2.3 幂函数 学案

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2.3　幂函数
1.幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
记住幂函数的解析式的结构特征：幂函数的底数x是变量，指数α是常数，xα前面的系数为1.
[来源:学科网ZXXK]2.幂函数的图象与性质
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
图象 [来源:学&科&网]
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 在R上是增函数 在[0，＋∞)是增函数，在(－∞，0]是减函数 在R上是增函数 在[0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)是减函数，在(－∞，0)是减函数
公共点 (1，1)

类型一　幂函数的概念
【例1】 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式.
解　根据幂函数定义得，
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，
当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求.
∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.
【训练1】 (1)下列几个函数中为幂函数的是________.
①y＝4x，②y＝，③y＝－x，④y＝.
(2)幂函数y＝(m2－m－1)x－m在x∈(0，＋∞)上为减函数，则m的值为________.
解析　(1)因为y＝＝x
根据幂函数的结构特征，只有②是幂函数，其它都不是幂函数.
(2)由m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1.
又当m＝2时，y＝x－2在x∈(0，＋∞)上为减函数；
当m＝－1时，y＝x在x∈(0，＋∞)上为增函数，舍去.∴m＝2.
答案　(1)②　(2)2
类型二　幂函数的图象
【例2】 已知幂函数y＝xm－2(m∈N)的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象.
解　∵图象与x，y轴都无交点，∴m－2≤0，即m≤2.
又m∈N，∴m＝0，1，2.
∵幂函数图象关于y轴对称，∴m＝0或m＝2.
当m＝0时，函数为y＝x－2，图象如图1所示.
当m＝2时，函数为y＝x0＝1(x≠0)，图象如图2所示.

【训练2】 如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)

A.－1C.－11 D.n<－1，m>1
解析　在(0，1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示.根据点低指数大，有0
答案　B
类型三　幂函数的性质及其应用
【例3】 已知幂函数y＝f(x)的图象过点P.
(1)判断函数y＝f(x)的奇偶性；
(2)讨论函数y＝f(x)的单调性.
解　设幂函数f(x)＝xn，由题意f ＝4.
所以＝4，即2－n＝22，得n＝－2，因此f(x)＝x－2，
知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
(1)由f(－x)＝＝＝f(x)，
所以y＝f(x)是偶函数.
(2)当0∵00，x1＋x2>0，x·x>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数.
因为f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所以f(x)在(－∞，0)上是增函数.
【训练3】已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是定义域为R的幂函数，求m＋n的值.
解　由题意得解得
所以m＝－3，n＝.故m＋n＝－.
课时同步训练
1.下列函数中不是幂函数的是(　　)
A.y＝ B.y＝x3
C.y＝2x D.y＝x－1
解析　对于A，y＝＝x，由幂函数的定义可知A是幂函数，且B，D中的函数也是幂函数.
答案　C
2.下列幂函数中图象过点(0，0)，(1，1)，且是偶函数的是(　　)
A.y＝x B.y＝x－2 C.y＝x4 D.y＝x
解析　函数y＝x，y＝x在各自定义域上不是偶函数，y＝x－2的图象不过点(0，0).选C.
答案　C

3.下列函数是幂函数的是(　　)
A.y＝5x B.y＝x5 C.y＝5x D.y＝(x＋1)3
解析　函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数.
答案　B
4.下列函数中其定义域和值域不同的函数是(　　)
A.y＝x B.y＝x－
C.y＝x D.y＝x
解析　y＝x＝，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同.
答案　D
5.已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则f(4)的值为(　　)
A. B. C. D.2
解析　依题意有＝3α，所以α＝－，所以f(x)＝x－，所以f(4)＝4－＝.
答案　A
6.函数y＝x图象的大致形状是(　　)

解析　因为y＝x是偶函数，且在第一象限图象沿x轴递增，所以选项D正确.
答案　D
7.幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)为减函数，则m的值为(　　)
A.1或3 B.1 C.3 D.2
解析　因为f(x)为幂函数，所以m2－4m＋4＝1，解得m＝3或m＝1，所以f(x)＝x－1或f(x)＝x3，因为f(x)为(0，＋∞)上的减函数，所以m＝3.
答案　C
8.设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a＞c＞b B.a＞b＞c
C.c＞a＞b D.b＞c＞a
解析　根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝x在x＞0时是增函数，所以a＞c，y＝在R上是减函数，所以c＞b.
答案　A
9.当0A.h(x)C.g(x)解析　在同一坐标系中，作出当0根据图象，当0x>x2，故h(x)>g(x)>f(x).
答案　D
10.幂函数f(x)＝xα的图象过点(3，9)，那么函数f(x)的单调增区间是________.
解析　由题意得9＝3α，
所以32＝3α，所以f(x)＝x2.
所以幂函数f(x)＝x2的单调增区间是[0，＋∞).
答案　[0，＋∞)
11.若a＝，b＝，c＝(－2)3，则a、b、c的大小关系为________.
解析　∵y＝x在(0，＋∞)上为增函数且>，∴>，
即a>b>0.又c＝(－2)3＝－23<0，
∴a>b>c.
答案　a>b>c
12.已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝________.
解析　因为函数是幂函数，所以k＝1，又因为其图象过点，所以＝，解得α＝，故k＋α＝.
答案　
13.若(a＋1)<(2a－2)，则实数a的取值范围是________.
解析　因为幂函数y＝x在R上为增函数，且(a＋1)<(2a－2)，所以a＋1<2a－2，解得a>3.
答案　(3，＋∞)

14.给出以下结论：
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；
②幂函数的图象都经过(1，1)点；[来源:Z_xx_k.Com]
③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；
④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限.
则正确结论的序号为________.
解析　当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α＜0时，函数y＝xα的图象过(1，1)点，当α>0时，函数y＝xα的图象过点(0，0)和(1，1)，故②正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确.④正确.
答案　②④
15.由幂函数的图象可知，使x3－x2>0成立的x的取值范围是________.
解析　在同一坐标系中作出y＝x3及y＝x2的图象(图略)可得不等式成立的x的取值范围是(1＋∞).
答案　(1，＋∞)
16.已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点A.
(1)求实数α的值；
(2)用定义证明f(x)在区间(0，＋∞)内的单调性.
解　(1)∵f(x)＝xα的图象经过点A，
∴＝，即2－α＝2，∴α＝－；
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则
f(x2)－f(x1)＝x2－－x1－＝－＝＝
∵x2＞x1＞0，∴x1－x2＜0，且·(＋)＞0，于是f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，所以f(x)＝x－在区间(0，＋∞)内是减函数.
17.函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数，且函数f(x)为偶函数，求m的值.
解　因为f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数，
所以m2－3m＋3＝1，
即m2－3m＋2＝0.
所以m＝1或m＝2.
当m＝1时，f(x)＝x3为奇函数，不符合题意.
当m＝2时，f(x)＝x4为偶函数，满足题目要求.
所以m＝2.
18.已知幂函数f(x)的图象过点(25，5).
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(2－lg x)，求g(x)的定义域、值域.
解　(1)设f(x)＝xα，则由题意可知25α＝5，
∴α＝，∴f(x)＝x.
(2)∵g(x)＝f(2－lg x)＝，
∴要使g(x)有意义，
只需2－lg x≥0，则lg x≤2，
解得0又2－lg x≥0，∴g(x)的值域为[0，＋∞).
19.已知函数f(x)＝(a2－a＋1)xa＋1为幂函数，且为奇函数.
(1)求a的值；
(2)求函数g(x)＝f(x)＋(f(x))2在上的值域.

解　(1)因为函数f(x)＝(a2－a＋1)xa＋1为幂函数，
所以a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.
当a＝0时，f(x)＝x，函数是奇函数；
当a＝1时，f(x)＝x2为偶函数，不合题意，舍去.
因此a＝0.
(2)由(1)知g(x)＝x＋x2＝－.g(x)在上是增函数，当x＝0时，函数取得最小值g(0)＝0；当x＝时，函数取得最大值g＝－＝.故g(x)在区间上的值域为.
20.已知函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈N)，满足f(2)＜f(3).
(1)求k的值与f(x)的解析式；
(2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在m，使得函数g(x)＝f(x)－2x＋m在[0，2]上的值域为[2，3]，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.
解　(1)由f(2)＜f(3)，得－k2＋k＋2＞0，解得－1＜k＜2，又k∈N，则k＝0，1.
当k＝0，1时，f(x)＝x2.
(2)由已知得g(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，
当x∈[0，2]时，易求得g(x)∈[m－1，m]，
由已知值域为[2，3]，得m＝3.故存在满足条件的m，且m＝3.




















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