课件20张PPT。3.1.1空间向量及其加减运算一、平面向量复习⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量． 几何表示法：用有向线段表示； 字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段
的起点与终点字母 表示．相等的向量： 长度相等且方向相同的向量． ⒉平面向量的加减法运算⑴向量的加法：aba+b平行四边形法则aa+b三角形法则(首尾相连)⑵向量的减法aba-b三角形法则 减向量终点指向被减向量终点⒊平面向量的加法运算律加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 推广⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：二、空间向量及其加减运算⒈空间向量：空间中具有大小和方向的量叫做向量．⑴定义：⑵表示方法：①空间向量的表示方法和平面向量一样；③空间任意两个向量都可以用同一平面
内的两条有向线段表示．②同向且等长的有向线段表示同一向量或
相等的向量；2.空间向量的加法、减法向量a + ba - b⒊空间向量加法运算律⑴加法交换律：a + b = b + a；⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；abca + b + c abca + b + c a + b b + c 对空间向量的加法、减法的说明⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍
然成立．⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向
量相加．推广⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：例1、给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；
（2）若空间向量 满足 ，则 ；
（3）在正方体 中，必有 ；
（4）若空间向量 满足 ，则 ；
（5）空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4C变式：如图所示，长方体中，AD=2，AA1=1，AB=3。
（1）是写出与 相等的所有向量；
（2）写出与向量 的相反向量。平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体。记作ABCD—A1B1C1D1，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。例2解：始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量例3、在如图所示的平行六面体中，
求证：变式：
已知平行六面体 则下列四式中：
其中正确的是 。例4、在正方体 中，下列各式中运算的结果为向量 的共有（ ）A.1 B.2 C.3 D.4变式：平面向量概念加法
减法
数乘
运算运
算
律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或
平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量加法交换律加法结合律小结类比、数形结合3. 1.1空间向量及其运算（一）
教学目标：
㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；
㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会
用联系的观点看待事物．
教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．
教学难点：应用向量解决立体几何问题．
教学方法：讨论式．
教学过程：
Ⅰ.复习引入
［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？
［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：
①用有向线段表示；
②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：．
［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．
［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：
⒈向量的加法：
⒉向量的减法：
⒊实数与向量的积：
实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|
(2)当λ＞0时，λa与a同向；
当λ＜0时，λa与a反向；
当λ＝0时，λa＝0.
［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？
［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本
Ⅱ.新课讲授
［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？
［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．
［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？
［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：
=a+b，
（指向被减向量），
λa
［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．
［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：
⑴加法交换律：a + b = b + a；
⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）
⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb．
［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
．
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．
例１已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
说明：平行四边形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．
平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．
说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．
例2、如图中，已知点O是平行六面体ABCD－A1B1C1D1体对角线的交点，点P是任意一点，则．
分析：
将要证明等式的左边分解成两部分：与，第一组向量和中各向量的终点构成平行四边形ABCD，第二组向量和中的各向量的终点构成平行四边形A1B1C1D1，于是我们就想到了应该先证明：
将以上所述结合起来就产生了本例的证明思路．
解答：
设E，E1分别是平行六面体的面ABCD与A1B1C1D1的中心，于是有
点评：
在平面向量中，我们证明过以下命题：已知点O是平行四边形ABCD对角线的交点，点P是平行四边形ABCD所在平面上任一点，则，本例题就是将平面向量的命题推广到空间来．
Ⅲ.巩固练习
Ⅳ. 教学反思
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．
关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．
Ⅴ.课后作业
⒈课本 1、2、
⒉预习下一节：
⑴怎样的向量叫做共线向量？
⑵两个向量共线的充要条件是什么？
⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？
⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？
⑸怎样的向量叫做共面向量？
⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？
⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？
3.1.1空间向量及其运算（一）
课前预习学案
预习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
预习内容：1.———————————————叫空间向量．
空间向量的表示方法有： -------------------
2． --------------------------叫相等向量
3.空间向量的运算法则：——————————————————
提出疑惑：
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标：
㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；
㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
学习重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．
学习难点：应用向量解决立体几何问题．
学习过程：
例１已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
例2、如图中，已知点O是平行六面体ABCD－A1B1C1D1体对角线的交点，点P是任意一点，则．
当堂检测：
1、下列说法中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
B．若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线
C．若
D．四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=
2、已知空间四边形ABCD，连AC，BD，设M、G分别是BC、CD中点，则（ ）
A． B． C． D．
3、如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是 （ ）
五、课后练习与提高：
1．对于空间任意一点和不共线三点，点满足是点共面的 （ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
2．已知正方体，点分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中的的值：
（1），则 ；
（2），则 ； ；
（3），则 ； ；
3．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并填上化简后的结果向量：
（1） ；（2） 。
4．设是平行六面体，是底面的中心，是侧面对角线上的点，且，设，试求的值。
课件14张PPT。3.1.1《空间向量及其运算 -加减运算》教学目标1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法运算。
2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题。
教学重点：空间向量的加法、减法运算律。
教学难点：用向量解决立几问题.
授课类型：新授课.
课时安排：1课时.如何定义加减法运算思考2引入有关概念本课小结已知F1=2000N,F2=2000N,F3=2000N,空间量的概念这三个力两两之间的夹角都为60度,它们的合力的大小为多少N?这需要进一步来认识空间中的向量……起点终点平面向量加减法空间向量加减法加法交换律加法:三角形法则或
平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律成立吗？平面向量的加法、减法运算图示意义:向量加法的三角形法则 减向量终点指向被减向量终点推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始
向量的起点指向末尾向量的终点的向量；（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图
形，则它们的和为零向量。返回OABC空间向量的加减法OAB 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。返回空间中OBCOBC(平面向量)向量加法结合律在空间中仍成立吗?AAOABCOABC(空间向量)向量加法结合律：推广再见讲练学案部分
§3.1.1 空间向量及其加减运算
.
知识点一 空间向量的概念
判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；
②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.?
解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量?，在同一条直线上.②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同.③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④不正确，因为A、B、C、D可能共线.⑤正确.⑥不正确，如图所示，与共线，虽起点不同，但终点却相同.
【反思感悟】 解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．
下列说法中正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的减法满足结合律
D.在四边形ABCD中，一定有+=?
答案 B
解析|a|=|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定；对于a的相反向量b=-a故|a|=|b|，从而?B正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有?+?=?，只有平行四边形才能成立.故?A、C、D?均不正确.
知识点二 空间向量的加、减运算
如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．
（1） +；?（2）+ ；
（3）++；
（4）++++;
解 （1）? =?.?
（2）? ?
（3）??
（4）?
【反思感悟】 向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，同平面向量相同，封闭图形，首尾连续向量的和为0..
已知长方体ABCD—A′B′C′D′,化简下列向量表达式:?
(1)?
(2)?
解 (1)?= =?A
(2)?
知识点三 向量加减法则的应用
在如图所示的平行六面体中，求证：??
证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴ ＝＋.
∴=
又由于 ＝，＝，
∴ ＋＋= ＋＋=＋＝，
∴＋＋＝2.
【反思感悟】 在本例的证明过程中,我们应用了平行六面体的对角线向量?=?,该结论可以认为向量加法的平行四边形法则在空间的推广(即平行六面体法则).
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，画出表示下列向量的有向线段.?
（1）＋＋;?；?
（2）;.?
解 如图，
?
（1）?＋＋= ?;
(2)??=?
图中? ，?为所求.
课堂小结：
1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．
2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．
3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．
4．a－b表示的是由减数b的终点指向被减数a的终点的一条有向线段．
课时作业
一、选择题
1．判断下列各命题的真假：
①向量的长度与向量的长度与向量的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 ①真命题；②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑥假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．
2. 已知向量，，，， 满足 || ＝ ||＋||，则( )
A．＝＋ B．＝－－
C．与同向 D．与与同向
答案 D
解析 由 || = | | + | | = | | + ||,知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以?与与同向
3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量表达式?化简后的结果是（ ）? A?.? ?B?.?
? C?.? D?.??
答案 A
解析 如图所示，
因 ＝，－＝－＝，
＋＝，
∴－＋＝.
4．空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是( )
A?.?＋＋＋＝0 ?B?. ＋＋＋＝0
?
C?. ＋＋＋＝0 D?.?－＋＋＝0
答案 B
解析 如图所示，
＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
= ＋＝0.
5. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图所示，下列各式中运算的结果为向量的是（ ）?
① (－)－；
② (＋)－；
③（－)－2；
④（－)＋.?
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
答案 A
(－)－ ＝ －＝.
(＋)－＝＋＝.∴①、②正确．
二、填空题
6. 如图所示 a，b是两个空间向量，则与与是________向量，与是________向量．
答案 相等 相反
7. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,化简向量表达式?+ ?+ 的结果为?
________．
答案 0
解析
＋＋＋＝(＋)＋(＋)
=＋＝0.
三、解答题
8．如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简 （1）＋＋，?（2）?＋＋，并标出化简结果的向量．
解 （1）＋＋ = ＋＝.
(2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB中点．
∴＝，＝.
∴＋＋ = ＋＋ =
9. 已知ABCD是空间四边形,M和N分别是对角线AC和BD的中点.
求证: =
证明 =
又? =?,
∴2 =
由于M,N分别是AC和BD的中点,?
所以．= 0.
∴＝ (＋)．
10．设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心．
求证：＋)．
证明 连结BG，延长后交CD于E，由G为△BCD的重心，
知
∵E为CD的中点，
∴＝＋.
∴＝＋ = ＋
=＋(＋)
= +
= (＋＋)．
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一、选择题
1．对于空间中任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是( )
A．共面向量 B．共线向量
C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量
【解析】 由共面向量定理易得答案A.
【答案】 A
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【解析】 ＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，＝－＝－a－2b，∴＝－2，
∴与共线，
又它们经过同一点B，
∴A，B，D三点共线．
【答案】 A
3．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断
【解析】 ∵＋＋＝1，
∴点P，A，B，C四点共面．
【答案】 B
4．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，用向量，，表示向量的结果为( )
图3-1-11
A.＝－＋
B.＝＋－
C.＝＋－
D.＝＋＋
【解析】 ＝＋＋＝－＋＋.故选B.
【答案】 B
5．如图3-1-12，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则( )
图3-1-12
A.＋＋＝0
B.－－＝0
C.＋－＝0
D.－＋＝0
【解析】 由题图观察，、、平移后可以首尾相接，故有＋＋＝0.
【答案】 A
二、填空题
6．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．(填序号)
①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．
【解析】 当λ＝0时，a＝μe2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μe2知，a与e1，e2共面．
【答案】 ①②③
7．已知O为空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z的值为________．
【解析】 由题意知A，B，C，D共面的充要条件是对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得＝x1＋y1＋z1，且x1＋y1＋z1＝1，因此2x＋3y＋4z＝－1.
【答案】 －1
8．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.
【解析】 由已知可得：＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵A，B，D三点共线，
∴与共线，即存在λ∈R使得＝λ.
∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，
∵e1，e2不共线，
∴解得k＝－8.
【答案】 －8
三、解答题
9．已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x，y的值．
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
【解】 如图所示，
(1)∵＝－
＝－(＋)
＝－－，
∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，
∴＝2－.
又∵＋＝2，
∴＝2－.
从而有＝2－(2－)
＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.
10.如图3-1-13，四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．
图3-1-13
【解】 ∵M，N分别是AC，BF的中点，
又四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋.
又∵＝＋＋＋＝－＋－－，
∴＋＋＝－＋－－.
∴＝＋2＋＝2(＋＋)，
∴＝2，∴∥，即与共线．
[能力提升]
1．若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.
【答案】 C
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必( )
A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内
C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1内
【解析】 由于＝＋7＋6－4＝＋＋6－4＝＋＋6－4＝＋6(－)－4(－)＝11－6－4，于是M，B，A1，D1四点共面，故选C.
【答案】 C
3．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μ e2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________.①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．
【解析】 当λ＝0时，a＝μ e2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μ e2，知a与e1，e2共面．
【答案】 ①②③
4.如图3-1-14所示，M，N分别是空间四边形ABCD的棱AB，CD的中点．试判断向量与向量，是否共面．
图3-1-14
【解】 由题图可得：＝＋＋， ①
∵＝＋＋， ②
又＝－，＝－，
所以①＋②得：
2＝＋，
即＝＋，故向量与向量，共面.
