课件13张PPT。3.1.4空间向量运算的
坐标表示一、向量的直角坐标运算新课1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。二、距离与夹角在空间直角坐标系中，已知 、
，则（2）空间两点间的距离公式2.两个向量夹角公式注意：
（1）当 时， 同向；
（2）当 时， 反向；
（3）当 时， 。思考：当 及
时，夹角在什么范围内？例1．已知 解:三、应用举例三、应用举例例2 已知 、 ，求：
（1）线段 的中点坐标和长度； 解：设 是 的中点，则∴点 的坐标是 . （2）到 两点距离相等的点 的
坐标 满足的条件。解：点 到 的距离相等，则化简整理，得即到 两点距离相等的点的坐标 满
足的条件是例、在正方体练习 3 已知 垂直于正方形 所在的平面, 分别是 的中点,并且 ,求证:证明: 分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 则 练习4：如图，已知线段AB?α，AC⊥α，BD⊥AB，DE ⊥α ，∠DBE=30o，如果AB=6，AC=BD=8，求CD的长及异面直线CD与AB所成角的大小。练习：平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60o，E、 H、F分别是D1C1 、AB、CC1的中点。（1）求AC1的长；（2）求BE的长；（3）求HF的长；（4）求BE与HF所成角的大小。10课件7张PPT。3.1.4空间向量的正交分
解及其坐标表示任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。空间向量基本定理： 如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使都叫做基向量 （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
还应明确： （2） 由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 。（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使
当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。练习：
1、在空间坐标系o-xyz中， ( 分别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 的坐标为 .
2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点为 ，关于轴的对称点为 ，例题已知空间四边形OABC，对角线为OB,AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底．
求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．练习练习23. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
教学目标
1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
重、难点
1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。
2．坐标判断两个空间向量平行。
教学过程
1．情景创设：
平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？
2．建构数学：
如图：在空间直角坐标系中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量作为基向量，对于空间任一向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使；有序实数组（x，y，z）叫做向量的空间直角坐标系中的坐标，记作＝（x，y，z）。
在空间直角坐标系O－xyz中，对于空间任意一点A（x，y，z），向量是确定的，容易得到
。
因此，向量的坐标为（x，y，z）。
这就是说，当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a的坐标。
类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。
设a＝（），b＝（），则
a+b＝（），
a－b＝（），
a＝（）。
空间向量平行的坐标表示为
a∥b（a≠0）。
例题分析：
例1：已知a＝（1，－3，8），b＝（3，10，－4），求a+b，a－b，3a。
例2：已知空间四点A（－2，3，1），B（2，－5，3），C（10，0，10）和D（8，4，9），求证：四边形ABCD是梯形。
例3：求点A（2，－3，－1）关于xOy平面，zOx平面及原点O的对称点。
练习：见学案
小结：
作业：见作业纸
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
课前预习学案
预习目标：1、空间向量与有序数组之间的一一对应关系；
2．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
预习内容：
1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫 ．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量． 叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；
2、空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系中，对空间任一点， ，使 ，有序实数组 叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作 ，叫 ，叫 ，叫 ．
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标：1、理解空间向量与有序数组之间的一一对应关系；
2．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
重点难点：空间向量的坐标表示
学习过程：
例1：已知a＝（1，－3，8），b＝（3，10，－4），求a+b，a－b，3a。
例2：已知空间四点A（－2，3，1），B（2，－5，3），C（10，0，10）和D（8，4，9），求证：四边形ABCD是梯形。
。
当堂检测：
1求点A（2，－3，－1）关于xOy平面，zOx平面及原点O的对称点
课后练习与提高：
1．一向量的终点在点B(2,-1,7),它在坐标轴上的射影顺次是4，-4和7，则这向量的终点A的坐标是（ ）
A、(-2,3,0) B、(-1,3,5) C、(3,-1,2) D、(0,2,-2)
2．点(1,-3,2)关于点(-1,2,1)的对称点是（ ）
A、(-2,7,1) B、(-3,7,0) C、(1,-7,0) D、(1,2,5)
课件20张PPT。3.1.4《空间向量运算的 正交分解及基坐标表示》教学目标⒈理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出；
⒉理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；
⒊会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．
教学重点：点在已知平面内的充要条件．共线、共面定理及其应用．
教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用．
授课类型：新授课.
课时安排：1课时.共面向量定理复习问题引入练习1、2AP思考APB分析:
证三点共线可尝试用向量来分析.练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 ，求 的值. 练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 ，求 的值. 学习共面思考1二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。思考2练习1练习2引入知识要点本课小结以
建立空间直角坐标系O—xyz若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2),
则1答案2答案证明:设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系1.基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题
时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐
标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明。再见§3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
知识点一 向量基底的判断
已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，那么向量a＋b，a－b，c能构成空间的一个基底吗？为什么？
解 ∵a＋b，a－b，c不共面，能构成空间一个基底．
假设a＋b，a－b，c共面，则存在x，y，
使c＝x(a＋b)＋y(a－b)，∴c＝(x＋y)a＋(x－y)b.
从而由共面向量定理知，c与a，b共面．
这与a、b、c不共面矛盾．
∴a＋b，a－b，c不共面．
【反思感悟】 解有关基底的题，关键是正确理解概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底．
以下四个命题中正确的是( )
A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量
C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
答案 B
解析 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是·＝0，可能是·＝0，也可能是·＝0，故C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确，故选B.
知识点二 用基底表示向量
在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，－*6]·＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
（1） ； (2)；
(3) ； (4).
解 连结AC、AD′.
（1） =
= ＝(a＋b＋c)；
(2)＝(＋)
=
＝a＋b＋c；
(3) = (＋)
＝[( ) ＋(＋)]
＝(＋2＋2)＝a＋b＋c；
(4) ＝＋＝＋(－)
＝＋＋＝a＋b＋c.
【反思感悟】 利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出所有向量．注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则．
已知三棱锥A—BCD.
(1)化简(＋－)并标出化简结果的向量；
(2)设G为△BCD的重心，试用，，表示向量.
解 (1)设AB，AC，AD中点为E，F，H，BC中点为P.
＋－)＝ ＋ = －＝.
（2）＝＋ = ＋
= ＋(－)＝＋
＝·( ＋)＋
＝( ＋＋)．
知识点三 求空间向量的坐标
已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB，PC的三等分点且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求 的坐标．
解 ∵PA=AB=AD=1，
且PA垂直于平面ABCD，AD⊥AB，
∴可设 ＝i，＝i， ＝j，＝k.
以i，j，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
∵ ＝＋＋
＝－ ＋＋
＝－＋＋(－＋＋)
= ＋＝k＋
＝i＋k，
∴ ＝ .
【反思感悟】 空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线．在空间体中不具备此条件时，建系后要注意坐标轴与空间体中相关直线的夹角．
在直三棱柱ABO—A1B1O1中，∠AOB= ，|AO| = 4，?|BO|?= 2，
|AA1| = 4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求??的坐标.?
解 ∵?;
又= 4，||＝4，||＝4，||＝2，∴＝(－2，－1，－4)，
∴ ＝ (－4,2，－4)．
课堂小结：
1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．
2．对于＝(1－t)＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P、A、B、C四点共面．
3．对于基底{a，b，c}除了应知道a，b，c不共面，还应明确：
(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．
(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
一、选择题
1．若存在实数x、y、z，使－*6]＝(1－t)＝x＋y＋z成立，则下列判断正确的是( )
A?.对于某些x、y、z的值，向量组{}不能作为空间的一个基底?
B?.对于任意的x、y、z的值，向量组{}都不能作为空间的一个基底?
?C?.对于任意x、y、z的值，向量组{ }都能作为空间的一个基底?
?D?.根据已知条件，无法作出相应的判断;?
答案 A
解析 当 ?、、、不共面时，，，也不共面，，，能构成空间的一个基底，当，，共面时，则，，也共面，故不能构成空间的一个基底．
2. 设O-ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG=3GG1，若??＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
A．(，，) B．(，，)
C．(，，) D．(，，)
答案 A
解析 ，因为?＝＝(＋)＝＋×[(＋)]＝＋[(－)＋(－)]＝＋＋，而＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝.故选A.
3．在以下3个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 命题①，②是真命题，命题③是假命题．
4．若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( )
A．a,2b,3c B．a＋b，b＋c，c＋a
C．a＋2b,2b＋3c,3a－9c D．a＋b＋c，b，c
答案 C
解析 －3(a＋2b)＋3(2b＋3c)＋(3a－9c)＝0.
∴3a－9c＝3(a＋2b)－3(2b＋3c)
即三向量3a－9c，a＋2b,2b＋3c共面
∴选C.
5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
答案 A
解析 设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i
＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．
二、填空题
6. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.
答案 ,
解析 ?＝＝( ＋＋)．
7. 从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取
＝a，＝a，＝b，＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则＝__________________.
答案 －a＋(b＋c)
8. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列关于?的表达式中：
①＋＋；
②＋＋；
③?＋＋；
④＋)＋
正确的个数是________个．
答案 3 ,
解析 ＋＋＝＋＝＋≠，
②不正确；
＋)＋
＝＋)＋
= ＋＝.
④正确；①，③明显正确．
三、解答题
9．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，试问向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？并说明理由．
解 由共面向量定理可知，关键是能否找到三个不全为零的实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，即x(3e1＋2e2＋e3)＋y(－e1＋e2＋3e3)＋z(2e1－e2－4e3)＝0.亦即(3x－y＋2z)e1＋(2x＋y－z)e2＋(x＋3y－4z)e3＝0.
由于e1，e2，e3不共面，
故得
①＋②求得z＝－5x，代入③得y＝－7x，取x＝－1，
则y＝7，z＝5，于是－a＋7b＋5c＝0，即a＝7b＋5c，
所以a，b，c三向量共面．
10．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，设－*6]·＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
（1）用向量 a，b，c，表示?；?
（2）若?= x a +y b +z c，求实数x,y,z.?
解 （1）? =? +? = + ? = abc，?
?=? +? =? +?
= -
(2)? =
＝(a－c－b－c)＝a－b－c，
∴x＝，y＝－，z＝－1.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．点A(－1，2，1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为( )
A．(－1，0，1)，(－1，2，0)
B．(－1，0，0)，(－1，2，0)
C．(－1，0，0)，(－1，0，0)
D．(－1，2，0)，(－1，2，0)
【解析】 点A在x轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy平面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0，故应选B.
【答案】 B
2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是( )
A．向量的坐标与点B的坐标相同
B．向量的坐标与点A的坐标相同
C．向量与向量的坐标相同
D．向量与向量－的坐标相同
【解析】 因为A点不一定为坐标原点，所以A，B，C都不对；由于＝－，故D正确．
【答案】 D
3．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则可表示为( )
A.a＋b＋c B.a－b＋c
C．－a－b＋c D．－a＋b＋c
【解析】 由于＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c，故选D.
【答案】 D
4．正方体ABCD-A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{1，2，3}为基底，＝x1＋y＋z3，则x，y，z的值是( )
A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝
C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2
【解析】 ＝＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋＝＋＋，
由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1.
【答案】 A
5．已知空间四点A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，D(x，－1，3)共面，则x的值为( )
A．4 B．1
C．10 D．11
【解析】 ＝(－2，2，－2)，＝(－1，6，－8)，＝(x－4，－2，0)，
∵A，B，C，D共面，
∴，，共面，
∴存在实数λ，μ，使＝λ＋μ，
即(x－4，－2，0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，
∴得
【答案】 D
二、填空题
6．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a与b的位置关系是________．
【解析】 ∵a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0.
∴a⊥b.
【答案】 a⊥b
7.如图3-1-32, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝________．
图3-1-32
【解析】 ＝－
＝(＋)－(＋)＝－＋－＝－a＋b－c.
【答案】 －a＋b－c
8．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．
【解析】 由题意知点A对应的向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，
∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8，3，12)．
【答案】 (8，3，12)
三、解答题
9．已知{e1，e2，e3}为空间一基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，能否以，，作为空间的一个基底？
【解】 假设，，共面，
根据向量共面的充要条件有＝x＋y，
即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∴此方程组无解．
∴，，不共面．
∴{，，}可作为空间的一个基底．
10．如图3-1-33，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝－，＝，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
图3-1-33
【解】 连接AN，则＝＋.
由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得
＝＋＝a＋b，
＝－＝－(a＋b)，
又＝－＝b－c，
故＝＋＝－＝－
＝b－(b－c)，
＝＋＝－(a＋b)＋b－(b－c)
＝(－a＋b＋c)．
[能力提升]
1．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB.M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则等于( )
A.＋＋
B.(＋＋)
C.(＋＋)
D.＋＋
【解析】 如图，
＝(＋)
＝＋×(＋)
＝＋＋
＝(＋＋)．
【答案】 B
2．若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合无三点共线，则能使向量，，成为空间一组基底的关系是( )
A.＝＋＋
B.＝＋
C.＝＋＋
D.＝2－
【答案】 C
3．在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则＝________．
【解析】 ＝(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＋＋＝(＋)＝3a－b＋3c.
【答案】 3a－b＋3c
4.在直三棱柱ABO -A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图3-1-34所示的空间直角坐标系中，求，的坐标．
图3-1-34
【解】 ∵＝－＝－(＋)
＝－[＋(＋)]＝－－－.
又||＝||＝4，||＝4，||＝2，
∴＝(－2，－1，－4)．
∵＝－＝－(＋)
＝－－.
又||＝2，||＝4，||＝4，
∴＝(－4，2，－4).
