课件8张PPT。3.1.3空间向量的
数量积运算空间两个向量的数量积的性质(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相
同的性质.
(2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质(5)是
用来求两个向量的夹角．
(3)性质(3)是实数与向量之间转化的依据．例1、例2、已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°，计算：(1)(a+2b)·(2a-b)；(2)|4a一2b|．如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：例3ABCDEFG在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．例4已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN．证明：例53. 1.3．空间向量的数量积
教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
教学过程
学生探究过程：
（一）复习：空间向量基本定理及其推论；
（二）新课讲解：
1．空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；
若，则称与互相垂直，记作：；
2．向量的模：
设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：；
3．向量的数量积：
已知向量，则叫做的数量积，记作，即．
已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影；可以证明的长度．
4．空间向量数量积的性质：
（1）．
（2）．
（3）．
5．空间向量数量积运算律：
（1）．
（2）（交换律）．
（3）（分配律）．
（三）例题分析：
例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。
已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且
求证：．
证明：在内作不与重合的任一直线，
在上取非零向量，∵相交，
∴向量不平行，由共面定理可知，存在
唯一有序实数对，使，
∴，又∵，
∴，∴，∴，
所以，直线垂直于平面内的任意一条直线，即得．
例2．已知空间四边形中，，，求证：．
证明：（法一）
．
（法二）选取一组基底，设，
∵，∴，即，
同理：，，
∴，
∴，∴，即．
说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。
例3．如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值。
解：∵，
∴
∴，
所以，与的夹角的余弦值为．
说明：由图形知向量的夹角时易出错，如易错写成，切记！
巩固练习
1、已知，，且与的夹角为，，，求当m为何值时
2、已知，，，则 。
3、已知和是非零向量，且==，求与的夹角
4、已知，，且和不共线，求使与的夹角是锐角时的取值范围
5、已知向量，向量与的夹角都是，且，
试求：（1）；（2）；（3）．
教学反思：空间向量数量积的概念和性质。
作业布置：课本第3、4题
3.1.3．空间向量的数量积
课前预习学案
预习目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
预习内容：1．空间向量的夹角及其表示----------------------------------------------------------------
2．向量的模----------------------------------------------------------------------------------
3. 向量的数量积：--------------------------------------------------------------------
4．空间向量数量积的性质
5．空间向量数量积运算律：
提出疑惑：
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
学习重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
学习过程：
例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。
例2．已知空间四边形中，，，求证：．
例3．如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值。
当堂检测
1、已知，，且与的夹角为，，，求当m为何值时
2、已知，，，则 。
课后练习与提高：
1、已知和是非零向量，且==，求与的夹角
2、已知，，且和不共线，求使与的夹角是锐角时的取值范围
3、已知向量，向量与的夹角都是，且，
试求：（1）；（2）；（3）．
课件11张PPT。练习巩固课本例2复习引入本课小结练习巩固2答案4答案3.(课本第99页第3题)已知线段AB、BD在平面 内,BD⊥AB,线段AC ⊥ ,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离.第3题:第4题:综合分析数形结合妙!逆命题成立吗? 另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系,证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零.解答证明：如图,已知:求证：在直线l上取向量 ,只要证为逆命题成立吗?分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.解答分析：要证明一条直线与一个平面
垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.例3:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)
已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,
如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ .mn 取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系? 共面向量定理,有了!ye!例3:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,
如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ . 小 结：
通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：
1、证明两直线垂直;
2、求两点之间的距离或线段长度;
（3、证明线面垂直;）
4、求两直线所成角的余弦值等等.
§3．1.3 空间向量的数量积运算
知识点一 求两向量的数量积
如图所示，已知正四面体O-ABC的棱长为 a，
求?·.?.
?
解 由题意知 |? | = | | = | | = a，且〈?，?〉= 120°?，〈 ，〉= 120°?，?
?· =?·（ ）?
= ·?·? ,?
= a2cos120°?a2cos120°＝0
【反思感悟】 在求两向量的夹角时一定要注意两向量的起点必须在同一点，如〈，〉＝60°时，〈 ，〉＝120°.
已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为AB1的中点，F为A1D1的中点，试计算：
（1）?· ；
（2）?· ；
（3）· .?
解 如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
（1） · = b·［ （c a ）+b］= | b |2 = 42 = 16 ..?
(2)?· = （c a +b ）·（ a + c ）= | c |2| a |2 = 22 22 = 0.?
（3）· = [(c－a)＋b]·(b＋a)＝(－a＋b＋c)·(b＋a)＝－|a|2＋|b|2＝2.
知识点二 利用数量积求角
如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
解 . 因?,?
所以 · =?·? ·??
=||||cos〈 ，〉| | | | cos〈 , 〉?
=8×4×cos135° 8×6×cos120°
所以?cos〈,?〉=.?
＝＝.
即OA与BC所成角的余弦值为.
【反思感悟】 在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题．需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补．
在二面角α－l－β中，A，B∈α，C，D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中点．
(1)求二面角α－l－β的大小；
(2)求证：MN⊥AB；
(3)求异面直线PA与MN所成角的大小．
(1)解 ∵PA⊥α，l?α
∴PA⊥l，又∵AD⊥l，PA∩AD=A，
∴l⊥平面PAD，∴l⊥PD，
故∠ADP为二面角α-l-β的平面角，
由PA=AD得∠ADP=45°.
∴二面角α-l-β的大小为45°.
（2）证明 ＝＋，
＝＝＋＝(－)＋，
＝－ ＝ ＋，
∴＝＋＋，
＝－ = ＋＋－
= ＋，∵AD⊥AB，AP⊥AB
∴ · ＝ 0，·＝0，
∴ MN⊥AB.
(3)解 设AP＝a，
由(2)得 ＝＋
·＝ ·＋·＝a2，
||＝||＝a，
| |＝＝＝a，
∴ cos< , >＝＝，
即异面直线PA与MN所成角为45°.
知识点三 利用数量积证明垂直关系
如图所示，m，n是平面α内的两条相交直线．如果l⊥m，l⊥n，
求证：l⊥α .
证明 在α内作任一直线g，分别在l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.
因为m与n相交，所以向量m，n不平行．
由向量共面的充要条件知，存在惟一的有序实数对(x，y)，使g＝xm＋yn.
将上式两边与向量l作数量积，
得l·g＝xl·m＋yl·n.
因为l·m＝0，l·n＝0，所以l·g＝0,
所以l⊥g.即l⊥g.
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，
所以l⊥α.
【反思感悟】 证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直，即证明两向量数量积为零．
已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB.
证明 ∵OA⊥BC，OB⊥AC，∴?·= 0，·= 0.?
∵ ·＝(+)· ( + )
= ·＋·＋·＋·
=· ＋·(＋)
= ·＋·＝ · (＋)＝·＝0，
∴ ⊥ ，∴OC⊥AB.
课堂小结：
空间两个向量a，b的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，这里〈a，b〉表示空间两向量所成的角(0≤〈a，b〉≤π)．空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质．应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题，可以求两直线夹角问题和线段长度问题．即(1)利用a⊥b?a·b＝0证线线垂直(a，b为非零向量)．(2)利用a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，cosθ＝，求两直线的夹角．(3)利用|a|2＝a·a，求解有关线段的长度问题．
一、选择题
1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )
A．充分不必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
答案 A
解析 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|
?cos〈a，b〉＝1?〈a，b〉＝0，
当a与b反向时，不能成立．
2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于( )
A. B.
C. D．4
答案 C
解析 |a＋3b|2＝(a＋3b)2
＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6·cos60°＋9＝13.
3．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
答案 B
解析 A中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0，b＝0.
C中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b.
D中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c.
4．已知四边形ABCD满足：－*6]··>0，·>0，·>0，·－*6]·>0，则该四边形为( )
A．平行四边形 B．梯形
C．平面四边形 D．空间四边形
答案 D
5．已知a、b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
二、填空题
6．已知向量a、b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________．
答案 45°
解析 因为a与2b－a垂直，所以a·(2b－a)＝0.
即2a·b－|a|2＝0，所以2|a||b|·cos〈a，b〉－|a|2＝0，
所以4cos〈a，b〉－4＝0?cos〈a，b〉＝，
所以a与b的夹角为45°.
7. 已知线段AB,BD在平面α内,∠ABD=120°,线段AC⊥α,如果AB=a,BD=b,AC=c,则| |为____________．
答案
解析 ||2＝|＋－|2
＝2＋2＋2＋2·－2·－2·＝a2＋b2＋c2＋2abcos60°＝a2＋b2＋c2＋ab.
||＝.＝.
8．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________.
答案 －
解析 由m·n＝0，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
列方程解得λ＝－.
三、解答题
9. 如图，已知E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量与?所成角的余弦值.?
解 设正方体的棱长为m，
＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝m.
a·b＝b·c＝c·a＝0.
又∵＝＋＝＋＝a＋b，
＝＋＝＋＝c＋a.
∴ ·＝(a＋b)·(c＋a)
＝a·c＋b·c＋a2＋a·b＝a2＝m2.
又∵| |＝m，||＝m，
∴?cos〈 ， 〉=
＝＝.
10．已知在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
(1)求AC′的长(如图所示)；
(2) 求 与的夹角的余弦值．
解 (1)∵= + + ,?
∴||2 = (+ + ?)2?
=| |2 + | |2+ | |2 + 2 (· +?· + ?·)
= 42 + 32 + 52 +2（0+10+7.5）= 85.?
∴|| ＝ .
(2) 方法一 设?与的夹角为θ,?
∵四边形ABCD是矩形,∴| | = 。
∴由余弦定理可得?
cosθ＝＝＝.
方法二 设＝a，＝b，＝c，
依题意· ＝ (a＋b＋c)·(a＋b)
＝a2＋2a·b＋b2＋a·c＋b·c
＝16＋0＋9＋4·5·cos60°＋3·5·cos60°
＝16＋9＋10＋＝.
∴ cos θ＝ = ＝.
学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1．设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|＝；③a2b＝b2a；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有( )
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中，|a|2·b＝|b|2·a不一定成立，④运算正确．
【答案】 D
2．已知a＋b＋c＝，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则a与b的夹角〈a，b〉＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
【解析】 ∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2，∴a·b＝，∴cos〈a，b〉＝＝.
【答案】 D
3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
【解析】 用排除法，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故·＝0，排除D；因为AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，故·＝0，排除B，同理·＝0，排除C.
【答案】 A
4.如图3-1-25，已知空间四边形每条边和对角线都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
图3-1-25
A．2· B．2·
C．2· D．2·
【解析】 2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；2·＝－a2，故D错；2·＝2＝a2，故只有C正确．
【答案】 C
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°.
其中正确命题的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
【解析】 由题意知①②都正确，③不正确，与的夹角为120°.
【答案】 B
二、填空题
6．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________．
【解析】 |2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2
＝4×|a|2＋9×|b|2－12×|a|·|b|·cos 60°＝61，
∴|2a－3b|＝.
【答案】
7．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．
【解析】 由题意知
即
得λ2＋2λ－2<0.
∴－1－<λ<－1＋.
【答案】 (－1－，－1＋)
8.如图3-1-26，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
图3-1-26
【解析】 不妨设棱长为2，则1＝－，＝＋，
cos〈，〉＝
＝＝0，故填90°.
【答案】 90°
三、解答题
9．如图3-1-27，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面BDG.
图3-1-27
【证明】 设＝a，＝b，＝c.
则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.
而＝＋
＝＋(＋)
＝c＋(a＋b)，
＝－＝b－a，
＝＋
＝(＋)＋
＝(a＋b)＋c.
∴·＝·(b－a)
＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)
＝c·b－c·a＋(b2－a2)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
∴⊥.
∴A1O⊥BD.
同理可证⊥.
∴A1O⊥OG.
又OG∩BD＝O且A1O?平面BDG，
∴A1O⊥平面BDG.
10．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：(1)·；(2)·；(3)·.
【解】 如图所示，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝·(＋)
＝·
＝b·
＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝(＋)·(＋)
＝·(＋)
＝·(a＋c)
＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)·＝(＋)·(＋)
＝·
＝·
＝(－a＋b＋c)·
＝－|a|2＋|b|2＝2.
[能力提升]
1．已知边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
【解析】 ＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，则·＝(2＋2)＝1，故选C.
【答案】 C
2．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为( )
A．30° B．60°
C．90° D．45°
【解析】 由于＝＋＋，则·＝(＋＋)·＝2＝1.
cos〈，〉＝＝，得〈，〉＝60°.
【答案】 B
3．已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝________.【解析】 设＝m，由于＝＋，＝＋m，
又·＝0，
得×1×1×＋4m＝0，
解得m＝.
【答案】
4.如图3-1-28，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．
图3-1-28
【解】 ∵＝＋＋，
∴||＝＝
.
∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
∴〈，〉＝90°，〈，〉＝〈，〉＝60°，
∴||
＝
＝.
