13.4课题学习 最短路径问题 同步练习
一、单选题（共8题）
1.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（?? ?）
A.????????B.????????C.????????D.?
2.如图，∠AOB＝30o，∠AOB 内有一定点 P，且 OP＝12，在 OA 上有一动点 Q，OB 上有 一动点 R。若△PQR 周长最小，则最小周长是(??????? )
A.?6?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?16?????????????????????????????????????????D.?20
3.如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC ＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（????? ）
A.?4??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?5??????????????????????????????????????????D.?6
4.如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（ ）
?
A.?转化思想????????????????????????????????????????????????????????B.?三角形的两边之和大于第三边 C.?两点之间，线段最短???????????????????????????????????????D.?三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
5.如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点当PC+PD最小时，∠PCD=（? ）°．
A.?60°???????????????????????????????????????B.?45°???????????????????????????????????????C.?30°???????????????????????????????????????D.?15°
6.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB，AD上的动点，则MN+BN的最小值是（? ）
A.?3????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?4.5????????????????????????????????????????D.?6
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边在△ABC外侧作等边三角形ACD，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E，连接CE，AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的一点．连接PC、PB，若△PBC的周长最小，则最小值为（?? ）
A.?22cm?????????????????????????????????B.?21cm?????????????????????????????????C.?24 cm?????????????????????????????????D.?27cm
8.如图，在正方形ABCD中，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，若PD+PE的最小值为5，则正方形的面积为(?? )
A.?16????????????????????????????????????????B.?6.25????????????????????????????????????????C.?9????????????????????????????????????????D.?25
二、填空题（共6题）
9.如图，以 AB 为底分别作等边三角形 QAB 和正方形 ABCD．如果在正方形的对角线 AC上存在一点 P 使 PD+PQ 存在最小值为 2，则该正方形的面积是________? ．
10.如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，△PMN的周长最小值为________．
11.已知如图所示，∠MON＝40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，则当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为________．
12.如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在________．
13.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AB的垂直平分线EF分別交AC、AB边于E、F点．若点O为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△BOM周长的最小值为________．
14.如图，将长方形纸片ABCD对折后再展开，得到折痕EF，M是BC上一点，沿着AM再次折叠纸片，使得点B恰好落在折痕EF上的点B′处，连接AB′、BB′．
判断△AB′B的形状为________；
若P为线段EF上一动点，当PB+PM最小时，请描述点P的位置为________．
三、解答题（共4题）
15.如图，草原上两个居民点A、B在河流l的同侧，一辆汽车从A出发到B，途中需到河边加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？
16.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
17.如图，小河边有两个村庄A、B．要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
（1）若要使水厂到A、B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
（2）若要使水厂到A、B村的水管最省料，应建在什么地方？
18.?（1）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小；
（2）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．
13.4课题学习 最短路径问题 同步练习
参考答案与解析
一、单选题（共8题）
1.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（?? ?）
A.????????B.????????C.????????D.?
解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故答案为：D
2.如图，∠AOB＝30o，∠AOB 内有一定点 P，且 OP＝12，在 OA 上有一动点 Q，OB 上有 一动点 R。若△PQR 周长最小，则最小周长是(??????? )
A.?6?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?16?????????????????????????????????????????D.?20
解：作点P 关于OA的对称点点E，点P关于OB的对称点点F，连接EF分别交OA于点Q，交OB于点R，连接OE、OF，
∵P、E关于OA对称，∴OE=OP=12，∠EOA=∠AOP，QE=QP，
同理可证OP=OF=12，∠BOP=∠BOF，RP=RF，
∴OE=OF=12，∠EOF=∠EOP+∠FOP=2∠AOB=60°，
∴△OEF是等边三角形，
∴EF=12，
∴C△PQR=PQ+PR+QR=EQ+QR+RF=EF=12.
故答案为：B.
3.如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC ＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（????? ）
A.?4??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?5??????????????????????????????????????????D.?6
解：如图，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴点B关于AD的对称点B′在AC上，
过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，
过点B作BE⊥AC于E，
∵AC=10，S△ABC=25，
∴ ×10?BE=25，
解得BE=5，
∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，
∴AB=AB′，
∴△ABB′是等腰三角形，
∴B′N=BE=5，
即BM+MN的最小值是5．
故答案为：C．
4.如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（ ）
?
A.?转化思想????????????????????????????????????????????????????????B.?三角形的两边之和大于第三边 C.?两点之间，线段最短???????????????????????????????????????D.?三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
解：∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，
∴CB=CB′，
又∵AB′交l与C，且两条直线相交只有一个交点，
∴CB′+CA最短，
即CA+CB的值最小，
将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．
故选D．
5.如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点当PC+PD最小时，∠PCD=（? ）°．
A.?60°???????????????????????????????????????B.?45°???????????????????????????????????????C.?30°???????????????????????????????????????D.?15°
解：连接BD交MN于P′，如图，
∵MN是正方形ABCD的一条对称轴，
∴P′B=P′C，
∴P′C+P′D=P′B+P′D=BD，
∴此时P′C+P′D最短，即点P运动到P′位置时，PC+PD最小，
∵点P′为正方形的对角线的交点，
∴∠P′CD=45°．
故选B．
6.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB，AD上的动点，则MN+BN的最小值是（? ）
A.?3????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?4.5????????????????????????????????????????D.?6
解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，
则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AB=AC，AD⊥BC于D，∴∠ABC=∠C，AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵∠ABC=∠C，∠ACB=75°，∴∠BAC=30°，∵BH⊥AC，∴BH= AB=3．故答案为：A．
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边在△ABC外侧作等边三角形ACD，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E，连接CE，AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的一点．连接PC、PB，若△PBC的周长最小，则最小值为（?? ）
A.?22cm?????????????????????????????????B.?21cm?????????????????????????????????C.?24 cm?????????????????????????????????D.?27cm
解：根据轴对称求最短路径的知识，可得当点P与点E重合的时候PB+PC最小，也即△PBC的周长最小，
此时PB=PC= AB= cm，
故△PBC的最小周长=PB+PC+BC=AB+BC=15+9=24cm．
故选C．
8.如图，在正方形ABCD中，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，若PD+PE的最小值为5，则正方形的面积为(?? )
A.?16????????????????????????????????????????B.?6.25????????????????????????????????????????C.?9????????????????????????????????????????D.?25
解：设BE与AC交于点P，连接BD，
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小.
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；
∵ 的最小值为5，
∴BE=5.
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=5.
正方形的面积为:5×5=25.
故答案为：D.
二、填空题（共6题）
9.如图，以 AB 为底分别作等边三角形 QAB 和正方形 ABCD．如果在正方形的对角线 AC上存在一点 P 使 PD+PQ 存在最小值为 2，则该正方形的面积是________? ．
解：设BQ与AC的交点为点P，连结PD，此时PD+PE的和最小， ∵四边形ABCD为正方形， ∴点D与点B关于AC对称， ∴PD+PQ=PB+PQ=BQ=2， 又∵△ABQ为等边三角形， ∴AB=BQ=2， ∴正方形ABCD边长为2， ∴S正=22=4. 故答案为：4.
?
10.如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，△PMN的周长最小值为________．
解：作P点关于射线OA的对称点C点，作P点关于射线OB的对称点D点，连接CD，CD与射线OA、OB的交点即为M点、N点，连接PM、PN，此时△PMN的周长最小， ∵C点、P点关于射线OA对称， ∴射线OA垂直平分PC， ∴CO=OP=6，CM=PM， ∴∠COA=∠AOP， 同理可证：∠POB=∠DOB，PN=ND，PO=OD=6， ∴CO=OD， ∵∠AOB=∠AOP+∠BOP=30°， ∴∠COD=2∠AOP+2∠BOP=2（∠AOP+∠BOP）=60°， ∴△COD是等边三角形， ∴CD=6， ∴C△PMN=PM+PN+MN=MC+ND+MN=CD=6. 故答案为6.
11.已知如图所示，∠MON＝40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，则当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为________．
解：如图,作出P点关于OM,ON的对称点P1,P2交OM,ON于A,B两点,此时△PAB的周长最小, 根据题意可知: ∠P1PP2=180°－∠MON=180°－40°=140, 所以∠P1PA+∠P2PB=∠P1+∠P2=180°－∠P1PP2=40°, 所以∠APB=140°－40°=100°,因此,本题正确答案为:100°.
12.如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在________．
解：如图，过AD作C点的对称点C′，
根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD
∴△ABP≌△DC′P
∴AP=PD
即P为AD的中点.
故答案为：P为AB的中点.
13.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AB的垂直平分线EF分別交AC、AB边于E、F点．若点O为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△BOM周长的最小值为________．
解：连接AO，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点O是BC边的中点，
∴AO⊥BC，
∴S△ABC= BC?AO= ×6×AO=18，
解得AO=6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点CB于直线EF的对称点为点A，
∴BM=MA，
∵OM+BM=OM+AM≥OA，
∴AO的长为BM+MO的最小值，
∴△BOM的周长最小值=（BM+MO）+BO=AO+ BC=6+ ×6=6+3=9．
故答案为：9．
14.如图，将长方形纸片ABCD对折后再展开，得到折痕EF，M是BC上一点，沿着AM再次折叠纸片，使得点B恰好落在折痕EF上的点B′处，连接AB′、BB′．
判断△AB′B的形状为________；
若P为线段EF上一动点，当PB+PM最小时，请描述点P的位置为________．
解：由第一次折叠，可得EF垂直平分AB，
∴AB′=BB′，
由第二次折叠，可得AB=AB′，
∴AB=AB′=BB′，
∴△ABB′是等边三角形；
∵点B与点A关于EF对称，
∴AP=BP，
∴PB+PM=AP+PM，
∴当A，P，M在同一直线上时，PB+PM最小值为AM的长，
∴点P的位置为AM与EF的交点.
故答案为：等边三角形，AM与EF的交点.
三、解答题（共4题）
15.如图，草原上两个居民点A、B在河流l的同侧，一辆汽车从A出发到B，途中需到河边加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？
解：如图所示，①作点B关于直线l的对称点 ，②连结 ，交直线l于点C，点C就是所求的点．
16.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1
（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2； （3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标． （1）解：如图1所示：
（2）解：如图2所示：
（3）解：找出A的对称点A′（1，﹣1），
连接BA′，与x轴交点即为P；
如图3所示：点P坐标为（2，0）．
17.如图，小河边有两个村庄A、B．要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
（1）若要使水厂到A、B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
（2）若要使水厂到A、B村的水管最省料，应建在什么地方？
（1）解：如图2，画线段AB的中垂线，交EF与Ｐ，则Ｐ到A、B的距离相等． （2）解：如图3，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连结A′B交EF于Ｐ，则Ｐ到AB的距离和最短。
18.?（1）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小；
（2）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．
（1）解：作点 关于角两边的对称点然后连接，交两边于
（2）解：作点 关于 的对称点 ，根据垂线段最短，作 与 的交点即为所求作的点
