课件25张PPT。3.2.1立体几何中的向量方法（一）研究 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.共线向量定理:复习：共面向量定理:思考1：1、如何确定一个点在空间的位置？
2、在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？
3、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
4、给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？OP一、点的位置向量二、直线的向量参数方程此方程称为直线的向量参数方程。这样点A和向量 不仅可以确定直线 l的位置，还可以具体写出l上的任意一点。 除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.这样，点O与向量 不仅可以确定平面 的位置，还可以具体表示出 内的任意一点。三、平面的法向量平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ⊥ ，如果 ⊥ ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量. 给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的.几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都互相平行;
3.向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有例1 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？思考2：四、平行关系：五、垂直关系：巩固性训练1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-2,-4,k),若 ，则k= ；若 则 k= 。
2、已知 ，且 的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m= .
3、若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为(1,1/2,2),且 ，则m= .六、夹角：lmllmllmlmll课件14张PPT。ZPZ3.2.2立体几何中的向量方法（二）空间“距离”问题一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）空间“距离”问题1. 空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算，
利用公式 或
(其中 ) ，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解：如图1，设化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算所以回到图形问题这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ （2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?分析:分析:∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）H 分析：面面距离点面距离解：∴ 所求的距离是问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？2、向量法求点到平面的距离：DABCGFEDABCGFE解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz
则D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )当E,F在公垂线同一侧时取负号
当d等于0是即为“余弦定理”< >=π—θ（或θ），abCDABCD为a,b的公垂线则A，B分别在直线a,b上3. 异面直线间的距离 小结 1、E为平面α外一点,F为α内任意一
点, 为平面α的法向量,则点E到平面的
距离为: 2、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b
上的点, 是a,b公垂线的方向向量,
则a,b间距离为3. 2立体几何中的向量方法
教学目标：
掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法
掌握向量作为工具解决立几问题的方法
向量解题后建议多思考传统的方法，不仅可以锻炼思维能力，还可以深刻认识空间几何的本质
重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法
教学过程：
相关知识与能力：
一.空间距离的计算
1. 空间两点间的距离：设A、B是空间两点，则A、B两点间的距离d=||
2.两条异面直线间的距离：设a、b是两条异面直线，是a、b的公共法向量（即），点A(a,B(b
则异面直线a、b间的距离
即方向上的射影长为异面直线a、b间的距离。
3.点（或线）到平面的距离：
1）设
P是平面α内任一点，则PO到平面α的距离
2)直线与平面（或平面与平面）的距离转化为点到平面的距离。
二.空间角度的计算
1. 两条异面直线所成的角：设l1与l2两条异面直线，∥l1 ， ∥l2，则l1与l2所成的角
α=<，>或α=л -<，> （0<α≤）
cos<，>=或 cosα= （0<α≤）
2. 斜线P0P与平面α所成的角θ
3.二面角：设相交平面α与β的法向量分别为，则α与β所成的角的大小为<> 或 （如何确定？）
典例分析：
例1.在棱长为1的正方体中，E、F分别是的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题。
（1）求证：EF⊥B1C；
（2）求EF与C1G所成的角的余弦；
（3）求FH的长。
解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，）
F（）C（0，1，0）B1（1，1，1）C1（0，1，1），G（0，，0）
∵ ∴
则即
（2） ∴
由（1）知
故EF与所成角的余弦值为
（3）∵ H为C1G1的中点 ∴ H（0，），又F（）
∴ 即
例2.如图，在棱长为2的正方体中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系。
（1）写出A、B1、E、D1的坐标；
（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值。
解：（1）A（2，2，0）B1（2，0，2），E（0，1，0），D1（0，2，2）
（2）∵
∴ ，
∴ 与所成的角的余弦值为
例3.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。
（1）证明PA//平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C—PB—D的大小。
解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=。
（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG
依题意得A（），P（0，0，a），E（）
∵ 底面ABCD是正方形 ∴ G是此正方形的中心
故点G的坐标为（）且，
∴ ，这表明PA//EG，而平面EDB且PA平面EDB
∴ PA//平面EDB
（2）证明：依题意得B（），
又，故
∴ PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且，所以PB⊥平面EFD
（3）解：设点F的坐标为（），，则
∴ ，所以，二面角C—PC—D的大小为
巩固练习：
1、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点。
（1）求证：EF//平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若，求EF与平面ABCD所成的角的大小。
2、在正方体中，如图E、F分别是BB1，CD的中点，
（1）求证：平面ADE；
（2）
作业布置：
如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。
2、如图，在直四棱柱中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB//DC。
（1）设E是DC的中点，求证：D1E//平面A1BD；
（2）求二面角的余弦值。
教学反思：
在立体几何的学习中，求各种“空间角”、和空间“距离”的难点在于作出相应的“角”及作出表示“距离”的线段，并给出相应的证明。引入向量的工具，避开了“作”、“证”这个难点，提供了解决求空间角、距离及证明“垂直”、“平行”的通法。进一步强化了“坐标法”、“数形结合”和“转化”等数学思想方法.
3.2立体几何中的向量方法
课前预习学案
预习目标：
向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法
向量作为工具解决立几问题的方法
预习内容：
一.空间距离的计算
1. 空间两点间的距离：设A、B是空间两点，则A、B两点间的距离
2.两条异面直线间的距离：设a、b是两条异面直线，是a、b的公共法向量（即），点A(a,B(b
则异面直线a、b间的距离
即方向上的射影长为异面直线a、b间的距离。
3.点（或线）到平面的距离：
1）设
P是平面α内任一点，则PO到平面α的距离
2)直线与平面（或平面与平面）的距离转化为点到平面的距离。
二.空间角度的计算
1. 两条异面直线所成的角：设l1与l2两条异面直线，∥l1 ， ∥l2，则l1与l2所成的角
α=<，>或α=л -<，> （0<α≤）
cos<，>=或 cosα= （0<α≤）
2. 斜线P0P与平面α所成的角θ
3.二面角：设相交平面α与β的法向量分别为，则α与β所成的角的大小为<> 或 （如何确定？）
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标：
1掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法
1掌握向量作为工具解决立几问题的方法
重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法
学习过程：
例1.在棱长为1的正方体中，E、F分别是的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题。
（1）求证：EF⊥B1C；
（2）求EF与C1G所成的角的余弦；
（3）求FH的长。
例2.如图，在棱长为2的正方体中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系。
（1）写出A、B1、E、D1的坐标；
（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值。
例3.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。
（1）证明PA//平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C—PB—D的大小。
当堂检测：
1、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点。
（1）求证：EF//平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若，求EF与平面ABCD所成的角的大小。
2、在正方体中，如图E、F分别是BB1，CD的中点，
（1）求证：平面ADE；
（2）
课后练习与提高
1、如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。
2、如图，在直四棱柱中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB//DC。
（1）设E是DC的中点，求证：D1E//平面A1BD；
（2）求二面角的余弦值。
课件17张PPT。方向向量、法向量的运用思考练习引入知识要点本课小结研究 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.OPBPBP此方程称为直线的向量参数方程 除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置. 给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的.A平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ⊥ ，如果 ⊥ ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量.几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都互相平行;
3.向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有平行垂直 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？夹角1答案2答案3答案§3.2 立体几何中的向量方法
知识点一 用向量方法判定线面位置关系
(1)设a、b分别是l1、l2的方向向量，判断l1、l2的位置关系：
①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)．
②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．
(2)设u、v分别是平面α、β的法向量，判断α、β的位置关系：
①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，)．
②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)．
(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α的位置关系．
①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)．
②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．
解 (1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，
∴a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
(2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，)，
∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.
②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－v，∴u∥v，∴α∥β.
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，∴l?α或l∥α.
②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，
∴u＝－a，∴u∥a，∴l⊥α.
知识点二 利用向量方法证明平行问题
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1
中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
证明 方法一 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得
M (0,1，)，N (,1,1)，
D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，
于是 =（，0，），?
设平面A1BD的法向量是?
n=（x，y，z）.
n＝(x，y，z)．
则n·＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．
又 ·n＝ (,0，)·(1，－1，－1)＝0，
方法二 ∵? =
∴?∥，又∵MN?平面A1BD.
∴MN∥平面A1BD.
知识点三 利用向量方法证明垂直问题
在正棱锥P—ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
(1)求证：平面GEF⊥平面PBC；
(2)求证：EG是PG与BC的公垂线段．
证明 (1)方法一
如图所示，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
令PA＝PB＝PC＝3，则
A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)．
于是?＝(3,0,0)，＝(3,0,0)，
故 ＝3，∴PA∥FG.
而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC，
又FG?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.
方法二 同方法一，建立空间直角坐标系，则
E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)．
＝(0，－1，－1)，＝(0，－1，－1)，
设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，
则有n⊥，n⊥，
∴令y＝1，得z＝－1，x＝0，即n＝(0,1，－1)．
而显然=（3，0，0）是平面PBC的一个法向量.
这样n· = 0,∴n⊥?
即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，
∴平面EFG⊥平面PBC.
（2）∵? =（1， 1， 1），? =（1，1，0），? =（0， 3，3），?
∴?·=11= 0，?· =33 = 0，?
∴EG⊥PG，EG⊥BC，?
∴EG是PG与BC的公垂线段.
知识点四 利用向量方法求角
四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；
(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值．
解 (1)如图所示，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D—xyz，
∵∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，
∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．
由PD⊥面ABCD得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角．
∴∠PAD＝60°.
在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2．
∴P(0,0,2)．
（2）∵?＝(2,0，－2)， =（2， 3，0）?
∴?cos〈,〉=
∴PA与BC所成角的余弦值为．
正方体ABEF－DCE′F′中，M、N分别为AC、BF的中点(如图所示)，求平面MNA与平面MNB所成二面角的余弦值．
解 取MN的中点G，连结BG，设正方体棱长为1.
方法一 ∵△AMN，△BMN为等腰三角形，
∴AG⊥MN，BG⊥MN.
∴∠AGB为二面角的平面角或其补角．
∵AG=BG=,
，设〈，〉=θ，?
2＝2＋2·＋2，
∴1＝()2＋2××cosθ＋()2.
∴cosθ＝，故所求二面角的余弦值为．
方法二 以B为坐标原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B－xyz
则M(，0， )，N (,,0)，
中点G(，，)，
A(1,0,0)，B(0,0,0)，
由方法一知∠AGB为二面角的平面角或其补角．
∴＝(，－，－)，＝(，－，－)，
∴ cos<, >==,
故所求二面角的余弦值为．
方法三 建立如方法二的坐标系，
∴
即取n1＝(1,1,1)．
同理可求得平面BMN的法向量n2＝(1，－1，－1)．
∴cos〈n1，n2〉＝,
故所求二面角的余弦值为
知识点五 用向量方法求空间的距离
已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
解
如图所示，以C为原点，CB、CD、CG所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系C－xyz.
由题意知C(0,0,0)，A(4,4,0)，
B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，
F(2,4,0)，G(0,0,2)．
＝(0,2,0)，＝(－2,4,0)，
设向量?⊥平面GEF，垂足为M，则M、G、E、F四点共面，?
故存在实数x，y，z，使? = x + y + z，
即? = x（0，2，0）+y（2，4，0）+z（4，0，2）?
=（2y4z，2x+4y，2z）.?
由BM⊥平面GEF，得⊥,⊥，
于是·＝0，·＝0，
即
即，解得
∴＝(－2y－4z,2x＋4y,2z)＝
∴||＝
即点B到平面GEF的距离为．
考题赏析
(安徽高考)
如图所示，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，
OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
(1)求异面直线AB与MD所成角的大小；
(2)求点B到平面OCD的距离．
解 作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立平面直角坐标系．
A(0,0,0)，B(1,0,0)，
P (0，，0)，D (－，，0)，
O(0,0,2)，M(0,0,1)．
(1)设AB与MD所成角为θ，
∵＝(1,0,0)，
＝ (－，，－1)，
∴cos =
．∴θ＝．
∴AB与MD所成角的大小为．
（2）∵? =（0,，），? =（， ，）,?
∴设平面OCD的法向量为n = ( x, y , z ),则?
n·?=0， n· = 0.
得
取z=，解得n = (0,4, ).设点B到平面OCD的距离为d,
则d为在向量n上的投影的绝对值.?
∵? =（1，0， 2），∴d＝,
∴点B到平面OCD的距离为,
1．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( )
A． (，，－) B． (，－，)
C． (－，，) D． (－，－，－)
答案 D
＝(－1,1,0)，是平面OAC的一个法向量．
＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)
∴
令x＝1，则y＝1，z＝1
∴n＝(1,1,1)
单位法向量为：＝± (,，)．
2．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是( )
A．60° B．45°
C．30° D．90°
答案 B
3．设l1的方向向量a＝(1,2，－2)，l2的方向向量b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝( )
A．1 B．2 C． D．3
答案 B
解析 因l1⊥l2，所以a·b＝0，则有1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，
∴2m＝6－2＝4，即m＝2.
4．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确
答案 A
解析 因v＝－3u，∴v∥u.
故α∥β.
5．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 设〈，〉=θ，?·=（+? +·= ||2= 1，?cosθ=,所以θ=60°?
6．若异面直线l1、l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )
A． B．C．－ D．
答案 B
解析 设异面直线l1与l2的夹角为θ，
则cosθ＝
7．已知向量n＝(6,3,4)和直线l垂直，点A(2,0,2)在直线l上，则点P(－4,0,2)到直线l的距离为________．
答案 ，
解析? =（6，0，0），因为点A在直线l上， n与l垂直，所以点P到直线l的距离为
8．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．
答案 或，
解析 设n1＝(1,0，－1)，n2＝(0，－1,1)
则cos〈n1，n2〉＝
〈n1，n2〉＝．因平面α与平面β所成的角与〈n1，n2〉相等或互补，所以α与β所成的角为或．
9．已知四面体顶点A(2,3,1)、B(4,1，－2)、C(6,3,7)和D(－5，－4,8)，则顶点D到平面ABC的距离为________．
答案 11
解析 设平面ABC的一个法向量为n =（x,y,z）
则
令x=1,?
则n = (1,2, ),? =（7，7，7）?
故所求距离为,
10．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于F.
(1)证明：PA∥平面BDE；
(2)证明：PB⊥平面DEF.
证明 (1)如图建立空间直角坐标系，
设DC＝a，AC∩BD＝G，连结EG，则
A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)，E (0，，)，G (，，0)．
于是=（a，0， a），? =（，0，）,?
∴? = 2，∴PA∥EG.?
又EG平面DEB.PA平面DEB.?
∴PA∥平面DEB.
(2)由B(a,a,0),得? =(a, a, a),?
又? =（0, ,）,?
∵?· =
∴PB⊥DE.?
又EF⊥PB，EF∩DE=E，∴PB⊥平面EFD.
?
11．如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
解
如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz.
则? =（1，0，0），? = (0,0,1).?
连结BD,B′D′.?
在平面BB′D′D中,?
延长DP交B′D′于H.?
设? = (m,m,1) (m>0),由已知〈,?〉= 60°?,?
由?·= ||||cos〈,〉,?
可得2m =
解得m =，所以＝(，，1)，
因为cos〈,〉=
所以〈,〉= 45°?,?
即DP与CC′所成的角为45°?.?
(2)平面AA′D′D的一个法向量是= (0,1,0).?
因为cos〈,〉=
所以〈,〉= 60°,?
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°?.
12. 如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.
平面PBD⊥平面PAC，?
(1)求点A到平面PBD的距离;?
(2)求异面直线AB与PC的距离.?
(1)解 以AC、BD的交点为坐标原点，以AC、BD所在直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（3，0，0），B（0，1，0），C（，0，0），D（0， 1，0），?P（3，0，2）.??
设平面PBD的一个法向量为n1=（1，y1，z1）.?
由n1⊥， n1⊥，可得n1=（1，0，）.?
（1）=（，0，0），点A到平面PBD的距离,?
,
13.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC = 2a，BB1 = 3a，D为A1C1的中点，在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出||；若不存在，请说明理由.?
解 以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.?
假设存在点F，使CF⊥平面B1DF，?
并设? =λ=λ（0，0，3a）=（0，0，3λa）（0<λ<1），?
∵D为A1C1的中点，?
∴D(，,3a)
＝ (，,3a)－(0,0,3a)＝ (,， 0)，
=
∵CF⊥平面B1DF，
∴CF⊥, ⊥,
即
解得λ＝或λ＝
∴存在点F使CF⊥面B1DF，且
当λ=时，||=,|| = a?
当λ=，|| =,|| = 2a.
14．如图(1)所示，已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为?eq r(3)?的等腰梯形．将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图(2)．
(1)证明：AC⊥BO1；
(2)求二面角O—AC—O1的余弦值．
(1)证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB.
故以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则相关各点的坐标是A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,1, )、O1(0,0, )．
·＝－3＋·＝0.
所以AC⊥BO1.
（2）解 因为·=+ ·＝0.
所以BO1⊥OC.由（1）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC,?
?是平面OAC的一个法向量.?
设n=（x，y，z）是平面O1AC的一个法向量，
由
取z= ，?
得n=（1，0，）.?
设二面角O-AC-O1的大小为θ，由n 、的方向可知θ=〈n,〉，
所以cosθ= cos〈n ，〉=
即二面角O—AC—O1的余弦值是.
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[学业达标]
一、选择题
1．l1的方向向量为v1＝(1，2，3)，l2的方向向量v2＝(λ，4，6)，若l1∥l2，则λ＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 ∵l1∥l2，∴v1∥v2，则＝，∴λ＝2.
【答案】 B
2．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．在平面内 D．平行或在平面内
【解析】 ∵＝λ＋μ，∴，，共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．
【答案】 D
3．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1，1) B.
C. D.
【解析】 对于B，＝，
则n·＝(3，1，2)·＝0，
∴n⊥，则点P在平面α内．
【答案】 B
4．已知直线l的方向向量是a＝(3，2，1)，平面α的法向量是u＝(－1，2，－1)，则l与α的位置关系是( )
A．l⊥α B．l∥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l?α
【解析】 因为a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u.所以l∥α或l?α.
【答案】 D
5．若u＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A．(0，－3，1) B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)
【解析】 同一个平面的法向量平行，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．若平面α，β的法向量分别为(－1，2，4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．
【解析】 因为α⊥β，那么它们的法向量也互相垂直，则有－x－2－8＝0，所以x＝－10.
【答案】 －10
7．若a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，且a与b为共线向量，则x＝________，y＝________．
【解析】 由题意得＝＝，∴x＝，y＝－.
【答案】 －
8．已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________．
【解析】 ＝(－2，2，－2)，＝(－1，6，－8)，
＝(x－4，－2，0)，由题意知A，B，C，P四点共面，
∴＝λ＋μ＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．
∴∴
而x－4＝－2λ－μ，∴x＝11.
【答案】 11
三、解答题
9.已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点(如图3-2-6所示)，并且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m.求证：
图3-2-6
(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；
(2)∥；
(3)＝k.
【解】 (1)由＝＋m，＝＋m，知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面．
(2)∵＝＋m＝－＋m(－)
＝k(－)＋km(－)＝k＋km
＝k(＋m)＝k，
∴∥.
(3)由(2)知＝－＝k－k
＝k(－)＝k.
∴＝k.
10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量．
【证明】 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，E，D1(0，0，1)，F，A1(1，0，1)，＝，
＝，＝(－1，0，0)．
∵·＝·
＝－＝0，
又·＝0，
∴⊥，⊥.
又A1D1∩D1F＝D1，
∴AE⊥平面A1D1F，
∴是平面A1D1F的法向量．
[能力提升]
1．已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )
A．(4，2，－2) B．(2，0，4)
C．(2，－1，－5) D．(4，－2，2)
【解析】 ∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2，2)＝2(2，－1，1)，解得应选D.
【答案】 D
2．已知直线l过点P(1，0，－1)，平行于向量a＝(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量不可能是( )
A．(1，－4，2) B.
C. D．(0，－1，1)
【解析】 因为＝(0，2，4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.
【答案】 D
3．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________．
【解析】 因为＝，
＝，
又因为a·＝0，a·＝0，
所以
解得
所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
【答案】 2∶3∶(－4)
4.如图3-2-7，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由.
图3-2-7
【解】 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0), 设E(0，y，z)，则
＝(0，y，z－1)，
＝(0，2，－1)，
∵∥，∴y(－1)－2(z－1)＝0， ①
∵＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，
＝(－1，y－1，z)，
∴由CE∥平面PAB, 可得⊥，
∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0，
∴y＝1，代入①式得z＝.∴E是PD的中点，
即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.
