高中数学必修一教案 第1章集合与函数第8课时　函数的单调性

第8课时　函数的单调性
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征．
(2)能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明．
2．过程与方法
由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识．利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念．
3．情感、态度与价值观
在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美．
●重点、难点
重点：理解增函数、减函数的概念； 难点：单调性概念的形成与应用．
●教学建议
关于函数单调性的教学
1．建议教师从学生较熟悉的一次函数及二次函数图象出发，先利用图象从感性认识上了解函数值随变量的变化情形，在此基础上用自然语言给出函数单调性的定义，实现一种由特殊到一般，由感性认识上升到理性认识的一个感知过程．
2．建议教师在讲解函数单调性这一概念时，注意把握概念中要求的几个字眼：“任意性”“都有”“在区间Ⅰ上”，且最好在讲完概念后，让学生自己举几个单调性的例子，并指明单调区间，真正理解该概念．
课标解读
1.理解并掌握单调增(减)函数的定义及其几何意义(重点)．
2．会用单调性的定义证明函数的单调性(重点、难点)．
3．会求函数的单调区间(重点、难点).
知识一
单调增函数与单调减函数的定义
【问题导思】　
观察下列函数图象：
甲　　　　　　乙　　　　　　　丙
从图象上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？
【提示】　甲图中，函数f(x)的值随x增大而增大．
乙图中，函数f(x)的值随x增大而减小． 丙图中，在y轴左侧函数f(x)的值随x的增大而减小；在y轴右侧，函数f(x)的值随x的增大而增大．
2．甲、乙两图中，若x1【提示】　甲图中，若x1f(x2)．
3．丙图中，若x1【知识归纳】1．定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A.
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的单调减区间．
2．函数单调性与单调区间：如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间.
考点1
利用函数图象求函数的单调区间
【例1】　画出下列函数的图象，并写出单调区间：
(1)y＝－x2＋2； (2)y＝； (3)f(x)＝
【思路探究】　利用描点法画图→依据图象的“升降”写出单调区间．
【规律方法】
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性
a<0
在(－∞，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减
a>0
在(－∞，－)上单调递减，在(－，＋∞)上单调递增
2.当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开，如(－1，2)，(3，＋∞)等等．
【互动探究】
把(1)变成y＝|－x2＋2|，先画出其图象，再指明其单调区间．
考点2
函数单调性的判断或证明
【例2】证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上是单调减函数．
【思路探究】　解答本题可直接按照函数单调性的定义证明．
【规律方法】
用定义证明(判断)函数单调性的步骤：
【变式训练】
(证明函数f(x)＝在区间(－3，＋∞)上是减函数．
考点3
函数单调性的应用
【例3】若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，求a的取值范围．
【思路探究】　解答本题可结合二次函数、反比例函数的单调性求解．
【规律方法】
由函数的单调性求参数的取值范围方法：
(1)单调性定义法：设单调区间内x10)恒成立求参数范围．
(2)利用具体函数本身所具有的特征：如二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数．
【变式训练】
若二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋2在区间(，1)上具有单调性，求a的取值范围．
【解】　∵函数f(x)在区间 (，1)上具有单调性，∴≤或≥1，解得a≤2或a≥3. ∴a的取值范围是(－∞，2]∪[3，＋∞)．
忽略函数的定义域致误
【例4】已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)【错解】　∵f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，
且f(x－2)又－1≤x≤1， 故所求x的取值范围为(－∞，)∩[－1,1]＝[－1,1]．
【错因分析】　出现上述错误解法的原因主要为不清楚抽象函数的单调区间，也就是说变量x首先应满足－1≤x－2≤1，－1≤1－x≤1，在此基础上利用单调性的定义将“f”符号脱掉．
【防范措施】　(1)在抽象函数中，满足函数关系式的自变量首先应在函数的同一单调区间内；
(2)对于x1【正解】　∵f(x)在[－1,1]上为增函数，且f(x－2)∴，解得1≤x<. ∴x的取值范围是1≤x<.
1．用定义法证明单调性时，关键是第二步“作差变形”，遇到分母通分，出现根式要分母有理化或分子有理化，是常见的变形手段．2．求单调区间可根据图象或利用定义法来求．
3．与二次函数有关的单调性问题，就是考虑对称轴满足的条件．4．一个函数在两个不同区间D1与D2上分别都是单调函数，但在D1∪D2上却不一定是单调函数．
【当堂双基达标】
1．函数y＝f(x)的图象如图2－2－1所示，试写出函数y＝f(x)的单调递增区间是________．
2．设函数f(x)＝(2k－1)x－4在(－∞，＋∞)是单调递减函数，则k的取值范围是________．
3．函数y＝－在(0，＋∞)上是单调减函数，则y＝－2x2＋ax在(0，＋∞)上是________(填“增函数”或“减函数”)．
4．利用定义判断y＝的单调性，并指出单调区间．
【知识扩展】复合函数的单调性的判断
一般地，对于复合函数y＝f(g(x))，如果t＝g(x)在(a，b)上单调递增(减)，并且y＝f(t)在(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，那么y＝f(g(x))在(a，b)上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”．
t＝g(x)
y＝f(t)
y＝f(g(x))
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
【教学反思】