高中数学必修一教案 第1章集合与函数第5课时　函数的概念

第5课时　函数的概念
●三维目标
1．知识与技能
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．
2．过程与方法
(1)通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
(2)了解构成函数的要素；
(3)会求一些简单函数的定义域和值域；
(4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；
3．情感、态度与价值观
使学生感受到学习函数的必要性与重要性，激发学习的积极性．
●重点、难点
重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；
难点：符号“y＝f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示．
●教学建议
1．用集合和对应的观点来理解函数
建议教师在学生学过的初中函数概念的基础上，利用对不同实例的探究，通过学生积极参与问题讨论并结合对应的观点，引导学生从集合的角度总结函数的概念．
2．对函数符号y＝f(x)的理解
建议教师通过丰富的实例，将问题中两个变量存在的依赖关系抽象为一种对应关系，然后用集合的语言进行刻画，从而得到函数更为确切的定义．
课标解读
1.在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有
关概念解题(重点、难点)．
2．会求几种简单函数的定义域、值域(重点).
知识一
函数的概念
【问题导思】　
汽车匀速行驶在高速公路上，行驶速度为v，行驶路程为s，行驶时间为t.
1．上述三个量中，哪个是常量？哪个是变量？ 【提示】　v是常量，s、t是变量．
2．三者之间有何关系？ 【提示】　s＝vt，s随时间t而变化．
3．s，t有何限制？ 【提示】　t≥0，s≥0.
4．t给定，s是否确定？ 【提示】　确定并且唯一．
1．函数的定义
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为：y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.
2．函数值域
若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.
考点一
函数的概念
　
【例1】判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．
(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±；
(2)A＝R，B＝N*，对于任意的x∈A，x→|x－2|；
(3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.
【规律方法】
1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
【变式训练】
下列从集合A到集合B的对应关系中，不能构成从A到B的函数的是________．(只填序号)
①集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝x2； ②集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{y|4≤y≤7}，f：x→y＝3x－2；
③集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤3}，f：x→y＝－x＋4； ④集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝4－x2；
⑤集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对任意(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.
考点二
函数的定义域
【例2】求下列函数的定义域．
(1)y＝＋； (2)y＝＋； (3)y＝.
【规律方法】
1．求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件．
2．函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．
3．定义域的求法
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；
(3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合；
(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．
【变式训练】
求下列函数的定义域：
(1)y＝·； (2)y＝.
考点三
求函数值
【例3】　若f(x)＝(x≠－1)，求f(0)，f(1)，f(1－x)，f(f(x))．
【规律方法】
1．求函数值时，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即可．
2．求f(f(x))时，一般要遵循由里到外的原则．
【变式训练】
已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，求：
(1)f(2)，g(2)的值； (2)f(g(2))的值．
考点四
求函数值域
【例4】　 求下列函数的值域．
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝＋1；
(3)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5]．
【规律方法】
常用的求值域的几种类型：
(1)用表格形式给出的函数，其值域是表格中实数y的值构成的集合；
(2)用图象形式给出的函数，其值域是图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；
(3)用解析式给出的函数：用相应方法 (如观察法、配方法，换元法等)，由解析式与定义域去确定；
(4)实际问题给出的函数：由实际问题的意义确定．
【互动探究】
在(3)中，如果x的范围改为x∈[4,5]，结果又如何？
函数的概念理解不清致误
【例5】判断下列各组函数是否表示同一函数．
(1)y＝与y＝x＋1； (2)y＝－1与y＝x－1.
函数的概念既是本节课的重点也是本节课的难点，准确理解函数的概念，应明确以下几点：
定义域、对应法则和值域是函数的三要素，实际上，值域是由定义域和对应法则决
定的，所以看两个函数是否相同，只要看这两个函数的定义域与对应法则是否相同．
y＝f(x)中f为对应法则，当情况比较简单时，对应关系f可用一个解析式来表示．但
在不少问题中，对应关系f也可能不便用或不能用一个解析式来表示，这时就必须采用其他方式，如数表或图象等．
(3)函数定义域是使函数有意义的自变量的范围，实际问题要结合自变量的实际意义求解．
(4)函数值域是函数值的集合，目前求函数值域仅限于在定义域下求二次函数、一次函数、反比例函数的值域.
【当堂双基达标】
1．有以下4个对应法则：
①A＝R，B＝R，f：x→y＝－；
②A＝Z，B＝Z，f：x→y＝3x；
③A＝R，B＝R，f：x→y＝x2＋3x－4；
④A＝R，B＝R，f：x→y2＝x.
其中不能构成从集合A到集合B的函数关系的是________．(填序号)
2．函数y＝的定义域是________．
3．函数g(x)＝3x＋1，x∈{0,1,2,3, 4}的值域为________．
4．求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝·； (2)f(x)＝.
【知识扩展】
复合函数的概念和定义域
1．复合函数的概念
如果函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C?A时，称函数y＝f(g(x))为f与g在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t＝g(x)叫做内函数，y＝f(t)叫做外函数．
2．复合函数的定义域
复合函数的定义域是由外函数的定义域、内函数的值域以及内函数的定义域共同确定的．对于复合函数f(g(x))：
(1)如果函数f(x)的定义域为A，则f(g(x))的定义域是使函数g(x)∈A的x的取值范围；
(2)如果f(g(x))的定义域为A，那么函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域．
【教学反思】