课件16张PPT。3.1.2空间向量的
数乘运算加法:三角形法则或
平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律 注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.1 我们知道平面向量还有数乘运算.
类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?1?例如:一、1 显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律P96 练习 1 （1）、（2）、（3）1思考1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量
表达式，并标出化简结果的向量.(如图)GM1二、共线向量及其定理1二、共线向量及其定理11分析:
证三点共线可尝试用向量来分析.11例4、已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且
求证：四边形EFGH是梯形。1三.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。1111课件14张PPT。空间向量的基本定理——共面向量定理共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。3—1—2 1、如果向量e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a与 e1, e2有什么关系? 如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a，存在惟一的一对实数a1，a2，使 a＝ a1 e1 ＋a2 e22、平面向量基本定理复习：1 （1）必要性：如果向量c与向量a，b共面，
则通过平移一定可以使他们位于同一平面内，
由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对x，y，
使c＝x a＋y b3、共面向量定理： 如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数 x，y，使 c＝x a＋y b证明：1共面向量定理的剖析 如果两个向量 a，b 不共线,(性质)(判定)11思考2（课本P88思考）即，P、A、B、C四点共面。1得证.1例1、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，C三点共面：1例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平
面AC外一点O引向量 , ,
, ,
求证：
⑴四点E、F、G、H共面；
⑵平面EG//平面AC.
1例2 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量 求证：①四点E、F、G、H共面；②平面AC//平面EG.证明：（﹡）代入所以 E、F、G、H共面。1证明：由面面平行判定定理的推论得：111.下列说明正确的是： (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线
(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线
(D)在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是： (A)平面内的任意两个向量都共线
(B)空间的任意三个向量都不共面
(C)空间的任意两个向量都共面
(D)空间的任意三个向量都共面1变式：
求证：MN∥平面ABB’A’13. 1.2空间向量及其运算（2）
教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．
教学重、难点：共线、共面定理及其应用．
教学过程：
（一）复习：空间向量的概念及表示；
（二）新课讲解：
1．共线（平行）向量：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：平行于，记作：．
2．共线向量定理：
对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（唯一）．
推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对任一点，点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式①，其中向量叫做直线的方向向量。在上取，则①式可化为或②
当时，点是线段的中点，此时③
①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段的中点公式．
3．向量与平面平行：
已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
说明：空间任意的两向量都是共面的．
4．共面向量定理：
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使．
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①
上面①式叫做平面的向量表达式．
（三）例题分析：
例1．已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，
试判断：点与是否一定共面？
解：由题意：，
∴，
∴，即，
所以，点与共面．
说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．
【练习】：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式 （其中）的四点是否共面？
解：∵，
∴，
∴，∴点与点共面．
例2．已知，从平面外一点引向量
，
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面．
解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴共面；
（2）∵，又∵，
∴
所以，平面平面．
课堂练习：
课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；
2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．
作业：
1．已知两个非零向量不共线，如果，，，
求证：共面．
2．已知，，若，求实数的值。
3．如图，分别为正方体的棱的中点，
求证：（1）四点共面；（2）平面平面．
4．已知分别是空间四边形边的中点，
（1）用向量法证明：四点共面；
（2）用向量法证明：平面．
3.1.2空间向量及其运算（2）
课前预习学案
预习目标：1.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式
预习内容：
⑴怎样的向量叫做共线向量？
⑵两个向量共线的充要条件是什么？
⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？
⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？
⑸怎样的向量叫做共面向量？
⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？
⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？
提出疑惑：
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．
学习重、难点：共线、共面定理及其应用．
学习过程：
例1．已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，
试判断：点与是否一定共面？
【练习】：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式 （其中）的四点是否共面？
．
例2．已知，从平面外一点引向量
，
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面．
当堂检测：
1、如图中，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分所成的定比为2，现用基向量（ ）
A． B．
C． D．
2．下列命题正确的是 （ ）
若与共线，与共线，则与共线；
向量共面就是它们所在的直线共面；
零向量没有确定的方向；
若，则存在唯一的实数使得；
3．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是 （ ）
4．已知两个非零向量不共线，如果，，，
求证：共面．
课堂练习与提高：
1．已知，，若，求实数的值。
2．如图，分别为正方体的棱的中点，
求证：（1）四点共面；（2）平面平面．
3．已知分别是空间四边形边的中点，
（1）用向量法证明：四点共面；
（2）用向量法证明：平面．
课件17张PPT。3.1.2《空间向量及其运算 -数乘运算》教学目标1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的数乘运算.
2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题..
教学重点：空间向量的数乘运算及运算律.
教学难点：用向量解决立几问题.思考1向量的平行复习回顾数乘运算加法:三角形法则或
平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律 注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.因为……. 我们知道平面向量还有数乘运算.
类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢??例如:定义: 显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律平行六面体思考2思考1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量
表达式，并标出化简结果的向量.(如图)GM平行六面体：平行四边形ABCD按向量 平移
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.记做ABCD-A1B1C1D1 注:始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量思考2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。思考(2)再见§3．1.2 空间向量的数乘运算
知识点一 空间向量的运算
已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面体.?
(1)化简?
(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点,设,试求α,β,γ的值.?
解 (1)方法一 取AA′的中点为E,则
??
又?取F为D′C′的一个三等分点(D′F=?D′C′),则D′F =?
∴? +? + =?+? +? =??
方法二 取AB的三等分点P使得,?
取CC′的中点Q,则 +? +=
(2)
=
= =
∴α＝，β＝，γ＝.
【反思感悟】 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时可转化为加法，也可按减法进行运算．本题第一问是开放式的表达式，形式不唯一，有多种解法．
如图所示,平行六面体A1B1C1D1- ABCD，
M分成的比为，N分成的比为，N分成的比为2，设 ＝ a，＝b，＝c，试用a、b、c表示，
解
=
＝－(a＋b)＋c＋(－c＋b)
＝－a＋b＋c
知识点二 共线问题
设空间四点O，A，B，P满足其中m+n=1，则（ ）?
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D. 与与的方向一定相同
答案 A
解析 已知m+n=1，则
?因?为?≠ 0 .所以?和?共线，即点A，P，B共线，故选?A?.?
【反思感悟】（1）考察点P是否在直线AB上，只需考察与是否共线；
（2）解决本题的关键是利用条件m+n=1把证明三点共线问题转化为证明?与是否共线.?
已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点，
求α+β的值.?
解 ∵A、B、P三点共线，由共线向量知，
存在实数t，使 = t??
由= ，= ?代入得：?
；
又由已知，∴α＝1－t，β＝t，∴α＋β＝1.
知识点三 共面问题
已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求证：BD∥平面EFGH.
证明 (1)由已知得EF綊HG，
∴??
∵?,? 不共线，?
∴? 共面且有公共点G，?
∴E，F，G，H四点共面.?
（2）
∵?与不共线，
∴，，共面．
由于BD不在平面EFGH内，所以BD∥平面EFGH.
【反思感悟】 利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练的进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．
用向量法证明：空间四边形ABCD的四边中点M，N，P，Q共面．
证明 △AMQ中,???
=
CNP中, = ?
所以?,所以M,N,P,Q四点共面.
课堂小结：
1．向量共线的充要条件及其应用
(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a∥b时，也具有同样的意义．
(2)“共线”这个概念具有自反性a∥a，也具有对称性，即若a∥b，则b∥a.
(3)如果应用上述结论判断a，b所在的直线平行，还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上．
＝λ或＝μ即可．也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明三点共线．
2．向量共面的充要条件的理解
＝x＋y.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O，有＝(1－t)＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P、A、B、C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．
课时作业
一、选择题
1．下列命题中是真命题的是( )
A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C. 若向量? 满足 | |>| |，且 与 同向，则 >??
D. 若两个非零向量 与满足+ = 0，则∥
答案 D
解析 A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．
B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．
C错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有?>这种写法．
D．对.∵? + = 0 ,∴? = ，?
∴?与?共线，故?∥，正确.
2．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( )
A．＋＝
B．－＝
C．＝
D．||＝||
答案 C
3．在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是( )
A．＝2－－
B．＝＋＋
C．＋＋＝0
D．＋＋＋＝0
答案 C
解析 若有 ＝ x ＋ y，则M与点A、B、C共面，或者＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1，则M与点A、B、C共面，A、B、D三项不满足x＋y＋z＝1，C项满足＝x＋y，故选C.
4．已知向量a与b不共线，则a，b，c共面是存在两个非零常数λ，μ使c＝λa＋μb的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 验证必要性时，当a，b，c共面且a∥c(或b∥c)时不能成立，不能使λ，μ都非零．
5. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量 ?是（ ）?
A．有相同起点的向量
B．等长向量
C．共面向量
D．不共面向量
答案 C
解析 如图所示，因为?而?,
∴? ?，即??,而? 与 不共线，所以? ， ， 三向量共面.
二、填空题
6．已知P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有＝2＋＋λ，则λ＝________.
答案 －2
解析 P与不共线三点A，B，C共面，且＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则x＋y＋z＝1是四点共面的充要条件．
7．三个向量xa－yb，yb－zc，zc－xa的关系是________．(填“共面”“不共面”“无法确定是否共面”)．
答案 共面
解析 因xa－yb，yb－zc，zc－xa也是三个向量，且有zc－xa＝－(yb－zc)－(xa－yb)所以三向量共面．
8. 在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若? a ,?B = b , 则 等于 ________．
?
答案 a＋b
三、解答题
9 如图所示，E，F，G，H分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1，B1C1，D1C1的中点．
求证：(1)E，F，D，B四点共面；
(2)平面AEF∥平面BDHG.
证明 （1）∵ ,
∴?共面且具有公共点E，?
∴E，F，D，B四点共面.
(2)∵E，F，G，H分别是A1B1，A1D1，B1C1，D1C1的中点，
＝＝，
＝ ＋＝，
∴EF∥GH，AF∥BG，∴EF∥平面BDHG，AF∥平面BDHG，又AF∩EF＝F，∴平面AEF∥平面BDHG.
10．对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线与另一对边平行于同一平面．
证明 . 如图，利用多边形加法法则可得，
,
＝＋＋ ①
又E，F分别是AB，CD的中点，故有
＝ － ，＝－， ②
将②代入①后，
两式相加得2 ＝ ＋，
∴ ，
即 与，共面，
∴EF与AD，
BC平行于同一平面．
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．对于空间中任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是( )
A．共面向量 B．共线向量
C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量
【解析】 由共面向量定理易得答案A.
【答案】 A
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【解析】 ＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，＝－＝－a－2b，∴＝－2，
∴与共线，
又它们经过同一点B，
∴A，B，D三点共线．
【答案】 A
3．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断
【解析】 ∵＋＋＝1，
∴点P，A，B，C四点共面．
【答案】 B
4．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，用向量，，表示向量的结果为( )
图3-1-11
A.＝－＋
B.＝＋－
C.＝＋－
D.＝＋＋
【解析】 ＝＋＋＝－＋＋.故选B.
【答案】 B
5．如图3-1-12，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则( )
图3-1-12
A.＋＋＝0
B.－－＝0
C.＋－＝0
D.－＋＝0
【解析】 由题图观察，、、平移后可以首尾相接，故有＋＋＝0.
【答案】 A
二、填空题
6．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．(填序号)
①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．
【解析】 当λ＝0时，a＝μe2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μe2知，a与e1，e2共面．
【答案】 ①②③
7．已知O为空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z的值为________．
【解析】 由题意知A，B，C，D共面的充要条件是对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得＝x1＋y1＋z1，且x1＋y1＋z1＝1，因此2x＋3y＋4z＝－1.
【答案】 －1
8．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.
【解析】 由已知可得：＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵A，B，D三点共线，
∴与共线，即存在λ∈R使得＝λ.
∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，
∵e1，e2不共线，
∴解得k＝－8.
【答案】 －8
三、解答题
9．已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x，y的值．
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
【解】 如图所示，
(1)∵＝－
＝－(＋)
＝－－，
∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，
∴＝2－.
又∵＋＝2，
∴＝2－.
从而有＝2－(2－)
＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.
10.如图3-1-13，四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．
图3-1-13
【解】 ∵M，N分别是AC，BF的中点，
又四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋.
又∵＝＋＋＋＝－＋－－，
∴＋＋＝－＋－－.
∴＝＋2＋＝2(＋＋)，
∴＝2，∴∥，即与共线．
[能力提升]
1．若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.
【答案】 C
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必( )
A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内
C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1内
【解析】 由于＝＋7＋6－4＝＋＋6－4＝＋＋6－4＝＋6(－)－4(－)＝11－6－4，于是M，B，A1，D1四点共面，故选C.
【答案】 C
3．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μ e2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________.①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．
【解析】 当λ＝0时，a＝μ e2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μ e2，知a与e1，e2共面．
【答案】 ①②③
4.如图3-1-14所示，M，N分别是空间四边形ABCD的棱AB，CD的中点．试判断向量与向量，是否共面．
图3-1-14
【解】 由题图可得：＝＋＋， ①
∵＝＋＋， ②
又＝－，＝－，
所以①＋②得：
2＝＋，
即＝＋，故向量与向量，共面.
