13.1轴对称 同步练习
一、单选题（共8题）
1.下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(??? )
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
2.如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（?? ）
A.?10°???????????????????????????????????????B.?15°???????????????????????????????????????C.?20°???????????????????????????????????????D.?25°
3.甲、乙两名同学下棋，甲执圆子，乙执方子.如图，棋盘中心方子的位置用（－1，0）表示，右下角方子的位置用（0，－1）表示，甲将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形，甲放的位置是（?? ）
A.?（－2，1）??????????????????????B.?（－1，1）??????????????????????C.?（－1，0）??????????????????????D.?（－1，2）
4.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（??? ）
A.?24°???????????????????????????????????????B.?30°???????????????????????????????????????C.?36°???????????????????????????????????????D.?48°
5.下列图形中，对称轴的条数最多的是(??? )
A.?长方形???????????????????????????????B.?正方形???????????????????????????????C.?等腰三角形???????????????????????????????D.?线段
6.如图，在△ABC中， AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于E.若∠A＝40°，则∠EBC的度数是（? ）
A.?30°???????????????????????????????????????B.?35°???????????????????????????????????????C.?40°???????????????????????????????????????D.?45°
7.如图，直线 是 的边 的垂直平分线，已知 ， 的周长为17cm，则 的长为（?? ）
A.?7cm???????????????????????????????????B.?10cm???????????????????????????????????C.?12cm???????????????????????????????????D.?22cm
8.如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=112°，则∠EAF为（???? ）
A.?38°???????????????????????????????????????B.?40°???????????????????????????????????????C.?42°???????????????????????????????????????D.?44°
二、填空题（共6题）
9.如图,△ABO是关于y轴对称的轴对称图形,点A的坐标为(-2,3),则点B的坐标为________.
10.①圆，②正方形，③平行四边形，④等腰三角形，⑤直角三角形;在这五个图形中。既是轴对称图形又是中心对称图形的是________．(填标号)
11.如图，在周长为10 cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，则△ABE的周长为________.
12.已知点O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为6cm，则OA+OB+OC=________.
13.如图所示， ，点 为 内一点，分别作出 点关于 、 的对称点 ， ，连接 交 于 ，交 于 ， ，则 的周长为________， ________.
14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=40°，在直线AC上找点P，使△ABP是以AB为底的等腰三角形，则∠PBC的度数为________．
三、解答题（共4题）
15.如图，∠A=90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数．
16.已知如图，点P在 内，请按要求完成以下问题．
（1）分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连结MN分别交OA、OB于E、F；
（2）若 的周长为20，求MN的长．
17.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．
（1）作线段AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接AD，若DE=2cm，求BC的长．
18.如图四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形， AD⊥AB，AD=DC=4；
（1）求证：BD垂直平分AC；
（2）求BE的长；
（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小值。PC+PF的最小值为 ________（直接写出结果）。
13.1轴对称 同步练习
参考答案与解析
一、单选题（共8题）
1.下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(??? )
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
解：A，是轴对称图形，不是中心对称图形；B，是轴对称图形，也是中心对称图形；C，是轴对称图形，不是中心对称图形；D，不是轴对称图形，是中心对称图形.
故答案为：B. ?
2.如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（?? ）
A.?10°???????????????????????????????????????B.?15°???????????????????????????????????????C.?20°???????????????????????????????????????D.?25°
解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠CED=50°，
∴∠ECB=40°=∠EBC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°，
故答案为：C.
3.甲、乙两名同学下棋，甲执圆子，乙执方子.如图，棋盘中心方子的位置用（－1，0）表示，右下角方子的位置用（0，－1）表示，甲将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形，甲放的位置是（?? ）
A.?（－2，1）??????????????????????B.?（－1，1）??????????????????????C.?（－1，0）??????????????????????D.?（－1，2）
解：根据题目中给出的两个棋子的坐标可知，原图中最右侧的圆子位于坐标原点O，并且可以确定如图①所示的平面直角坐标系.
在画出上述平面直角坐标系的棋盘上依次标注各选项所描述的第4枚圆子的位置(如图②至图⑤；该圆子所在位置用相应的选项名称在图中标注).
观察图②至图⑤可以看出，在四个选项中，只有按照B选项给出的坐标放置第4枚圆子才能使整个图形成为轴对称图形(图③中的虚线表示该图形的对称轴).
故答案为：B.
4.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（??? ）
A.?24°???????????????????????????????????????B.?30°???????????????????????????????????????C.?36°???????????????????????????????????????D.?48°
解：∵ BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABD=24°， ∵BC的垂直平分线交BC于点E， ∴∠FCE=∠DBC=24°， 又∠A=60°，∠ABD=24°，∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-48°=72°， ∴∠ACF=∠ACB-∠FCE=72°-24°=48°。 故答案为：D。
5.下列图形中，对称轴的条数最多的是(??? )
A.?长方形???????????????????????????????B.?正方形???????????????????????????????C.?等腰三角形???????????????????????????????D.?线段
解：A.长方形有2条对称轴，即对边中点连线所在的直线； B.正方形有4条对称轴，即对边中点连线和对角线所在的直线； C.等腰三角形有1条对称轴，即底边上的高所在的直线； D.线段有1条对称轴，即垂直平分线所在的直线； 故答案为：B.
6.如图，在△ABC中， AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于E.若∠A＝40°，则∠EBC的度数是（? ）
A.?30°???????????????????????????????????????B.?35°???????????????????????????????????????C.?40°???????????????????????????????????????D.?45°
解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C= (180°-∠A)=70°，
∵AB的垂直平分线DE，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=70°-40°=30°.
故答案为：A.
7.如图，直线 是 的边 的垂直平分线，已知 ， 的周长为17cm，则 的长为（?? ）
A.?7cm???????????????????????????????????B.?10cm???????????????????????????????????C.?12cm???????????????????????????????????D.?22cm
解：∵直线DE是边AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
而△ADC的周长＝AC＋AD＋DC=17，
∴AC＋BD＋DC= AC＋BC=17，
∴BC=17-AC=12cm.
故答案为：C.
8.如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=112°，则∠EAF为（???? ）
A.?38°???????????????????????????????????????B.?40°???????????????????????????????????????C.?42°???????????????????????????????????????D.?44°
解 : ∵∠B+∠C+∠BAC=180° ∴∠B+∠C=180°-∠BAC=68° ∵GE是AB的垂直平分线 ∴ AE=BE ∴∠BAE=∠B 同理 ∴∠FAC=∠C ∴∠BAE+ ∠FAC=∠B+∠C=68° ∴∠EAF=∠BAC- （∠BAE+ ∠FAC）=112°-68°=44°。 故答案为：D.
二、填空题（共6题）
9.如图,△ABO是关于y轴对称的轴对称图形,点A的坐标为(-2,3),则点B的坐标为________.
解：∵△ABO是关于y轴对称的轴对称图形，
∴点A和点B的纵坐标相同，横坐标互为相反数，即点B的坐标为（2，3）．
故答案为： (2,3)
10.①圆，②正方形，③平行四边形，④等腰三角形，⑤直角三角形;在这五个图形中。既是轴对称图形又是中心对称图形的是________．(填标号)
解： ①圆既是轴对称图形又是中心对称图形：②正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 ③平行四边形是中心对称图形；④等腰三角形是轴对称图形；⑤直角三角形不是中心对称图形，也不一定是轴对称图形 ∴ 既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ：①② 故答案为： ①②
11.如图，在周长为10 cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，则△ABE的周长为________.
解：先判断出EO是BD的中垂线，得出BE=ED，从而可得出△ABE的周长=AB+AD，再由平行四边形的周长为10cm，即可得出答案.
∵点O是BD中点，EO⊥BD，
∴EO是线段BD的中垂线，
∴BE=ED，
故可得△ABE的周长=AB+AD，
又∵平行四边形的周长为10cm，
∴AB+AD=5cm.
12.已知点O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为6cm，则OA+OB+OC=________.
解：∵点O是△ABC三边垂直平分线的交点，
∴OB=OC=OA=6cm，
∴OA+OB+OC=18cm.
故答案为：18cm.
13.如图所示， ，点 为 内一点，分别作出 点关于 、 的对称点 ， ，连接 交 于 ，交 于 ， ，则 的周长为________， ________.
解：∵P点关于OA的对称是点P1 ， P点关于OB的对称点P2 ，
∴PM=P1M，PN=P2N．
∴△PMN的周长为PM+PN+MN=MN+P1M+P2N=P1P2=15．
∵P点关于OA的对称是点P1 ， P点关于OB的对称点P2 ，
∴OA垂直平分PP1 ， OB垂直平分P P2
∴PM=P1M，PN=P2N．
∴∠PMN=2∠P1 ， ∠PNM=2∠P2 ，
∵PP1⊥OA,PP2⊥OB,，
∴∠P2PP1=180°-∠AOB=138°,
∴∠P1+∠P2=42°
∴∠MPN=180°-42°×2=96°
故答案为：15,96°.
14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=40°，在直线AC上找点P，使△ABP是以AB为底的等腰三角形，则∠PBC的度数为________．
解：作线段AB的垂直平分线DP交AC于点P，连接BP．
∵DP是线段AB的垂直平分线，∴AP=BP，∴∠ABP=∠A=40°．
∵∠ACB=90°，∠BAC=40°，∴∠ABC=90°－40°=50°，∴∠PBC=∠ABC－∠ABP=50°－40°=10°．
故答案为：10°．
三、解答题（共4题）
15.如图，∠A=90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数．
解：∵A点和E点关于BD对称，
∴∠ABD=∠EBD，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD．
又B点、C点关于DE对称，
∴∠DBE=∠C，∠ABC=2∠C．
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠C=2∠C+∠C=3∠C=90°．
∴∠C=30°，
∴∠ABC=2∠C=60°
16.已知如图，点P在 内，请按要求完成以下问题．
（1）分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连结MN分别交OA、OB于E、F；
（2）若 的周长为20，求MN的长．
（1）解：如图所示：
（2）解：∵点P与点M关于AO对称，点P与点N关于BO对称，
的周长，
=20cm．
17.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．
（1）作线段AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接AD，若DE=2cm，求BC的长．
（1）解：线段AC的垂直平分线如图所示：
（2）解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠C=∠B=30°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴AD=CD=2DE=2×2=4cm，∠BAD=120°-30°=90°，
∴BD=2AD=8cm，
∴BC=BD+CD=8+4=12（cm）
18.如图四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形， AD⊥AB，AD=DC=4；
（1）求证：BD垂直平分AC；
（2）求BE的长；
（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小值。PC+PF的最小值为 ________（直接写出结果）。
（1）解：∵AB=BC，AD=CD
∴ BD垂直平分AC. （2）解：∵BD=8，DE=2
∴BE=6 （3）6
