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《13.1.2线段的垂直平分线的性质》导学案
课题 线段的垂直平分线的性质 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理. 学会应用定理及逆定理进行解题.会用尺规作图作出线段的垂直平分线.
重点难点 重点： 理解线段的垂直平分线定理及逆定理难点：会灵活应用相关性质解决问题。
教学过程
知识链接 前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？你能找出线段的对称轴吗？ 什么叫线段垂直平分线？ 3.线段的对称轴与这条线段有什么关系？
合作探究 活动1、画一画：作线段AB的垂直平分线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB； 量一量：PA、PB的长，你能发现什么？学生活动:①学生先作出线段AB，过AB中点作 AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2… ②作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的结论？． ●归纳：线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_______。用符号语言表示为： ∵ CA =CB，l⊥AB， ∴________用我们已有的知识来证明这个结论吗？ 学生讨论给出证明． 活动2、如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？ 我们探究可以得到：●线段垂直平分线的判定： 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的___________例1、尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线使它经过点C 作法：
自主尝试 1.如图，在△ABC中，ED垂直平分AB， 1) 若BD＝10，则AD= _____________。 2) 若∠A＝50°，则∠ABD＝_________________ 。 3) 若AC＝14，△BCD的周长为24，则BC=___________ 。2.如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？ 3.已知：△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P.。求证：PA=PB=PC. 4.已知：线段AB. 求作：线段AB的垂直平分线.
当堂检测 1.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )A．AB＝AD B．AC平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC 2.已知直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且AP＝PB，下列结论：①OA＝OB；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上，其中正确的有________． 3.如图，AO，OB是互相垂直的墙壁，墙角O处是一鼠洞，一只猫在A处发现了B处的一只老鼠正向洞口逃窜，若猫以与老鼠同样的速度去追捕老鼠，请在图中作出最快能截住老鼠的位置C. 4.如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长． 5.如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G. 求证： (1)BF＝CG；(2)AB＋AC＝2AG.
小结反思 本节课你学会了什么？对本课的内容，你还有哪些疑惑？
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《13.1.2线段的垂直平分线的性质》导学案
课题 线段的垂直平分线的性质 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理. 学会应用定理及逆定理进行解题.会用尺规作图作出线段的垂直平分线.
重点难点 重点： 理解线段的垂直平分线定理及逆定理难点：会灵活应用相关性质解决问题。
教学过程
知识链接 前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？你能找出线段的对称轴吗？ 什么叫线段垂直平分线？ 3.线段的对称轴与这条线段有什么关系？ 上节课我们知道了线段垂直平分线的定义，那么它具有什么特征呢？这节课我们一起来学习。
合作探究 活动1、画一画：作线段AB的垂直平分线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？学生活动①学生先作出线段AB，过AB中点作 AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2… ②作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的结论？． ●归纳：线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 用符号语言表示为： ∵ CA =CB，l⊥AB， ∴ PA =PB．用我们已有的知识来证明这个结论吗？学生讨论给出证明． 证法一：利用判定两个三角形全等． 如下图，在△APC和△BPC中， △APC≌△BPC PA=PB. 证法二：利用轴对称性质． 由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的．活动2、如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？ 满足PA=PB 证明：∵ PA=PB,PC=PC(公共边）∴Rt△ACP ≌Rt△BCP ∴AC=BC ∴PC是线段AB的垂直平分线 ∴点P在线段AB的垂直平分线上。我们探究可以得到：●线段垂直平分线的判定： 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。例1、尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线使它经过点C 作法：1.在直线AB的另一侧任取一点K. 2.以C点为圆心，以CK长为半径画弧，交直线AB于点D和E. 3.分别以点D和E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧相交于F. 4.作直线CF.直线C F就是所求的垂线.
自主尝试 1.如图，在△ABC中，ED垂直平分AB， 1) 若BD＝10，则AD= _____________。 2) 若∠A＝50°，则∠ABD＝_________________ 。 3) 若AC＝14，△BCD的周长为24，则BC=___________ 。答案：10、500 、102.如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？ 解：∵ AD⊥BC，BD =DC ∴ AD 是BC 的垂直平分线 ∴ AB =AC ∵ 点C 在AE 的垂直平分线上 ∴ AC =CE． ∴ AB =AC =CE ∵ AB =CE，BD =DC， ∴ AB +BD =CD +CE． 即 AB +BD =DE ． 3.已知：△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P.。求证：PA=PB=PC.证明： ∵MN⊥AB，P在MN上 ∴PA=PB同理：PB=PC ∴PA=PB=PC4.已知：线段AB. 求作：线段AB的垂直平分线.作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点. （2）作直线CD.CD即为所求. 结论：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.
当堂检测 1.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )CA．AB＝AD B．AC平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC 2.已知直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且AP＝PB，下列结论：①OA＝OB；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上，其中正确的有________．答案：④ 3.如图，AO，OB是互相垂直的墙壁，墙角O处是一鼠洞，一只猫在A处发现了B处的一只老鼠正向洞口逃窜，若猫以与老鼠同样的速度去追捕老鼠，请在图中作出最快能截住老鼠的位置C. 解：作AB的垂直平分线交OB于点C 4.如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长．解：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC. ∵AC＋AD＋DC＝14 cm， ∴AC＋AD＋BD＝14 cm. 即AC＋AB＝14 cm. 设AB＝x cm，AC＝y cm. 根据题意，得解得∴AB长为8 cm，AC长为6 cm.5.如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G. 求证： (1)BF＝CG；(2)AB＋AC＝2AG. 证明：(1)连接BE，CE， ∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE ∵AE平分∠BAC，∴EF＝EG， ∴Rt△BFE≌Rt△CGE，∴BF＝CG (2)∵Rt△BFE≌Rt△CGE， ∴BF＝CG， ∵AB＋AC＝AB＋AG＋GC＝AB＋BF＋AG＝AF＋AG，△AEF≌△AEG， ∴AF＝AG，∴AB＋AC＝2AG
小结反思 本节课你学会了什么？对本课的内容，你还有哪些疑惑？
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(共24张PPT)
13.1.2线段的垂直平分线的性质
人教版 八年级上
新知导入
2.什么叫线段垂直平分线？
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
3.线段的对称轴与这条线段有什么关系？
你能画图说明吗？
1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？
你能找出线段的对称轴吗？
线段是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线和本身所在的直线
新知讲解
PA=PB
P1
P1A=P1B
……
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
画一画：作线段AB的垂直平分线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
由此你能得到什么规律？
新知讲解
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
用符号语言表示为：
∵ CA =CB，l⊥AB，
∴ PA =PB．
线段垂直平分线的性质
新知讲解
如何利用全等三角形证明性质定理。
想一想
∴△PCA≌△PCB(SAS)
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
证明：∵MN⊥AB，
∴ ∠PCA=∠PCB=90°
在△APC与△BPC中:
PC=PC，∠PCA=∠PCB
AC=BC
P
A
B
┓
C
M
N
线段垂直平分线的判定可用来证明两线的位置关系（垂直平分）．
巩固练习
1.如图，在△ABC中，ED垂直平分AB，
1) 若BD＝10，则AD= 。
2) 若∠A＝50°，则∠ABD＝ 。
3) 若AC＝14，△BCD的周长为24，则BC= 。
10
500
10
巩固练习
解：∵ AD⊥BC，BD =DC
∴ AD 是BC 的垂直平分线
∴ AB =AC
∵ 点C 在AE 的垂直平分线上
∴ AC =CE． ∴ AB =AC =CE
2.如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
∵ AB =CE，BD =DC，
∴ AB +BD =CD +CE．
即 AB +BD =DE ．
新知讲解
如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
满足AP=BP
新知讲解
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
?
逆命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上。
性质定理的逆定理
新知讲解
∴AC=BC
∴PC是线段AB的垂直平分线
∴点P在线段AB的垂直平分线上。
证明：∵ PA=PB,PC=PC(公共边）
∴Rt△ACP ≌Rt△BCP
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
垂直平分线上
线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合.
新知讲解
点到线段两个端点距离相等
这个点在这条线段的垂直平分线上
巩固练习
结论：三角形三边的垂直平分线交于一 点，并且这点到三个顶点的距离相等.
证明：
∵MN⊥AB，P在MN上
∴PA=PB
同理：PB=PC
∴PA=PB=PC
M
F
E
N
3.已知：△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P.
求证：PA=PB=PC.
巩固练习
解：∵ AB =AC，
∴ 点A 在BC 的垂直平分线．
∵ MB =MC，
∵ 点M 在BC 的垂直平分线上∴ 直线AM 是线段BC 的垂直
平分线．
4.如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？
新知讲解
1.在直线AB的另一侧任取一点K.
2.以C点为圆心，以CK长为半径画弧，交直线AB于点D和E.
3.分别以点D和E为圆心，以大于 DE长为半径画弧，两弧相交于F.
4.作直线CF.直线C F就是所求的垂线.
例1、尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB外一点C.
作法：
A
B
C
K
D
E
F
求作：AB的垂线使它经过点C
新知讲解
已知：线段AB.
求作：线段AB的垂直平分线.
C
D
作法：
（2）作直线CD.
CD即为所求.
结论：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.
拓展提高
1.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )
A．AB＝AD B．AC平分∠BCD
C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
C
2.已知直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且AP＝PB，下列结论：①OA＝OB；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上，其中正确的有________．www
④
拓展提高
3.如图，AO，OB是互相垂直的墙壁，墙角O处是一鼠洞，一只猫在A处发现了B处的一只老鼠正向洞口逃窜，若猫以与老鼠同样的速度去追捕老鼠，请在图中作出最快能截住老鼠的位置C.
解：作AB的垂直平分线交OB于点C
拓展提高
4.如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长．
解：∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC.
∵AC＋AD＋DC＝14 cm，
∴AC＋AD＋BD＝14 cm.
即AC＋AB＝14 cm.
设AB＝x cm，AC＝y cm.
根据题意，得 解得
∴AB长为8 cm，AC长为6 cm.
拓展提高
5.如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G.
求证：
(1)BF＝CG；
(2)AB＋AC＝2AG.
拓展提高
∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE
∵AE平分∠BAC，∴EF＝EG，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE，∴BF＝CG
证明：(1)连接BE，CE，
(2)∵Rt△BFE≌Rt△CGE，
∴BF＝CG，
∵AB＋AC＝AB＋AG＋GC＝AB＋BF＋AG＝AF＋AG， △AEF≌△AEG，
∴AF＝AG，∴AB＋AC＝2AG
课堂总结
1、线段垂直平分线的逆定理；线段垂直平分线的集合定义；
2、作一条已知线段的垂直平分线；
3、利用线段垂直平分线的逆定理确定轴对称图形的对称轴；
作业布置
教材62页练习1、2题
谢谢
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