高中数学必修一教案 第1章集合与函数第3课时 交集、并集

第3课时 交集、并集
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．
(2)能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
2．过程与方法
学生通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算．
3．情感、态度与价值观
(1)进一步树立数形结合的思想．
(2)进一步体会类比的作用．
(3)感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确．
●重点、难点
重点：交集与并集的概念．
难点：理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系．
●教学建议
1．关于交集与并集概念的教学
建议教师一方面可通过Venn图画两集合所表示的两条封闭曲线“相离”、“相交”、“内含”、“相重合”等情形，全面揭示两集合的交集或并集的所有情形；另一方面，在交集、并集概念的教学中，对“且”和“或”这两个联结词必须使学生明确其涵义，学会正确使用，使学生对交集、并集的定义有一个准确的认识．
2．关于集合运算时的常用技巧的教学
建议教师通过教学引导学生进行集合运算时一般先化简再运算．当给出的集合形式较为复杂时，注意先化简，化简时注意保证化简前后集合的等价性．另外须注意对于含有参数的方程问题，一般需对参数进行讨论．要特别注意检验集合的元素是否满足“三性”，还要提防“空集”这一隐形陷阱．
课标解读
1.理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系(重点)．
2．掌握求两个简单集合的交集与并集的方法(重点)．
3．会借助Venn图理解集合的交并运算，培养数形结合的思想(难点).
知识一
交集与交集的性质
【问题导思】　
已知集合A＝{－1,1,2,3}，B＝{0，－1,1}，C＝{－1,1}．
1．集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？【提示】　有　{－1,1}．
2．集合C中的元素与集合A、B有何关系？【提示】集合C中的元素属于A且属于B.
【知识归纳】1．交集
(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(3)Venn图
　　　　　 ①　　　　 　　②　　　 　③
2．交集的性质
(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩BA；(3)A∩BB；(4)A∩A＝A；(5)A∩＝.
知识二
并集与并集的性质
【问题导思】　
已知集合A＝{－1,2,6}，B＝{－2，－1,4,6}，C＝{－1，－2,2,4,6}．
1．集合A与B中的公共元素是什么？【提示】　－1,6.
2．集合C中的元素与集合A、B有什么关系？【提示】　C中的元素属于集合A或属于集合B.
【知识归纳】1．并集
(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B
的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
(3)Venn图
　　　　 ①　　　　　 　②　　　 　③
2．并集的性质
(1)A∪B＝B∪A；(2)AA∪B；(3)BA∪B；(4)A∪A＝A；(5)A∪＝A.
知识三
区间
设a，b∈R，且a[a，b]＝{x|a≤x≤b}，(a，b)＝{x|a(a，＋∞)＝{x|x>a}， (－∞，b)＝{x|x[a，b]，(a，b)分别叫做闭区间、开区间； [a，b)，(a，b]叫做半开半闭区间；
a，b叫做相应区间的端点.
考点1
集合的交集运算
【例1】(1)已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|－1(2)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.
【思路探究】　(1)利用数轴求集合A、B的公共元素，(2)利用定义或Venn图求集合A、B的公共元素．
【规律方法】
求两个集合的交集就是找出这两个集合的公共元素：
(1)对于用描述法表示的实数组成的数集一般利用数轴分析求解；
(2)对于用列举法表示的实数组成的数集一般利用定义或Venn图法求解．
【变式训练】
若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，则集合A∩B等于________．
考点2
集合的并集运算
【例2】设A＝{x|2x2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝{}，求A∪B.
【思路探究】　利用交集的定义，可以得到两个含有p，q的方程，并解出它们，可以进一步求出集合A，B，在求并集时，必须注意并集中元素应该满足互异性。
【规律方法】
1．解答本题关键是确定出集合A，B中的元素．
2．求集合的并集时，若集合是用列举法给出的，可直接利用并集的定义求解，需特别注意相同元素只能按一个书写；若集合是用描述法表示的无限集，求解时可借助数轴完成，需特别注意界点的虚实．
【变式训练】
设集合A＝{|a＋1|,3,5}，集合B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}，当A∩B＝{2,3}时，求A∪B.
考点3
交集、并集的性质及应用
【例3】集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|2x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
【思路探究】　→→→
【规律方法】
在集合与集合的关系中，若集合B为双元素集合，且AB，则可对集合A按元素的个数分类，即A为空集，A为单元素集合，
A为双元素集合；若集合B为三元素集合，则可依此类推．这样才能标准统一，不重不漏． 【变式训练】
设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．
(1)若A∩B＝B，求a的取值范围； (2)若A∪B＝B，求a的值．
考点4
已知集合的交集、并集求参数范围
【例4】已知集合A＝{x|2【思路探究】　先借助于数轴的直观性进行分析，然后列出参数a的方程或不等式，进而求相应a的取值范围．
【规律方法】
1．若A∩B＝，则A、B可能的情况为：(1)A、B非空但无公共元素；(2)A、B均为空集；(3)A与B中只有一个是空集．
2．依据数形结合的数学思想，利用数轴分析法是解决有关交集、并集问题，特别是一些字母范围问题的常用方法．
【互动探究】
将本题条件“A∩B＝”改为“A∩B＝{x|3错误理解交、并集的概念致误
【例5】设A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求x，y的值．
【错解】　令7＝x2－x＋1，解得x＝－2，或x＝3， 令2y＝7，解得y＝，
令2y＝－1，解得y＝－，而由x＋4＝7得x＝3， 由x＋4＝－1得x＝－5.
综上可知x＝－2，或x＝3，或x＝－5，y＝，或y＝－.
【错因分析】　没有正确理解A∩B＝C，即集合A，B中有且仅有－1,7这两个公共元素，在求出x，y的值后应进行检验．
【防范措施】　正确理解集合中交、并集的概念，若给出集合与集合的交集或并集，求解过程中应注意检验．
【正解】　∵A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，
又∵A∩B＝C，∴7∈A,7∈B，－1∈B. 当7∈A时，有x2－x＋1＝7，
解得x＝－2，或x＝3. 下面检验x＝－2与x＝3的合理性：
若x＝－2，则在B中，x＋4＝－2＋4＝2，则2∈B. ∵2∈A，∴2∈A∩B＝C＝{－1,7}，这是矛盾的， ∴x≠－2，
当x＝3时，在B中，x＋4＝7，符合题意， ∴2y＝－1，解得y＝－. 综上可得x＝3，y＝－.
本节的重点是交集与并集的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键词“且”、“或”，理解它们并不困难．
(1)A与B的交集是由A与B所有的公共元素组成的集合．当两个集合A与B无公共元素时，A∩B＝?.
(2)A与B的并集是由A的所有元素和B的所有元素组成的集合，当两个集合有公共元素时，公共元素在A∪B中只能出现一次．
(3)利用数形结合，将满足条件的集合用Venn图或数轴一一表示出来，从而求出集合的交集、并集．这是既简单直观且最基本、最常见的方法，要注意灵活运用.
1．集合{x|22．已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B＝________.
3．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．
4．已知A＝{x|x<3}，B＝{x|x(1)若A∩B＝B，求a的取值范围； (2)若A∪B＝B，求a的取值范围．
教学反思：