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《13.1.2线段的垂直平分线的性质》导学案
课题 线段的垂直平分线的性质 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理.
学会应用定理及逆定理进行解题.会用尺规作图作出线段的垂直平分线.
重点难点 重点： 理解线段的垂直平分线定理及逆定理难点：会灵活应用相关性质解决问题。
教学过程
知识链接 前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？你能找出线段的对称轴吗？
什么叫线段垂直平分线？
3.线段的对称轴与这条线段有什么关系？
合作探究
活动1、画一画：作线段AB的垂直平分线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？学生活动:①学生先作出线段AB，过AB中点作 AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2… ②作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的结论？．
●归纳：线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_______。用符号语言表示为：
∵ CA =CB，l⊥AB，
∴________用我们已有的知识来证明这个结论吗？
学生讨论给出证明．
活动2、如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
我们探究可以得到：●线段垂直平分线的判定： 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的___________例1、尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB外一点C.
求作：AB的垂线使它经过点C
作法：
自主尝试 1.如图，在△ABC中，ED垂直平分AB，
1) 若BD＝10，则AD= _____________。
2) 若∠A＝50°，则∠ABD＝_________________ 。
3) 若AC＝14，△BCD的周长为24，则BC=___________ 。2.如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
3.已知：△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P.。求证：PA=PB=PC.
4.已知：线段AB.
求作：线段AB的垂直平分线.
当堂检测 1.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )A．AB＝AD B．AC平分∠BCD
C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
2.已知直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且AP＝PB，下列结论：①OA＝OB；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上，其中正确的有________．
3.如图，AO，OB是互相垂直的墙壁，墙角O处是一鼠洞，一只猫在A处发现了B处的一只老鼠正向洞口逃窜，若猫以与老鼠同样的速度去追捕老鼠，请在图中作出最快能截住老鼠的位置C.
4.如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长．
5.如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G.
求证：
(1)BF＝CG；(2)AB＋AC＝2AG.
小结反思 本节课你学会了什么？对本课的内容，你还有哪些疑惑？
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《13.1.2线段的垂直平分线的性质》导学案
课题 线段的垂直平分线的性质 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理.
学会应用定理及逆定理进行解题.会用尺规作图作出线段的垂直平分线.
重点难点 重点： 理解线段的垂直平分线定理及逆定理难点：会灵活应用相关性质解决问题。
教学过程
知识链接 前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？你能找出线段的对称轴吗？
什么叫线段垂直平分线？
3.线段的对称轴与这条线段有什么关系？
上节课我们知道了线段垂直平分线的定义，那么它具有什么特征呢？这节课我们一起来学习。
合作探究
活动1、画一画：作线段AB的垂直平分线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？学生活动①学生先作出线段AB，过AB中点作 AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…
②作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的结论？．
●归纳：线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
用符号语言表示为：
∵ CA =CB，l⊥AB，
∴ PA =PB．用我们已有的知识来证明这个结论吗？学生讨论给出证明．
证法一：利用判定两个三角形全等．
如下图，在△APC和△BPC中， △APC≌△BPC PA=PB.
证法二：利用轴对称性质．
由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的．活动2、如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
满足PA=PB
证明：∵ PA=PB,PC=PC(公共边）∴Rt△ACP ≌Rt△BCP
∴AC=BC
∴PC是线段AB的垂直平分线
∴点P在线段AB的垂直平分线上。我们探究可以得到：●线段垂直平分线的判定： 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。例1、尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB外一点C.
求作：AB的垂线使它经过点C
作法：1.在直线AB的另一侧任取一点K.
2.以C点为圆心，以CK长为半径画弧，交直线AB于点D和E.
3.分别以点D和E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧相交于F.
4.作直线CF.直线C F就是所求的垂线.
自主尝试 1.如图，在△ABC中，ED垂直平分AB，
1) 若BD＝10，则AD= _____________。
2) 若∠A＝50°，则∠ABD＝_________________ 。
3) 若AC＝14，△BCD的周长为24，则BC=___________ 。答案：10、500 、102.如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
解：∵ AD⊥BC，BD =DC
∴ AD 是BC 的垂直平分线
∴ AB =AC
∵ 点C 在AE 的垂直平分线上
∴ AC =CE． ∴ AB =AC =CE
∵ AB =CE，BD =DC，
∴ AB +BD =CD +CE．
即 AB +BD =DE ．
3.已知：△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P.。求证：PA=PB=PC.证明：
∵MN⊥AB，P在MN上
∴PA=PB同理：PB=PC
∴PA=PB=PC4.已知：线段AB.
求作：线段AB的垂直平分线.作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.
（2）作直线CD.CD即为所求.
结论：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.
当堂检测 1.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )CA．AB＝AD B．AC平分∠BCD
C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
2.已知直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且AP＝PB，下列结论：①OA＝OB；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上，其中正确的有________．答案：④
3.如图，AO，OB是互相垂直的墙壁，墙角O处是一鼠洞，一只猫在A处发现了B处的一只老鼠正向洞口逃窜，若猫以与老鼠同样的速度去追捕老鼠，请在图中作出最快能截住老鼠的位置C. 解：作AB的垂直平分线交OB于点C
4.如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长．解：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC.
∵AC＋AD＋DC＝14 cm，
∴AC＋AD＋BD＝14 cm.
即AC＋AB＝14 cm.
设AB＝x cm，AC＝y cm.
根据题意，得解得∴AB长为8 cm，AC长为6 cm.5.如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G.
求证：
(1)BF＝CG；(2)AB＋AC＝2AG.
证明：(1)连接BE，CE，
∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE
∵AE平分∠BAC，∴EF＝EG，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE，∴BF＝CG
(2)∵Rt△BFE≌Rt△CGE，
∴BF＝CG，
∵AB＋AC＝AB＋AG＋GC＝AB＋BF＋AG＝AF＋AG，△AEF≌△AEG，
∴AF＝AG，∴AB＋AC＝2AG
小结反思 本节课你学会了什么？对本课的内容，你还有哪些疑惑？
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