课件6张PPT。2.4.1抛物线及其
标准方程自学指导看课本P64—P67
1、掌握抛物线的定义。
2、掌握抛物线标准方程的四种形式。
3、能准确求出抛物线的焦点坐标和准线方程。
10分钟后回答问题（如有疑问可以问老师或同桌小声讨论）二、抛物线的定义：注意：定点不在定直线上向右
向左
向上
向下
练习：填表（填标准方程）求抛物线的标准方程待定系数法4.已知动圆M过定点F(2, 0)，且与直线
x= –2相切，求动圆圆心M的轨迹方程.定义法课件23张PPT。2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程 生活中存在着各种形式的抛物线抛物线的生活实例1.掌握抛物线的定义及标准方程.（重点）
2.能求简单抛物线的方程.（重点、难点） 我们知道,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴等问题.那么，抛物线到底有怎样的几何性质？它还有哪些几何性质？探究点1 抛物线的定义MHFE思考：如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线.H是l上任意一点，经过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹.你能发现点M满足的几何条件吗？m一条经过点F且垂直于l 的直线抛物线的定义: 在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线.|MF|=d焦点d准线点F叫做抛物线的焦点,
直线l 叫做抛物线的准线.想一想：定义中当直线l 经过定点F，则点M的轨迹是什么?······以过点F且垂直于直线 l 的直线为x轴,垂足为K.以FK的中点O为坐标原点建立直角坐标系xOy.KOFMl···（x,y）设M（x，y）是抛物线上任意一点，H点M到l的距离为d．d由抛物线的定义，抛物线就是点的集合探究点2 抛物线的标准方程两边平方,整理得KOFMl···（x, y）Hd其中p为正常数，它的几何意义是: 焦点到准线的距离．方程 y2 = 2px（p＞0）表示焦点在x轴正半轴上的抛物线． 若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根据上述办法求出它的标准方程吗？抛物线的标准方程还有哪些不同形式?O准线方程焦点坐标标准方程焦点位置 图
形 四种抛物线及其它们的标准方程 x轴的
正半轴上 x轴的
负半轴上 y轴的
正半轴上 y轴的
负半轴上y2=2px(p>0)y2=-2px (p>0)x2=2py (p>0)x2=-2py (p>0)....（1）若一次项的变量为X（或Y），则焦点就在X轴（或Y轴）上； 如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？（2）一次项的系数的正负决定了开口方向 即：焦点与一次项变量有关；正负决定开口方向！ 【提升总结】【例1】(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程．
(2)已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程.解:(1)因为ｐ＝３，故抛物线的焦点坐标为 ，
准线方程为(2)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且 故所求抛物线的标准方程为x2=-8y.1.根据下列条件写出抛物线的标准方程.
(1)焦点是（0，-3）；
(2)准线是 .
2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程.
(1)y=8x2；
(2)x2+8y=0.x2=-12yy2=2x【提升总结】(1)用待定系数法求抛物线标准方程,应
先确定抛物线的形式，再求p值.(2)求抛物线的
焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程.【变式练习】【例2】一种卫星接收天线的轴截面如图(1)所示.卫
星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天
线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)
为4.8m,深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线
的标准方程和焦点坐标.,即p=5.76.解：如图(2)，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合.设抛物线的标准方程是 所以，所求抛物线的标准方程是 ,焦
点坐标是（2.88，0）. 由已知条件可得，点A的坐标是（0.5，2.4），代入方程得(2).FC2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则
点P到该抛物线焦点的距离是（ ）
A.12 B.4 C.6 D.8 C3．已知动圆M 经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．解析：设动点M(x，y)，
设圆M与直线l：x＝－3的切点为N，
则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3
的距离相等，
所以点M的轨迹是抛物线，
且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
所以 ＝3，所以p＝6.
所以圆心M的轨迹方程是y2＝12x.平面内与一个定点F的距离和一条定直线l (l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.一个定义：两类问题：三项注意：四种形式：1.求抛物线标准方程；
2.已知方程求焦点坐标和准线方程.1.定义的前提条件：直线l不经过点F;
2.p的几何意义：焦点到准线的距离；
3.标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线.抛物线的标准方程有四种：
y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0)，
x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0). 追赶时间的人，生活就会宠爱他；放弃时间的人，生活就会冷落他.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－2x B．y2＝2x
C．x2＝2y D．x2＝－2y
【解析】 由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.
【答案】 B
2．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝16x B．y2＝－16x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
【解析】 因为双曲线－＝1的右顶点为(4，0)，即抛物线的焦点坐标为(4，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x.
【答案】 A
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( )
A. B.
C．2 D．2
【解析】 抛物线的焦点为(，0)，即c＝.双曲线的渐近线方程为y＝x，由＝，即b＝a，所以b2＝2a2＝c2－a2，所以c2＝3a2，即e2＝3，e＝，即离心率为.
【答案】 B
4．抛物线y2＝12x的准线与双曲线－＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为( )
A．3 B．2
C．2 D.
【解析】 抛物线y2＝12x的准线为x＝－3，双曲线的两条渐近线为y＝±x，它们所围成的三角形为边长等于2的正三角形，所以面积为3，故选A.
【答案】 A
5．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
【解析】 由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的距离就是p.故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．
【解析】 抛物线y2＝2x的焦点为F，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.
【答案】 2
7．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
【解析】 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上的一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
【答案】 ②④
8．抛物线y＝2x2的准线方程为________．
【解析】 化方程为标准方程为x2＝y，故＝，开口向上，
∴准线方程为y＝－.
【答案】 y＝－
三、解答题
9．求焦点在x轴上，且焦点在双曲线－＝1上的抛物线的标准方程．
【解】 由题意可设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
则焦点为.
∵焦点在双曲线－＝1上，
∴＝1，求得m＝±4，
∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
10．已知平面上动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.
【解】 法一 设点P的坐标为(x，y)，
则有＝|x|＋1.
两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|.
∴y2＝
即点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．
法二 由题意知，动点P到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1，0)到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点符合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1，0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．
[能力提升]
1．已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为( )
A．2 B．4
C. D.＋1
【解析】 将P点到直线l1：x＝－1的距离转化为点P到焦点F(1，0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，∴P到两直线的距离之和的最小值为＝2，故选A.
【答案】 A
2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O为原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )
A. B.
C. D．2
【解析】 根据题意画出简图(图略)，设∠AFO＝θ(0<θ<π)，|BF|＝m，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ，得cos θ＝，又m＝2＋mcos(π－θ)，得m＝＝，△AOB的面积为S＝·|OF|·|AB|·sin θ＝×1××＝，故选C.
【答案】 C
3．如图2-4-1是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.
图2-4-1
【解析】 以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．
则A(2，－2)，代入方程得p＝1，
∴抛物线的方程为x2＝－2y，
设B(x0，－3)(x0<0)代入方程得x0＝－.
∴此时的水面宽度为2 m.
【答案】 2
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1，点M是两条曲线的一个公共点.
(1)求抛物线的方程；
(2)求双曲线的方程．
【解】 (1)把M代入方程y2＝2px，
得p＝2，
因此抛物线的方程为y2＝4x.
(2)抛物线的准线方程为x＝－1，所以F1(－1，0)，设双曲线的右焦点为F，则F(1，0)，
于是2a＝||MF1|－|MF||＝＝，
因此a＝.
又因为c＝1，所以b2＝c2－a2＝，
于是，双曲线的方程为－＝1.
课题：抛物线及标准方程
课时：09
课型：新授课
知识与技能目标
使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．
要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．
情感，态度与价值观目标
（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
（2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。
能力目标：
（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；
（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；
通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力
（1）复习与引入过程
回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？
2．简单实验
如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．
（2）新课讲授过程
（i）由上面的探究过程得出抛物线的定义
《板书》平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
(ii) 抛物线标准方程的推导过程
引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．
由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：
将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．
(iii)例题讲解与引申
已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程
已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程
解 因为p=3，所以抛物线的焦点坐标是（3/2,0）准线方程是x=-3/2
因为抛物线的焦点在轴的负半轴上，且p/2=2，p=4，所以抛物线的标准方程是x2=-8y
例2一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线的接受天线，经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m深度为0.5m，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
解：设抛物线的标准方程是y2=2px (p>0)。有已知条件可得，点A的坐标是（0.5，2.4）代入方程，得2.4=2p*0.5即=5.76所以，抛物线的标准方程是y2=11.52x，焦点坐标是（2.88，0）
课堂练习：第67页1、2、3
课后作业：第73页1、2、3、4
课后预习：双曲线的性质
