课件12张PPT。双曲线及其标准方程看课本P52---P54
1、掌握双曲线的画法及定义
2、能推导双曲线的标准方程
3、能准确判断双曲线焦点的位置
4、掌握参数a,b,c之间的关系
10分钟后回答问题（如有疑问可以问老师或同桌小声讨论）自学指导① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;② |F1F2|=2c ——焦距.（1）2a<2c ； 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.（2）2a >0 ；双曲线定义思考：（1）若2a=2c,则轨迹是什么？（2）若2a>2c,则轨迹是什么？说明（3）若2a=0,则轨迹是什么？ | |MF1| - |MF2| | = 2a(1)两条射线(2)不表示任何轨迹(3)线段F1F2的垂直平分线看 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？问题F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|－|MF2||=2a |MF1|+|MF2|=2a F（0，±c）F（0，±c）例2:如果方程 表示双曲线，求m的取值范围.解:2. 3.1双曲线及其标准方程
课前预习学案
预习目标：了解双曲线的定义及焦点、焦距的意义。
预习内容：平面内与两定点 , 的距离的差的绝对值等于常数(小于||)的点的轨迹叫做-------。两定点 , 叫做双曲线的_________ ，两焦点间的距离||叫做双曲线的________ ．
三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一.学习目标：掌握双曲线的标准方程及其特点；会求简单的双曲线的标准方程。学习重难点：双曲线的定义的理解和标准方程的特点
二.学习过程：
问题 1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？
如图 2-23，定点 , 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，|| - || 是常数，这样就画出一条曲线；
由 || - || 是同一常数，可以画出另一支．
新知 1：双曲线的定义：平面内与两定点 , 的距离的差的绝对值等于常数(小于||)的点的轨迹叫做双曲线。
两定点 , 叫做双曲线的_________ ，
两焦点间的距离||叫做双曲线的________ ．
反思：设常数为2a ，为什么2a < || ？
2a = ||时，轨迹是__________ ；
2a > || 时，轨迹____________ ．
试一试：点 A( 1,0) ， B (-1 ,0) ，若 |AC| - |BC| = 1 ，则点C 的轨迹是__________ ．
新知 2：双曲线的标准方程：,(a> 0,b> 0, )（焦点在x 轴）其焦点坐标为 (- c ,0) ， (c ,0) ．
思考：若焦点在 y 轴，标准方程又如何？
三.反思总结：1.双曲线定义中需要注意的条件：
2.双曲线方程的特点（注意与椭圆对比、区分）：、的系数符号相反，若的系数为正，则焦点在轴上，反之则在轴上。
3.求双曲线方程关健是确定、，常见的方法是待定系数法或直接由定义确定。
四.当堂检测1．已知点和，曲线上的动点P到、的距离之差为6，则曲线方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．
2．“ab<0”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案：1.D 2.A
课后练习与提高
1．动圆与两圆和都相切，则动圆圆心的轨迹为（ ）
A．抛物线
B．圆
C．双曲线的一支
D．椭圆
2．P为双曲线上的一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切
B．内切或外切
C．外切
D．相离或相交
3．双曲线的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（ ）
A．（-∞，0]∪[1，+∞）
B．（-∞，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪[1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）
4．双曲线的一个焦点是，则m的值是_________。
5．过双曲线的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______
6．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹方程。
答案：1.C 2.B 3.B 4. -2 5. . 6.提示：易知
由双曲线定义知
即
① 即
此时点的轨迹为线段AB的中垂线，其方程为x=1(y≠0)
② 即
此时点的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为 （y≠0）
2.3.1双曲线及其标准方程
【教学目标】掌握双曲线的标准方程及其特点；会求简单的双曲线的标准方程。
教学重点：双曲线的定义及其标准方程．
教学难点：双曲线标准方程的推导．
【教学过程】
预习检查、总结疑惑:察看导学案做的情况
情景导入、展示目标：(一)复习提问，平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a 时，形成的轨迹？
(1)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆．
(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数(等于|F1F2|)的点的轨迹是线段.
(3)常数2a|F1F2|时,无轨迹.
(二)双曲线的概念
把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？
合作探究、精讲点拨：观察如图 2-23，定点 , 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，|| - || 是常数，这样就画出一条曲线；
由 || - || 是同一常数，可以画出另一支．
双曲线的定义：平面内与两定点 , 的距离的差的绝对值等于常数(小于||)的点的轨迹叫做双曲线。现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．
标准方程的推导：
(1)建系设点
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)
建立直角坐标系．
设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．
(2)点的集合
由定义可知，双曲线就是集合：
P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．
(3)代数方程
(4)化简方程
将这个方程移项，两边平方得：
两边再平方，整理得：
(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)
由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以
设(b＞0)，代入上式得：
这就是双曲线的标准方程．
两种标准方程的比较(引导学生归纳)：
教师指出：
(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；
(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．
(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．
例1?若一个动点P(x，y)到两个定点A(－1，0)、A′(1，0)的距离差的绝对值为定值a，求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
解：∵｜AA′｜＝2，
∴(1)当a＝2时，轨迹方程是y＝0(x≥1或x≤－1)，轨迹是两条射线．
(2)当a＝0时，轨迹是线段AA′的垂直平分线x＝0．
(3)当0＜a＜2时，轨迹方程是＝1，轨迹是双曲线．
点评：注意定值的取值范围不同，所得轨迹方程不同．
变式训练1．方程＝1表示双曲线，则k∈( )
解析：∵方程＝1表示双曲线，
∴(10－k)(5－k)＜0，∴5＜k＜10．
例2一炮弹在某处爆炸，在F1(－5000，0)处听到爆炸声的时间比在F2(5000，0)处晚秒，已知坐标轴的单位长度为1米，声速为340米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上?并求爆炸点所在的曲线方程．
点评：在F1处听到爆炸声比F2处晚秒，相当于爆炸点离F1的距离比F2远6000米，这是解应用题的第一关——审题关；根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线，这是解应用题的第二关——文化关(用数学文化反映实际问题)．借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关(用数学知识解决第二关提出的问题)．
变式训练2 F1、F2为双曲线－y2＝－1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是( )
解析：双曲线－y2＝－1的两个焦点是F1(0，－)、F2(0，)，
∵∠F1PF2＝90°，∴｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2．
即｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝20 ①
∵｜PF1｜－｜PF2｜＝±2，
∴｜PF1｜2－2｜PF2｜·｜PF1｜＋｜PF2｜2＝4 ②
①－②得2｜PF1｜·｜PF2｜＝16，∴＝｜PF1｜·｜PF2｜＝4．
反思总结，当堂检测。1.双曲线定义中需要注意的条件：
2.双曲线方程的特点（注意与椭圆对比、区分）：、的系数符号相反，若的系数为正，则焦点在轴上，反之则在轴上。
3.求双曲线方程关健是确定、，常见的方法是待定系数法或直接由定义确定。
检测题：1. P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝______．
2．焦点在x轴上，中心在原点且经过点P(2，3)和Q(－7，－6)的双曲线方程是______
3. 椭圆＝1与双曲线＝1有相同焦点，则a的值是______．
答案：1. －8 2. ＝1 3. a＝±1
作业：发导学案、布置预习。
§2.3.1 双曲线及其标准方程
学习目标
1．掌握双曲线的定义；
2．掌握双曲线的标准方程．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P52~ P55，文P45~ P48找出疑惑之处）
复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？
复习2：在椭圆的标准方程中，有何关系？若，则写出符合条件的椭圆方程．
二、新课导学
※ 学习探究
问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？
如图2-23，定点是两个按钉，是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点移动时，
是常数，这样就画出一条曲线；
由是同一常数，可以画出另一支．
新知1：双曲线的定义：
平面内与两定点的距离的差的 等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线。
两定点叫做双曲线的 ，
两焦点间的距离叫做双曲线的 ．
反思：设常数为 ，为什么？
时，轨迹是 ；
时，轨迹 ．
试试：点，，若，则点的轨迹是 ．
新知2：双曲线的标准方程：
（焦点在轴）
其焦点坐标为，．
思考：若焦点在轴，标准方程又如何？
※ 典型例题
例1已知双曲线的两焦点为，，双曲线上任意点到的距离的差的绝对值等于，求双曲线的标准方程．
变式：已知双曲线的左支上一点到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为 ．
例2 已知两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
变式：如果两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？
小结：采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置．
动手试试
练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在轴上，，；
（2）焦点为，且经过点．
练2．点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们斜率之积是，试求点的轨迹方程式，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状．
三、总结提升
※ 学习小结
1 ．双曲线的定义；
2 ．双曲线的标准方程．
知识拓展
GPS(全球定位系统)： 双曲线的一个重要应用．
在例2中，再增设一个观察点，利用，两处测得的点发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点的准确位置．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（ ）．
A. 双曲线 B. 双曲线的一支
C. 两条射线 D. 一条射线
2．双曲线的一个焦点是，那么实数的值为（ ）．
A． B． C． D．
3．双曲线的两焦点分别为，若，则（ ）．
A. 5 B. 13 C. D.
4．已知点，动点满足条件. 则动点的轨迹方程为 ．
5．已知方程表示双曲线，则的取值范围 ．
课后作业
求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在轴上，，经过点；
（2）经过两点，．
2．相距两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差，已知声速是，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？
课件17张PPT。立体几何课件2.2.1 双曲线的定义及标准方程1、求曲线方程的步骤一、建立坐标系，设动点的坐标；二、找出动点满足的几何条件；三、将几何条件化为代数条件；四、化简，得所求方程。2、椭圆的定义到平面上两定点F1，F2的距离之和（大于|F1F2|）为常数的点的轨迹3、椭圆的标准方程有几类？[两类][思考]到平面上两定点F1，F2的距离之差（小于|F1F2|）为常量的点的轨迹是什么样的图形?看图双曲线标准方程的推导一、建立坐标系；设动点为P(x,y)注：设两焦点之间的距离 为2c(c>0), 即焦点F1(c,0),F2(-c,0)注：P点到两焦点的距离之差用2a(a>0)表示。 二、根据双曲线的定义找出P点满足的几何条件。三、将几何条件化为代数条件。根据两点的间的距离公式得：四、化简代数式化简得：因为三角形F2PF1的两边之差必小于第三边，所以2a<2c, a0于是令：c2-a2=b2 代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2C2=a2+b2思考如果双曲线的焦点在y轴上，焦点的方程是怎样？C2=a2+b2图像1图像2双曲线的标准方程C2=a2+b2[练习一] 判断下列各双曲线方程焦点所在的坐标轴；求a、b、c各为多少？[练习二]写出双曲线的标准方程1、已知a=3,b=4焦点在x轴上，双曲线的标准方程为 。 2、已知a=3,b=4焦点在y轴上，双曲线的标准方程为 。 3、已知a=3,b=4,双曲线的标准方程为( )[课堂练习] 求双曲线的方程1、求a=3,焦点为F1（-5，0）、F2（5，0）的双曲线标准方程。解:根据题意可得a=3,c=5, 且焦点在x轴上又 b2=c2-a2=25-9=16所求双曲线的方程为:2、求b=3,焦点为F1（0，-5）、F2（0，5）的双曲线标准方程。返回[布置作业]一、复习所学内容；二、完成练习册P35 甲组:一,二 1, 乙组:一,二 1；三、预习双曲线的性质。学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围为( )
A．－2＜m＜2 B．m＞0
C．m≥0 D．|m|≥2
【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.
【答案】 A
2．设动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3)
【解析】 由题意知，轨迹应为以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，
∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．
【答案】 D
3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
【解析】 由
?(|PF1|－|PF2|)2＝16，
即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故选C.
【答案】 C
4．已知椭圆方程＋＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D．3
【解析】 椭圆的焦点为(1，0)，顶点为(2，0)，即双曲线中a＝1，c＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝＝2.
【答案】 C
5．若k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．焦点在x轴上的双曲线
【解析】 原方程化为标准方程为＋＝1，
∵k＞1，∴1－k＜0，k2－1＞0，
∴此曲线表示焦点在y轴上的双曲线．
【答案】 C
二、填空题
6．设点P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________．
【解析】 由双曲线的标准方程得a＝3，b＝4.
于是c＝＝5.
(1)若点P在双曲线的左支上，
则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，∴|PF2|＝6＋|PF1|＝16；
(2)若点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝6，
∴|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.
综上，|PF2|＝16或4.
【答案】 16或4
7．已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的________．(填序号)
①2；②－1；③4；④－3.
【解析】 设双曲线的方程为－＝1，则c＝3，∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，∴－【答案】 ①②
8．已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则的值等于________.
【解析】 由方程－＝1知a2＝16，b2＝9，即a＝4，c＝＝5.
在△ABP中，利用正弦定理和双曲线的定义知，＝＝＝＝.
【答案】
三、解答题
9．求与双曲线－＝1有相同焦点且过点P(2，1)的双曲线的方程．
【解】 ∵双曲线－＝1的焦点在x轴上．
依题意，设所求双曲线为－＝1(a>0，b>0)．
又两曲线有相同的焦点，
∴a2＋b2＝c2＝4＋2＝6. ①
又点P(2，1)在双曲线－＝1上，
∴－＝1. ②
由①②联立得a2＝b2＝3，
故所求双曲线方程为－＝1.
10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
【解】 (1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
[能力提升]
1．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A．1 B.
C．2 D．3
【解析】 由题意知椭圆、双曲线的焦点在x轴上，且
a>0.∵4－a2＝a＋2，∴a2＋a－2＝0，
∴a＝1或a＝－2(舍去)．故选A.
【答案】 A
2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】 不妨设P是双曲线右支上一点，
在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2，
∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，
∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·，
∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴8＝4＋|PF1||PF2|，
∴|PF1||PF2|＝4.故选B.
【答案】 B
3．已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________．
【解析】 设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|，又|FN|＝＝5，由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－|PF′|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1.
【答案】 －1
4．已知双曲线－＝1的两焦点为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求点M到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
【解】 (1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，·＝0，
则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义知，m－n＝2a＝8， ①
又m2＋n2＝(2c)2＝80， ②
由①②得m·n＝8，
∴mn＝4＝|F1F2|·h，∴h＝.
(2)设所求双曲线C的方程为
－＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，
所以－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所求双曲线C的方程为－＝1.
