课件8张PPT。椭圆的简单几何性质(1)自学指导看课本P43---P45
1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）；
2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响.
3.数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质
10分钟后回答问题（如有疑问可以问老师或同桌小声讨论）
椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：[2]离心率对椭圆形状的影响：02）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆[3]e与a,b的关系:思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲 线又是 什么？|x|≤ a,|y|≤ b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b. a>ba2=b2+c2|x|≤ a,|y|≤ b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b. a>ba2=b2+c2|x|≤ b,|y|≤ a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225, 它的长轴长是： 。短轴长是： 。
焦距是： 。 离心率等于： 。
焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。
外切矩形的面积等于： 。 1068602、确定焦点的位置和长轴的位置例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；
⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２：１的两部分，且经过点解:利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点
，故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为 注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： ⑴定位； ⑵定量例3：(1)椭圆 的左焦点
是两个顶点，如果 到直线AB的
距 离为 ，则椭圆的离心率e= .
(2)设M为椭圆 (a>b>0)上一点， 为椭圆
的焦点,如果 ，求椭圆的离心率。课件20张PPT。2.2.2椭圆的简单几何性质（2）1. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率是 .知识巩固A1MB2OF2yx2. 如图F2是椭圆的右焦点，MF2垂
直于x轴，且B2A1∥MO,求其离心率.1.对于椭圆的原始方程,
变形后得到 ,
再变形为 .
这个方程的几何意义如何？新知探究OxyF新知探究若点F是定直线l外一定点，动点M到点F的距离与它到直线l的距离之比等于常数e(0＜e＜1)，则点M的轨迹是椭圆.新知探究动画
直线 叫做椭圆相应于焦点F2(c，0)的准线，相应于焦点F1(－c，0)的准线方程是新知探究椭圆 的准线方程是新知探究椭圆的一个焦点到它相应准线的距离是新知探究椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值和最小值分别是最大值为a，最小值为b.新知探究椭圆上一点M(x0，y0)到左焦点F1(－c，0) 和右焦点F2(c，0)的距离分别是|MF1|＝a＋ex0|MF2|＝a－ex0新知探究N 椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离叫做椭圆的焦半径，上述结果就是椭圆的焦半径公式.|MF1|＝a＋ex0|MF2|＝a－ex0新知探究 椭圆 的焦半径公式是 |MF|＝a±ey0 新知探究 点M在椭圆上运动，当点M在什么位置时，∠F1MF2为最大？ 点M为短轴的端点. 新知探究 例1 若椭圆 上一点P到
椭圆左准线的距离为10，求点P到椭
圆右焦点的距离.12 典型例题典型例题 例3 已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，点P为直线x＝3与椭圆的一个交点，若点P到椭圆两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆的方程.典型例题例4 已知点M与点F(4，0)的距离和它
到直线l： 的距离之比等于 ，
求点M的轨迹方程. 典型例题变式：求 的最小值
练习：已知F1 、F2椭圆的左右焦点，椭
圆上存在点M使得MF1⊥MF2,求椭圆的
离心率的范围. 课件10张PPT。直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系种类:相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点)相离(没有交点)
相切(一个交点)
相交(二个交点) 直线与椭圆的位置关系的判定代数方法例5 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，
(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
椭圆的弦所在的直线方程.
§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1）
学习目标
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；
2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P43~ P46，文P37~ P40找出疑惑之处）
复习1： 椭圆上一点到左焦点的距离是，那么它到右焦点的距离是 ．
复习2：方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 ．
二、新课导学
※ 学习探究
问题1：椭圆的标准方程，它有哪些几何性质呢？
图形：
范围：： ：
对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；
顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；
长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；
离心率：刻画椭圆 程度．
椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率，
记，且．
试试：椭圆的几何性质呢？
图形：
范围：： ：
对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；
顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；
长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；
离心率： = ．
反思：或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？
※ 典型例题
例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
变式：若椭圆是呢？
小结：①先化为标准方程，找出 ，求出；
②注意焦点所在坐标轴．
例2 点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹．
小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆 ．
※ 动手试试
练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在轴上，，；
⑵焦点在轴上，，；
⑶经过点，；
⑷长轴长等到于，离心率等于．
三、总结提升
※ 学习小结
1 ．椭圆的几何性质：
图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；
2 ．理解椭圆的离心率．
※ 知识拓展
（数学与生活）已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆，且篮球与地面的接触点是椭圆的焦点．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．若椭圆的离心率，则的值是（ ）．
A． B．或 C． D．或
2．若椭圆经过原点，且焦点分别为，，则其离心率为（ ）．
A． B． C． D．
3．短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，过作直线交椭圆于两点，则的周长为（ ）．
A． B． C． D．
4．已知点是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于，则点的坐标是 ．
5．某椭圆中心在原点，焦点在轴上，若长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ．
课后作业
1．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？
⑴与 ；
⑵与 ．
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴经过点，；
⑵长轴长是短轴长的倍，且经过点；
⑶焦距是，离心率等于．
§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)
学习目标
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；
2．椭圆与直线的关系．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P46~ P48，文P40~ P41找出疑惑之处）
复习1： 椭圆的
焦点坐标是（ ）（ ） ；
长轴长 、短轴长 ；
离心率 ．
复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？
二、新课导学
※ 学习探究
问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？
问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？
反思：点与椭圆的位置如何判定？
※ 典型例题
例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点，已知，，，试建立适当的坐标系，求截口所在椭圆的方程．
变式：若图形的开口向上，则方程是什么？
小结：①先化为标准方程，找出 ，求出；
②注意焦点所在坐标轴．
（理）例2 已知椭圆，直线：
。椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？
变式：最大距离是多少？
动手试试
练1已知地球运行的轨道是长半轴长
，离心率的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．
练2．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求的长．
三、总结提升
※ 学习小结
1 ．椭圆在生活中的运用；
2 ．椭圆与直线的位置关系：
相交、相切、相离（用判定）．
※ 知识拓展
直线与椭圆相交，得到弦，
弦长
其中为直线的斜率，是两交点坐标．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．设是椭圆 ，到两焦点的距离之差为，则是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）．
A. B. C. D.
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（ ）．
A. B. 3 C. D.
4．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率为 ．
5．椭圆的焦点分别是和，过原点作直线与椭圆相交于两点，若的面积是，则直线的方程式是 ．
课后作业
求下列直线与椭圆的交点坐标．
2．若椭圆，一组平行直线的斜率是
⑴这组直线何时与椭圆相交？
⑵当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？
2. 2.2椭圆的简单几何性质
课前预习学案
预习目标：预习椭圆的四个几何性质
二、 预习内容：(1)范围:----------------，椭圆落在-----------------组成的矩形中．
(2)对称性:图象关于轴对称．图象关于轴对称．图象关于原点对称 原点叫椭圆的---------，简称-----．轴、轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆共有四个顶点： ---------------加两焦点----------共有六个特殊点. 叫椭圆的-----，叫椭圆的-----．长分别为 分别为椭圆的-------和------.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点
(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比
椭圆形状与的关系：，椭圆变---，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例 椭圆变---，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例
三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：1 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e的几何意义。2 初步利用椭圆的几何性质解决问题。
学习重难点：椭圆的几何性质的探讨以及a,b,c,e的关系
二、学习过程：探究一 观察椭圆的形状，
你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对
称性？椭圆上哪些点比较特殊？
1 、范围 ：
（1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是。
椭圆上点的纵坐标的范围是。
（2）由椭圆的标准方程知
① 1,即 ；② 1；即
因此位于直线和围成的矩形里。
2 、对称性
（1）从图形上看，椭圆关于，，对称
（2）在椭圆的标准方程中
① 把x换成-x方程不变，说明图像关于轴对称
②把y换成-y方程不变，说明图像关于轴对称
③把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，说明图形关于对称，因此是椭圆的对称轴，是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做
3 、顶点
（1）椭圆的顶点: 椭圆与对称轴有个交点，分别为：
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
（2）线段叫做椭圆的，其长度为
线段叫做椭圆的，其长度为
a和b分别叫做椭圆的和
探究二 圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较接近于圆，用什么样的量来刻画椭圆的“扁平”程度呢？
4 、椭圆的离心率
（1）定义：叫做椭圆的离心率，用表示，即
（2）由于a>c>0，所以离心率e的取值范围是
（3）若e越接近1，则c越接近a，从而越，因而椭圆越.若e越接近0，则c越接近0，从而越，因而椭圆越接近于.
三、反思总结：下面把焦点在x轴和在y轴上的两种标准方程的几何性质作以比较：
标准方程
图形
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
轴长
短轴长，长轴长.
离心率
四、当堂检测：
1．对于椭圆 ，下列说法正确的是（????? ）．
A．焦点坐标是 ??????????????? B．长轴长是5
C．准线方程是 ????????????? D．离心率是
2．离心率为 、且经过点 的椭圆的标准方程为（? ????）．
A． ?????????????????? B． 或
C． ????????????????? D． 或
答案：1D 2D
课后练习与提高
1．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=（ ）
A． B． C． D．
2. 椭圆的焦点坐标是（ ）
A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)
3. 椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0,), (0,2)，则此椭圆的方程是 （ ）
A.或 B.
C. D.
4．已知 是椭圆 上一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则 到左焦点的距离为_____________．
5．若椭圆 的离心率为 ，则它的长半轴长是______________．
6．椭圆中心在原点，焦点在 轴上，离心率 ，它与直线 交于 ， 两点，且 ，求椭圆方程．
答案1．B2．C3．C4． ???? 5．1或2?
6．设椭圆方程为 ，由 可得 ．由直线和椭圆方程联立消去 可得 ．设 ， 得 ，即 ，化简得 ，由韦达定理得 ，解出 ，故所求椭圆方程为 ．?
2.2.2椭圆的简单几何性质
【教学目标】
1． 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e的几何意义。
2． 初步利用椭圆的几何性质解决问题。
教学重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率。
教学难点：利用椭圆的几何性质解决问题。
【教学过程】
预习检查、总结疑惑:察看导学案做的情况
情景导入、展示目标：由于方程与函数都是描述图形和图像上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系，因此我们可以用类比研究函数图像的方法，根据椭圆的定义，图形和方程来研究椭圆的几何性质.
师：代数中研究函数图象时都需要研究函数的哪些性质？
生：需要研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质．
师：由于方程f(x，y)=0与函数y=f(x)都是描述图形和图象上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系(当然也有区别，例如：在函数中，对每一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，而方程中x、y的关系则较为复杂．)，因此我们可以用类比研究函数图象的方法，根据椭圆的定义、图形和标准方程来研究椭圆的几何性质．
师：好，现在我们有3个工具，即：椭圆的两个定义、图形及其标准方程，下面我们就分别从研究定义、图形和方程出发看看能获得哪些性质．
合作探究、精讲点拨。探究一 观察椭圆的形状，
你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对
称性？椭圆上哪些点比较特殊？
1 、范围 ：
（1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是。
椭圆上点的纵坐标的范围是。
（2）由椭圆的标准方程知
① 1,即 ；② 1；即
因此位于直线和围成的矩形里。
2 、对称性
（1）从图形上看，椭圆关于，，对称
（2）在椭圆的标准方程中
① 把x换成-x方程不变，说明图像关于轴对称
②把y换成-y方程不变，说明图像关于轴对称
③把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，说明图形关于对称，因此是椭圆的对称轴，是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做
3 、顶点
（1）椭圆的顶点: 椭圆与对称轴有个交点，分别为：
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
（2）线段叫做椭圆的，其长度为
线段叫做椭圆的，其长度为
a和b分别叫做椭圆的和
探究二 圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较接近于圆，用什么样的量来刻画椭圆的“扁平”程度呢？
4 、椭圆的离心率
（1）定义：叫做椭圆的离心率，用表示，即
（2）由于a>c>0，所以离心率e的取值范围是
（3）若e越接近1，则c越接近a，从而越，因而椭圆越.若e越接近0，则c越接近0，从而越，因而椭圆越接近于.
例1? 求椭圆16x2+25y2=400的长轴、短轴的长，焦点、顶点坐标和离心率，并用描点法画出图形．
分析? 首先应将方程化为标准方程，计算出a，b，c，再根据其几何性质解出即可．
(教师可指定一名学生板书．)
c=3，因此长轴、短轴的长分别为：2a=10，2b=8，焦点为：F1(-3，0)，F2(3，0)．顶点A1(-5，0)，A2(5，0)，B1(0，-4)，B2(0，4)．离心率是0.6
点评：画图时应先画矩形，在第一象限内描出一些点并连成光滑的线，再根据椭圆的对称性画出整个椭圆，如图2-34．
变式训练1：椭圆的对称轴是坐标轴，有两个顶点是(5，0)和(0，?7)，则该椭圆的方程是
答案D
例2? 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439千米，远地点B距地面2384千米，地球半径6371千米，求卫星的轨道方程(如图2-35)．
分析：结合图2-35可知近地点、远地点实际上是椭圆长轴上的两个顶点．
解? 选取坐标系如图2-35，
则a-c=OA-OF2=F2A=6371+439=6810，
a+c=OB-OF2=F2B=6371+2384=8755，
所以a=7782.5，c=972.5，b=7721.5．
点评：本题是一个实际应用问题，分析出近地点、远地点实际上是椭圆长轴上的两个顶点后转化成椭圆问题就好解决了。
变式训练2：中心在原点，对称轴在坐标轴，长轴是短轴的5倍，且过点P(7，2)的椭圆方程是________________________
答案：
反思总结，当堂检测。
轴的轴对称图形，又是以原点为对称中心的中心对称图形．因此，画它的图形时，只要画出第一象限的部分，其余可由对称性得出．
(2)在讨论椭圆性质时，应首先根据方程判断此长轴的位置(即焦点在x轴上，还是在y轴上)，然后再讨论其他性质；(判断方法是“大小分长短”，即哪个字母下面的数大，焦点就在那个轴上．)
(3)常数e(离心率)是焦距与长轴长的比值，与坐标轴的选择无关．
方法方面：
(1)给出方程会求椭圆的几何性质；
(2)会用待定系数法根据条件求椭圆方程．
检测题：椭圆中心在原点，焦点在 轴上，离心率 ，它与直线 交于 ， 两点，且 ，求椭圆方程．（）
作业：发导学案、布置预习。
课件14张PPT。2.2.2《椭圆的几何性质》教学目标 1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）；
2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响.三．教学重、难点：数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质 复习：
1、 圆的轨迹定义、标准方程、几何性质问题：
椭圆的轨迹定义、标准方程、几何性质 2、平面解析几何研究的两个主要问题（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程（2）通过方程，研究平面曲线的性质一、椭圆的范围说明：椭圆位于矩形之中。二、椭圆的对称性之中，把_____换成______，方程不变，说明：
椭圆关于_____轴对称；
椭圆关于_____轴对称；
椭圆关于_____点对称；中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心故：坐标轴是椭圆的对称轴， 原点是椭圆的对称中心三、椭圆的顶点中，令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。四、椭圆的离心率[1]离心率的取值范围：
因为 a > c > 0，所以0＜e ＜1
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁.
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆.
3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，椭圆方程变为（？）[2]离心率对椭圆形状的影响：[1] 椭圆标准方程所表示的椭圆的存在范围是什么？[2] 上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？[3] 椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？[4] 对称轴与长轴、短轴是什么关系？[5] 2a 和 2b是什么量？
a和 b是什么量？[6] 关于离心率讲了几点？回 顾例1 求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标，并作出简图。解：把已知方程化成标准方程这里，例1 求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标，并作出简图。例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点P（- 3，0）、Q（0，2）;例1、如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面212km，远地点B
（离地面最远的点）
距地面41981km，并
且F2、A、B在同一
直线上，地球半径约
为6371km。求卫星
远行的轨道方程（精
确到0.1km）。再见学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2018·人大附中月考)焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【解析】 由题意知2b＝8，得b＝4，所以b2＝a2－c2＝16，又e＝＝，解得c＝3，a＝5，又焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1，故选C.
【答案】 C
2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意知a＝2c，∴e＝＝＝.
【答案】 A
3．曲线＋＝1与＋＝1(0A．有相等的焦距，相同的焦点
B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
【解析】 曲线＋＝1的焦距为2c＝8，而曲线＋＝1(0＜k＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.
【答案】 B
4．已知O是坐标原点，F是椭圆＋＝1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，则cos∠MON的值为( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 由题意，a2＝4，b2＝3，
故c＝＝＝1.
不妨设M(1，y0)，N(1，－y0)，所以＋＝1，
解得y0＝±，
所以|MN|＝3，|OM|＝|ON|＝＝.
由余弦定理知cos∠MON＝＝＝－.
【答案】 B
5．如图2-2-4，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( )
图2-2-4
A. B.
C. D.
【答案】 D
二、填空题
6．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为________.
【解析】 如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝.
【答案】
7．设AB是椭圆＋＝1的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kAB·kOM＝________．
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点坐标M，得kAB＝，
kOM＝，kAB·kOM＝，
b2x＋a2y＝a2b2，b2x＋a2y＝a2b2，
得b2(x－x)＋a2(y－y)＝0，即＝－.
【答案】 －
8．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________．
【解析】 因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.
【答案】 [1，2]
三、解答题
9．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6，0)，(6，0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
【解】 (1)∵c＝＝，
∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．
设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵e＝＝，c＝，
∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵2c＝8，∴c＝4，
又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.
∴椭圆的方程为＋＝1.
10．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)与x轴交于点A，以OA为边作等腰三角形OAP，其顶点P在椭圆上，且∠OPA＝120°，求椭圆的离心率．
【解】 不妨设A(a，0)，点P在第一象限内，由题意知，点P的横坐标是，设P，由点P在椭圆上，得＋＝1，y2＝b2，即P，又∠OPA＝120°，所以∠POA＝30°，故tan∠POA＝＝，所以a＝3b，所以e＝＝＝＝.
[能力提升]
1．(2018·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A. B.－1
C．2－ D.
【解析】 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得|PF2|＝＝2c，
即＝2c，
得离心率e＝－1，故选B.
【答案】 B
2．“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 椭圆＋＝1的离心率为，
当0当m>4时，＝，得m＝，
即“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的充分不必要条件．
【答案】 A
3．(2018·济南历城高二期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是________．
【解析】 由＝2，得|AO|＝2|FO|(O为坐标原点)，即a＝2c，
则离心率e＝.
【答案】
4．已知点A，B分别是椭圆＋＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
【解】 (1)由已知可得A(－6，0)，B(6，0)，F(4，0)，
设点P的坐标是(x，y)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．
由已知得
则2x2＋9x－18＝0，解得x＝或x＝－6.
由于y>0，所以只能取x＝，于是y＝.
所以点P的坐标是.
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是(m，0)，
则M到直线AP的距离是，又B(6，0)，
于是＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2，
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝＋15，
由于－6≤x≤6，所以当x＝时，d取最小值为.
学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1．已知椭圆＋＝1上的焦点为F，直线x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝( )
A．2 B．4
C．4 D．8
【解析】 由题可得a＝2.如图，设F1为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1，BF1，CF，FD.由椭圆的对称性可知， 四边形AFDF1为平行四边形，
∴|AF1|＝|FD|，同理可得|BF1|＝|CF|，∴|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝|AF|＋|BF|＋|BF1|＋|AF1|＝4a＝8，故选D.
【答案】 D
2．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(－3，0) D．(1，3)
【解析】 由
消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.
若直线与椭圆有两个公共点，
则
解得
由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.综上可知，m>1且m≠3，故选B.
【答案】 B
3．若点P(a，1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为( )
A.
B.∪
C.
D.
【解析】 因为点P在椭圆＋＝1的外部，所以＋＞1，解得a＞或a＜－，故选B.
【答案】 B
4．椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A. B.
C. D.
【解析】 联立方程组可得
得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则x0＝＝，
y0＝1－x0＝1－＝.
∴kOP＝＝＝.故选A.
【答案】 A
5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝( )
A. B．2
C. D．3
【解析】 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1，0)．
由＝3，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得
×＋＝1.
解得n2＝1，
∴||＝＝＝.
【答案】 A
二、填空题
6．若直线x－y－m＝0与椭圆＋y2＝1有且仅有一个公共点，则m＝________.
【解析】 将直线方程代入椭圆方程，消去x，得到10y2＋2my＋m2－9＝0，
令Δ＝0，解得m＝±.
【答案】 ±
7．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
【解析】 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)，
由消去y，得3x2－4x＝0.
∴A(0，－1)，B.
∴|AB|＝，
∴|F1A|＋|F1B|＝4a－|AB|＝4－＝.
【答案】
8．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
【解析】 由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组
解得A(0，－2)，B，
∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.
【答案】
三、解答题
9．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
【解】 (1)由题意得消去y，整理得：
5x2＋2mx＋m2－1＝0.
∵直线与椭圆有公共点，
∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0，
∴－≤m≤.
(2)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由(1)得
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝.
∵－≤m≤，
∴0≤m2≤，
∴当m＝0时，|AB|取得最大值，此时直线方程为y＝x，即x－y＝0.
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
【解】 (1)由题意得
解得b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝
＝
＝，
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离
d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，
由＝，
化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.
[能力提升]
1．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，则·的值等于( )
A．0 B．2
C．4 D．－2
【解析】 由题意得c＝＝，
又S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，
所以当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最大值，
此时∠F1PF2＝120°.
所以·＝||·||·cos 120°＝2×2×＝－2.
故选D.
【答案】 D
2．过椭圆＋＝1内一点P (2，－1)的弦恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A．5x－3y＋13＝0 B．5x＋3y＋13＝0
C．5x－3y－13＝0 D．5x＋3y－13＝0
【解析】 设弦的两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组
两式作差可得：
5(x1＋x2)(x1－x2)＝－6(y1＋y2)(y1－y2)， ①
又弦的中点为(2，－1)，
可得x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2， ②
将②代入①式可得k＝＝，
故直线的方程为y＋1＝(x－2)，
化为一般式为5x－3y－13＝0，故选C.
【答案】 C
3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________.
【解析】 法一 设直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得
＋(x＋t)2＝1，
整理得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.
∵Δ＝64t2－80(t2－1)>0，
∴－设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
∴|AB|＝
＝
＝.
当t＝0时，|AB|为最大，即|AB|max＝.
法二 根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，将y＝x代入＋y2＝1得交点坐标为A和B，
故|AB|＝.
【答案】
4．(2018·天津模拟)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．
【解】 (1)设F(－c，0)，由＝，知a＝c.
过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，
代入椭圆方程有＋＝1，
解得y＝±，于是＝，
解得b＝，
又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，
由方程组消去y，
整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
可得x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·
＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋.
由已知得6＋＝8，
解得k＝±.
