高中数学必修一教案 第1章集合与函数第10课时　函数的奇偶性

第10课时　函数的奇偶性
●三维目标
1．知识与技能
使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性．
2．过程与方法
通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．
3．情感、态度与价值观
通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．培养学生善于探索的思维品质．
●重点、难点
教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：函数奇偶性的判断．
●教学建议
1．关于奇函数与偶函数的概念的教学
建议教师在引出概念时，先要复习轴对称与中心对称图形，挖掘出两个引例图象中的对称点坐标之间的关系，再得出定义．另外，还要着重强调概念中的“任意”二字，因为所取x为定义域中的任意数，又－x也在其定义域内，所以奇、偶函数的定义域关于坐标原点对称，这是判断函数是奇函数或偶函数的前提条件．
建议教师在讲完定义后，再让学生列举一些奇函数与偶函数的例子，以达到进一步巩固概念的目的．
2．关于奇函数与偶函数图象的对称性的教学
建议教师在讲解这一知识点时，只要让学生观察图象得出结论即可，不必证明．否
则将增加教学上的难度．有兴趣且有余力的同学可以利用平面几何中有关对称点坐标间的知识进行推证．
关于函数奇偶性与单调性综合问题的教学，建议教师先用奇偶性将问题转化为比较
两个函数值的大小，再利用单调性转化为比较自变量大小的问题，使抽象不等式转化为具体不等式求解．

课标解读
1.了解函数奇偶性的定义及奇偶函数的图象特征．
2．会判断函数的奇偶性(重点)．
3．掌握函数奇偶性的运用(难点).
知识一
函数奇偶性的概念
【问题导思】　
1．对于函数f(x)＝x2，f(x)＝|x|，以－x代替x.函数值发生变化吗？其图象有何特征？
【提示】　以－x代x各自的函数值不变，即f(－x)＝f(x)；图象关于y轴对称．
2．对于函数f(x)＝x3，f(x)＝，以－x代替x，函数值发生变化吗？其图象有何特征？
【提示】　以－x代替x各自的函数值互为相反数，即f(－x)＝－f(x)；图象关于原点对称．
【知识归纳】1．偶函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．
2．奇函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．
3．奇偶性
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．
奇、偶函数的图象性质：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.
考点1
函数奇偶性的判定
【例1】判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝x2＋.
【思路探究】　首先判断函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的情况下，判断f(x)与f(－x)之间的关系．
【规律方法】
1．判断函数的奇偶性要遵循定义域优先的原则，如果定义域不关于原点对称，则该函数必为非奇非偶函数．
2．用定义判断函数奇偶性的步骤：
【变式训练】
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x－； (2)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|； (3)f(x)＝
考点2
奇偶函数的图象及应用
【例2】　已知函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上的图象如图2－2－4所示，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．
图2－2－4
【思路探究】　先证明f(x)是偶函数，依据其图象关于y轴对称作图．
【规律方法】
1．利用函数的奇偶性作用，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称，画图象时，一般先找出一些关键点的对称点，然后连点成线．
2．由于奇函数、偶函数图象的对称性，我们可以由此得到作函数图象的简便方法，如作出函数y＝|x|的图象．因为该函数为偶函数，故只需作出x≥0时的图象，对x≤0时的图象，关于y轴对称即可．
【变式训练】
设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图2－2－5所示，则不等式f(x)<0的解集是________．
图2－2－5
考点3
利用函数的奇偶性求解析式
【例3】已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．
【思路探究】　利用奇函数的定义可求f(0)的值，求x<0时的解析式，可利用奇函数的性质转化到x>0上求解．
【规律方法】
1．本题在求x<0时，f(x)的解析式，用了化归的思想，即把待求x<0的范围向已知范围x>0转化．
2．如果奇函数f(x)在原点处有定义，则f(0)＝0.
【互动探究】
把题设条件“f(x)是R上的奇函数”换成“f(x)是{x|x≠0}上的偶函数”，求相应问题．
不理解单调性与奇偶性的关系致误
【例4】已知f(x)是R上的偶函数，在区间(0，＋∞)上是增函数，若有f(－2a＋3)>f(2a－1)成立，求实数a的取值范围．
【错解】　由f(－2a＋3)>f(2a－1)成立，得－2a＋3>2a－1， 解得a<1. 所以实数a的取值范围为(－∞，1)．
【错因分析】　错解中虽然结论正确，但过程错误，题中忽略了函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数这一条件，由于无法确定－2a＋3与2a－1的正负，因此需要根据函数的奇偶性，结合单调性的特征，以及函数图象自身的性质对变量加以判断，从而正确地求出参数的取值范围．
【防范措施】　奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，在利用f(x1)与f(x2)的大小关系推出x1与x2的关系时，必须要注意x1与x2是否属于同一个单调区间，若不属于同一个单调区间，需要利用奇偶性进行必要的转化，我们在解题中一定不要忽略这一点．
【正解】　由于f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上是增函数，那么其图象关于y轴对称，且在区间(－∞，0)上是减函数．
由于f(－2a＋3)>f(2a－1)成立，根据其图象性质可知|－2a＋3|>|2a－1|.
两边平方得(－2a＋3)2<(2a－1)2，整理得：8>8a，解a<1，
所以实数a的取值范围为(－∞，1)．
1．利用奇偶函数图象的对称性，我们可以作出函数的大致图象，然后观察图象得出结论．
2．已知奇偶函数在某个区间上的解析式，我们利用对称性可求出这个区间的对称区间上的解析式．要注意“求谁设谁”．
3．解含“f”的不等式，应具备两个方面：一是能转化为f(x1)f(x2)的形式，二是f(x)的单调性已知．特别是f(x)为偶函数时，应把不等式f(x1)【当堂双基达标】
1．函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________.
2．函数f(x)＝的奇偶性为________．
3．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝1，则f(－2)的值为________．
4．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式； (2)画出函数f(x)的图象．
【知识扩展】抽象函数问题
函数f(x)，x∈R，若对于任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．求证：f(x)为奇函数．
【思路点拨】　本题考查抽象函数奇偶性的判断．因为对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，所以可以令a，b为某些特殊值，得出f(－x)＝－f(x)．
【规律方法】
对抽象函数奇偶性的判定，若无具体的解析式，则需要利用给定的函数方程关系式，对变量a，b赋值，使其变为含有f(x)，f(－x)的式子，再加以判定．
【变式训练】已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的x，y∈R，有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)．
(1)求f(0)，f(1)的值； (2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论．
【教学反思】