定点叫做焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距，用2c(c＞0)表示．
2．推导椭圆的标准方程．
师：下面我们一起来推导椭圆的方程．
教师提出问题：求到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a(2a＞|F1F2|)的点的轨迹．
师：求曲线方程的步骤是什么？
生：求曲线方程的步骤是：①建立坐标系设动点坐标：②寻找动点满足的几何条件；③把几何条件坐标化；④化简得方程；⑤检验其完备性．
师：那么此题应如何建立坐标系呢？建立直角坐标系一般应符合简单和谐化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线的斜率等)的表达式简单化，注意要充分利用图形的特殊性．
(让学生思考后回答)
教师归纳大体上有如下三个方案：
①取一个定点为原点，以F1，F2所在直线为x轴建立直角坐标系，如图2-25；
②以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，如图2-26；
③以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方案②，如图2-27，推导出方程．
解析： 1)建系：以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为M(x，y)，
设两定点坐标为：
F1(-c，0)，F2(c，0)，
2)则M满足：|MF1|+|MF2|=2a，
4)化简．
师：我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法？
生：化去方程中的根式应该用移项平方、再移项再平方的办法．
师：好，下面我们就一起来完成这部分计算．(师生共同完成)
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．
师：还有其它化简的方法吗？一般遇到化简根式的问题你应该想到什么？
生：共轭根式．
师：好，下面我们就通过构造共轭根式、解方程组的办法化方程中的根式．
(师生共同完成．此部分内容可根据学生情况选讲)
(x+c)2+y2-[(x-c)2+y2]=4cx
②，由②÷①得：
化简得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．
师：到此我们已经推导出了椭圆的方程，但此形式还不够简洁，且x，y的系数形式不一致，为了使方程形式和谐且便于记忆和使用，我们应该如何将方程进行变形呢？(这里，数学审美成为研究发现的动力．)
学生此时可能还不理解，教师可启发学生观察图形如图2-28，看看a与c的关系如何？
师：请结合图形找出方程中a、c的关系．
生：根据椭圆定义知道a2＞c2，且如图所示，a与c可以看成Rt△MOF2的斜边和直角边．
师：很好！那我们不妨令b2=a2-c2，则方程就变形为b2x2+a2y2=a2b2，如果再化简，你会得到什么形式的方程呢？
师：其中a与b的关系如何？为什么？
生：a＞b＞0，因为a与b分别是Rt△MOF2的斜边、直角边．
教师指出(*)式就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，最后说明：
1)方程中条件a＞b＞0不可缺少(结合图形)，当a=b＞0时，就化成圆心在原点的圆的方程，从而进一步说明圆是椭圆的特例；(这实际上是一种极限情况．)
2)b的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：b2=a2-c2；
3)请学生猜想：若用方案③(即焦点在y轴上)，得到的方程形式又如何呢？
(启发学生根据对称性进行猜想)
师：请同学们课后进行推导验证．
师：此时方程中a与b的关系又如何？(结合图形请学生将条件a＞b＞0补上．)
三、例题
例1． ?平面内两个定点间的距离为8，写出到这两个定点距离之和为10的点的轨迹方程．
解析： ?所求轨迹是椭圆，两个定点为焦点，用F1，F2表示，不妨以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则2a=10，2c＝8，因为b2=a2-c2=9，
点评：很多学生不建立坐标系就写出了方程．强调建立不同的坐标系会得到不同的方程，因此当题目中没有给定坐标系时，首先应选择合适的坐标系．
变式训练1。写出适合下列条件的椭圆的标准方程(其中((1)、(2))学生回答)．
(1)a=4，b-1，焦点在x轴上；
例2． ?已知定圆x2+y2-6x-55=0，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程．
分析师：由两圆内切，你会得到什么结论？
生：圆心距等于半径之差的绝对值．
师：根据图形，请用数学符号表示此结论．(如图2-29)
生：此结论表示为：|MQ|=8-|MP|．
师：观察上式，你有何联想？
生：上式可以变形为|MQ|+|MP|=8，又因为|PQ|＝6＜8，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆．
解析： ?已知圆化为：(x-3)2+y2=64，
圆心Q(3，0)，r=8，所以P在定圆内．
设动圆圆心为M(x，y)，则|MP|为半径．
又圆M和圆Q内切，做|MQ|=8-|MP|，
|MQ|+MP=8，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点
变式训练2：已知：△ABC的一边长BC=6，周长为16，求顶点A的轨迹方程．
略解? 以BC所在直线为x轴，BC中垂线为y轴建立直角坐标系，设顶点A(x，y)，根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得顶点A
因为A为△ABC的顶点，故点A不在x轴上，所以方程中要注明y≠0的条件．
四、小结(由师生共同完成)
1．知识方面：椭圆的定义(要注意定义中的条件)以及椭圆的标准方程要注意焦点的位置与方程形式的关系；
2．能力方面：巩固了求曲线方程的步骤与方法，要学会用运动变化的观点研究问题；
3．体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美．
课件10张PPT。椭圆及其标准方程上课数学：2.1《椭圆》课件（新人教A选修2-1） 2019-9-15作业演示题组训练小结推导方程目标2019-9-15目标
1.理解椭圆标准方程的推导；
2.掌握椭圆的标准方程；
3.会根据条件求椭圆的标准方程,会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。2019-9-15推导方程（1）回顾求圆的标准方程的基本步骤建立坐标系、设点、找等量关系、代入坐标、化简⑵如何建立适当的坐标系求椭圆的方程？推
导建立如图所示的坐标系,设M(x,y)是椭圆上的任意一点，则F1(-C,0),F2(C,0)由定义移项得平方得再平方，并整理得令 得xMyoMxyo2019-9-15小结：同学们完成下表 2019-9-15题组训练题组1
（1）在椭圆 中,a= 4 ,b= 3 ,焦距是 焦点坐标是 ,焦点位于 轴上.
（2）在椭圆 中,a= ５ ,b= ２ ,焦距是 焦点坐标是,____ __ .焦点位于__轴上.题组3、4题组2
求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）a=4,b=1,焦点在X轴上.
（2）a=4,c=,焦点在坐标轴上
或 2019-9-15题组训练题组3（1）P为椭圆 上一点,P到一个焦点的距离为4,则P到另一个焦点的距离为_6_
（2）如图, 椭圆 ,两焦点过的直线交椭圆于A,B两点,则三角形ABC的周长是_16
（3）如果点M(x,y)在运动过程,总满足关系式:
点M的轨迹是什么曲线?写出它的方程. 答案：表示以（0，-3），（0, 3)为焦点的椭圆方程为 2019-9-15题组4（1）已知两定点F1（-3，0），F2（3，0），若点P满
足 ，则点P的轨迹是 椭圆 ，若点P满
足 ，则点P的轨迹是 线段 。
(2) 已知△ABC的一边长 ，周长为16，求顶点A的轨迹方程。分析：求符合某种条件的点的轨迹方程，常常要画出草图，
建立适当的坐标系。（数形结合思想的应用）
解：建系如图，则B(-3,0),C(3,0) ，设A(x,y)
由题意得： （常数）
所以点A的轨迹是椭圆，且a=5,c=3, b=4
点A的轨迹方程为：
A,B,C构成三角形
所求方程为 ( )
xyoBC2019-9-15课堂小结1、椭圆的定义，应注意什么问题？
2、求椭圆的标准方程，应注意什么问题？2019-9-15作业1.已知椭圆两个焦点（-2，0），F2（2，0），并且经过点（ , ），求它的标准方程。
2.椭圆的两个焦点F1（-8，0），F2（8，0），且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，求此椭圆的标准方程。
3.若B（-8，0），C（8，0）为的两个顶点，AC和AB两边上的中线和是30，求的重心G的轨迹方程。2019-9-15学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2018·潍坊高二检测)如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．(3，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(3，＋∞)∪(－∞，－2)
D．(3，＋∞)∪(－6，－2)
【解析】 由于椭圆的焦点在x轴上，
所以即
解得a＞3或－6＜a＜－2，故选D.
【答案】 D
2．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋x2＝1
B.＋y2＝1或x2＋＝1
C.＋y2＝1
D．以上都不对
【解析】 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则
∴
∴椭圆的方程为x2＋＝1.
【答案】 A
3．(2018·合肥高二月考)设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( )
A．5 B．4
C．3 D．1
【解析】 由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.
【答案】 B
4．椭圆mx2＋ny2＝－mn(mA．(0，±) B．(±，0)
C．(0，±) D．(±，0)
【解析】 将mx2＋ny2＝－mn(m－n>0，得焦点在y轴上，即a2＝－m，b2＝－n，得c2＝a2－b2＝n－m，故选C.
【答案】 C
5．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，
又|F1F2|＝2c＝2＝4，
即|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2，
∴△PF1F2为直角三角形．
【答案】 B
二、填空题
6．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
【解析】 依题意，有
可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3.
【答案】 3
7．已知椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________．
【解析】 法一：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2，0)．
从而有
解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
法二：依题意，可设椭圆C的方程为
＋＝1(a>b>0)，
则
解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，
从而a2＝16，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
8．已知P是椭圆＋＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程是________．
【解析】 如图，依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a(a是常数且a＞0)．
又|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PQ|＝2a，
即|QF1|＝2a.
由题意知，a＝2，b＝，c＝＝＝1.
∴|QF1|＝4，F1(－1，0)，
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，
∴动点Q的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.
【答案】 (x＋1)2＋y2＝16
三、解答题
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，
∴2a＝4，a2＝4，
∵点是椭圆上的一点，
∴＋＝1，
∴b2＝3，∴c2＝1，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0)．
10．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.【解】 (1)由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．
由椭圆的定义知，
2a＝＋＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又因为c∶a＝5∶13，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
[能力提升]
1．“0A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 曲线＋＝1表示椭圆等价于
得t∈∪.故选B.
【答案】 B
2．已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|是|PF2|的( )
A．7倍 B．5倍
C．4倍 D．3倍
【解析】 由已知F1(－3，0)，F2(3，0)，
由条件，知P，即|PF2|＝.
由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.
所以|PF1|＝.
所以|PF1|＝7|PF2|.
【答案】 A
3．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是________．
【解析】 由条件可取F1(－3，0)，∵PF1的中点在y轴上，
∴设P(3，y0)，由P在椭圆＋＝1上得y0＝±，
∴M的坐标为.
【答案】 ±
4．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点(如图2-2-3)，∠F1F2B＝，△F1F2A的面积是△F1F2B面积的2倍．若|AB|＝，求椭圆C的方程.
图2-2-3
【解】 由题意可得S△F1F2A＝2S△F1F2B，
∴|F2A|＝2|F2B|，
由椭圆的定义得
|F1B|＋|F2B|＝|F1A|＋|F2A|＝2a，
设|F2A|＝2|F2B|＝2m，
在△F1F2B中，由余弦定理得
(2a－m)2＝4c2＋m2－2·2c·m·cos?
m＝.
在△F1F2A中，同理可得m＝，
所以＝，解得2a＝3c，
可得m＝，|AB|＝3m＝＝，c＝4.
由＝，得a＝6，b2＝20，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
