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《13.1.2线段的垂直平分线的性质》导学案
课题 线段的垂直平分线的性质 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理. 学会应用定理及逆定理进行解题.会用尺规作图作出线段的垂直平分线.
重点难点 重点： 理解线段的垂直平分线定理及逆定理难点：会灵活应用相关性质解决问题。
教学过程
知识链接 前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？你能找出线段的对称轴吗？ 什么叫线段垂直平分线？ 3.线段的对称轴与这条线段有什么关系？
合作探究 活动1、画一画：作线段AB的垂直平分线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB； 量一量：PA、PB的长，你能发现什么？学生活动:①学生先作出线段AB，过AB中点作 AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2… ②作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的结论？． ●归纳：线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_______。用符号语言表示为： ∵ CA =CB，l⊥AB， ∴________用我们已有的知识来证明这个结论吗？ 学生讨论给出证明． 活动2、如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？ 我们探究可以得到：●线段垂直平分线的判定： 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的___________例1、尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线使它经过点C 作法：
自主尝试 1.如图，在△ABC中，ED垂直平分AB， 1) 若BD＝10，则AD= _____________。 2) 若∠A＝50°，则∠ABD＝_________________ 。 3) 若AC＝14，△BCD的周长为24，则BC=___________ 。2.如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？ 3.已知：△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P.。求证：PA=PB=PC. 4.已知：线段AB. 求作：线段AB的垂直平分线.
当堂检测 1.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )A．AB＝AD B．AC平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC 2.已知直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且AP＝PB，下列结论：①OA＝OB；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上，其中正确的有________． 3.如图，AO，OB是互相垂直的墙壁，墙角O处是一鼠洞，一只猫在A处发现了B处的一只老鼠正向洞口逃窜，若猫以与老鼠同样的速度去追捕老鼠，请在图中作出最快能截住老鼠的位置C. 4.如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长． 5.如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G. 求证： (1)BF＝CG；(2)AB＋AC＝2AG.
小结反思 本节课你学会了什么？对本课的内容，你还有哪些疑惑？
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《13.1.2线段的垂直平分线的性质》导学案
课题 线段的垂直平分线的性质 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理. 学会应用定理及逆定理进行解题.会用尺规作图作出线段的垂直平分线.
重点难点 重点： 理解线段的垂直平分线定理及逆定理难点：会灵活应用相关性质解决问题。
教学过程
知识链接 前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？你能找出线段的对称轴吗？ 什么叫线段垂直平分线？ 3.线段的对称轴与这条线段有什么关系？ 上节课我们知道了线段垂直平分线的定义，那么它具有什么特征呢？这节课我们一起来学习。
合作探究 活动1、画一画：作线段AB的垂直平分线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？学生活动①学生先作出线段AB，过AB中点作 AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2… ②作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的结论？． ●归纳：线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 用符号语言表示为： ∵ CA =CB，l⊥AB， ∴ PA =PB．用我们已有的知识来证明这个结论吗？学生讨论给出证明． 证法一：利用判定两个三角形全等． 如下图，在△APC和△BPC中， △APC≌△BPC PA=PB. 证法二：利用轴对称性质． 由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的．活动2、如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？ 满足PA=PB 证明：∵ PA=PB,PC=PC(公共边）∴Rt△ACP ≌Rt△BCP ∴AC=BC ∴PC是线段AB的垂直平分线 ∴点P在线段AB的垂直平分线上。我们探究可以得到：●线段垂直平分线的判定： 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。例1、尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线使它经过点C 作法：1.在直线AB的另一侧任取一点K. 2.以C点为圆心，以CK长为半径画弧，交直线AB于点D和E. 3.分别以点D和E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧相交于F. 4.作直线CF.直线C F就是所求的垂线.
自主尝试 1.如图，在△ABC中，ED垂直平分AB， 1) 若BD＝10，则AD= _____________。 2) 若∠A＝50°，则∠ABD＝_________________ 。 3) 若AC＝14，△BCD的周长为24，则BC=___________ 。答案：10、500 、102.如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？ 解：∵ AD⊥BC，BD =DC ∴ AD 是BC 的垂直平分线 ∴ AB =AC ∵ 点C 在AE 的垂直平分线上 ∴ AC =CE． ∴ AB =AC =CE ∵ AB =CE，BD =DC， ∴ AB +BD =CD +CE． 即 AB +BD =DE ． 3.已知：△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P.。求证：PA=PB=PC.证明： ∵MN⊥AB，P在MN上 ∴PA=PB同理：PB=PC ∴PA=PB=PC4.已知：线段AB. 求作：线段AB的垂直平分线.作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点. （2）作直线CD.CD即为所求. 结论：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.
当堂检测 1.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )CA．AB＝AD B．AC平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC 2.已知直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且AP＝PB，下列结论：①OA＝OB；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上，其中正确的有________．答案：④ 3.如图，AO，OB是互相垂直的墙壁，墙角O处是一鼠洞，一只猫在A处发现了B处的一只老鼠正向洞口逃窜，若猫以与老鼠同样的速度去追捕老鼠，请在图中作出最快能截住老鼠的位置C. 解：作AB的垂直平分线交OB于点C 4.如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长．解：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC. ∵AC＋AD＋DC＝14 cm， ∴AC＋AD＋BD＝14 cm. 即AC＋AB＝14 cm. 设AB＝x cm，AC＝y cm. 根据题意，得解得∴AB长为8 cm，AC长为6 cm.5.如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G. 求证： (1)BF＝CG；(2)AB＋AC＝2AG. 证明：(1)连接BE，CE， ∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE ∵AE平分∠BAC，∴EF＝EG， ∴Rt△BFE≌Rt△CGE，∴BF＝CG (2)∵Rt△BFE≌Rt△CGE， ∴BF＝CG， ∵AB＋AC＝AB＋AG＋GC＝AB＋BF＋AG＝AF＋AG，△AEF≌△AEG， ∴AF＝AG，∴AB＋AC＝2AG
小结反思 本节课你学会了什么？对本课的内容，你还有哪些疑惑？
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