高中数学必修一教案 第1章集合与函数第9课时　函数的最大值、最小值

第9课时　函数的最大值、最小值
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．
(2)理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数．体会求函数最值是函数单调性的应用之一．
2．过程与方法
借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念．培养应用函数的单调性求解函数最值问题．
3．情感、态度与价值观
在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐．
●重点、难点
教学重点：函数的最大(小)值及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大(小)值．
●教学建议
1．关于函数的最大值的教学
建议教师在给出最大值定义后应注意以下两点：
(1)对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)成立，“任意”是说对给定区间的每一个值都必须满足不等式．
(2)最大值f(x0)必须是一个函数值，它是值域中的一个元素．例如函数f(x)＝－x2对于任意的x∈R都有f(x)≤1，但f(x)的最大值不是1，因为1不属于f(x)的值域．
2．函数最值与单调性的区别与联系
建议教师在讲述本节内容时要将单调性与最值紧密结合起来，要注意它们的联系与区别，特别要提醒学生注意，函数单调性是针对函数定义域上的某个区间而言的，而最值则是整个定义域上的性质．
课标解读
1.理解函数的最大(小)值的定义及其几何意义(重点)．
2．会求一些简单函数的最大值或最小值(重点、难点).
知识一
函数的最大值、最小值
【问题导思】　
已知函数f(x)＝2x，x∈[1,3]．
1．该函数图象是什么图形？ 【提示】　一条线段．
2．其端点值是多少？ 【提示】　f(3)＝6，f(1)＝2.
3．f(x)与端点值大小如何？ 【提示】　f(1)≤f(x)≤f(3)．
1．函数的最大值
一般地，设y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)．
函数的最小值
一般地，设y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为：ymin＝f(x0).
考点1
利用图象求函数最值
【例1】求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值．
【思路探究】　→→
【规律方法】
1．对于形如y＝|x＋a|＋|x＋b|型的函数最值求法，常先把函数利用“零点分段法”化成分段函数，然后画出函数图象，结合图象求其最值．
2．图象法求最值的一般步骤：
【互动探究】
若将函数解析式改为y＝|x＋1|＋|x－2|如何求解？
考点2
利用单调性求函数最值
【例2】求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值．
【思路探究】　先用定义研究函数在区间上的单调性，再求最值．
【规律方法】
1．当函数的图象不知或不易作出时，常利用单调性求其最值．
2．函数的最值与单调性的关系：
若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
【变式训练】
求函数f(x)＝x－在[1,3]上的最大值与最小值．
考点3
函数最值的应用
【例3】已知函数f(x)＝，若对于任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
【规律方法】
不等式在某区间上的恒成立问题常转化为先求某熟知函数在该区间上的最值，再利用函数的最值构建不等式求解．有时需对所给不等式进行适当的变形，能够大大地简化运算．
【变式训练】
若－x2＋4x－a<0恒成立，求实数a的取值范围．
分类讨论思想在二次函数最值问题中的应用
【例4】(12分)求函数f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
【思路点拨】　当f(x)的对称轴相对于区间[0,2]的位置不同时，f(x)在[0,2]上的单调性不同，最值也会不同．因此需根据对称轴x＝a相对于区间[0,2]的位置进行分类讨论．
【思维启迪】
1．本题以对称轴x＝a是否落在区间[0,2]内进行分类讨论，从而做到不重不漏；另在求解过程中注重了数形结合的思想方法．
2．对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上的最值可作如下结论：
1．函数最值的定义强调两个方面：一是任意性，即对任意x∈I，都有f(x)≤M(或(f(x)≥M)．二是存在性，即存在x0∈I使得f(x0)＝M.
2．函数最值的求法：
(1)利用图象求最值，关键是找到图象的最高点与最低点．
(2)利用单调性求最值，首先利用定义证明函数在某个区间上的单调性，然后求最值．
(3)二次函数求最值，注意数形结合，从二次函数图象的开口方向，对称轴与区间的关系入手，若对称轴与区间的关系不定，应分类讨论．
【当堂双基达标】
1．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图2－2－3所示，则此函数的最小值、最大值分别是________．
2．函数f(x)＝x2＋3x＋a在区间(－3, 3)上的最小值为________．
3．函数y＝(a－1)x在[1,3]上的最大值是2，则a＝________。
4．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)，若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值．
【知识扩展】抽象函数问题
已知函数f(x)对任意的x、y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，
f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值、最小值．
【思路探究】　本题是考查用定义法证明函数的单调性以及利用单调性求最值．抽象函数要紧扣定义，并注意特殊值的应用．
【自主解答】　(1)设x1>x2，则x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0.
f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)，即f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)<0，∴f(x1)即函数f(x)在R上是减函数．
(2)令x＝y＝0，代入f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，得f(0)＝0.
令x＋y＝0，即x＝－y.∴f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．
由(1)知f(x)在[－3,3]上是减函数，
∴ymin＝f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×(－)＝－2，ymax＝f(－3)＝－f(3)＝2.
即函数f(x)在[－3,3]上的最大值是2，最小值是－2.
【规律方法】
1．本例是探求抽象函数的性质并利用性质解答有关问题的常见题型．解决此类问题常常采取赋值法，如何给变量赋值要根据条件与结论的联系，有时要进行多次尝试．本例在求证函数单调性时，首先要在所证区间上设出x1，x2(x12．利用函数的单调性是求函数最值的常用方法．
【变式训练】
(1)用定义法证明函数f(x)＝x＋在x∈[2，＋∞)上是增函数；
(2)求g(x)＝2x＋在[4,8]上的值域．
【教学反思】