高中数学必修一教案 第1章集合与函数第11课时 映射的概念

第11课时 映射的概念
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解映射的概念及表示方法； (2)结合简单的对应图表，理解——映射的概念．
2．过程与方法
(1)函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；
(2)通过实例进一步理解映射的概念；
(3)会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射．
3．情感、态度与价值
映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．
●重点、难点
重点：映射的概念． 难点：映射的概念．
●教学建议
1．关于映射概念的教学
建议教师适当引导学生多举一些实际例子，从中体会其中的对应关系，深刻理解映射的概念．
2．关于函数与映射关系的教学
建议教师引导学生在理解概念的基础上，逐步体会理解映射是一种特殊的一对一或多
对一的对应，而函数则是建立在两个非空数集之间的映射．
课标解读
1.了解映射的概念及表示方法(重点)．
2．会判断一个对应是否为映射(难点).
知识一
映射的概念
【问题导思】　
若集合A＝{0，－3，－2,1,2,3}，集合B＝{0,1,4,5,9}．
1．对于A中每一个数平方，在集合B中都有数与之对应吗？ 【提示】　有
2．问题1中提到的对应是唯一的吗？ 【提示】　是唯一的．
【知识归纳】映射：一般地，设A，B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射．记作：f：A→B.
考点1
映射的判定
【例1】　在下列对应关系中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？
(1)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，对应法则f：“加1”；
(2)A＝(0，＋∞)，B＝R，对应法则f：“求平方根”；
(3)A＝N，B＝N，对应法则f：“3倍”；
(4)A＝R，B＝R，对应法则f：“求绝对值”；
(5)A＝R，B＝R，对应法则f：“求平方的倒数”．
【思路探究】　→→
【规律方法】
1．判断f：A→B是否是A到B的映射，须注意两点：
(1)明确集合A、B中的元素；
(2)判断A中的每个元素是否在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．
2．即映射须满足：A中元素不剩且一对一或多对一．
【变式训练】
下面各图表示的对应构成映射的有________．
考点2
确定映射中的对应元素
【例2】　已知映射A→B的对应法则f：x→2x＋1，则B中元素3在A中的与之对应的元素是________．
【思路探究】　→→
【规律方法】
　求对应元素的一般思路是：若已知A中的元素a，求B中与之对应的元素b，这时只要将元素a代入对应法则f求解即可；若已知B中的元素b，求A中与之对应的元素a，这时需构造方程(组)进行求解即可，这时需注意解得的结果可能有多个．
【变式训练】
把题设中“f：x→2x＋1”换成“f：(x，y)→(x＋y，xy)”则A中元素(3,2)在B中与之对应的元素是________．
考点3
映射的个数问题
【例3】设M＝{a，b，c}，N＝{－2,0,2}，
(1)求从M到N的映射个数；
(2)从M到N的映射满足f(a)>f(b)≥f(c)，试确定这样的映射f的个数．
【思路探究】　(1)依据映射的定义分别从a，b，c三个元素入手分析对应元素的情况，求得M到N的映射个数．
(2)以f(c)＝－2或0为依据列表分析f(a)，f(b)的情形，求得映射f的个数．
【规律方法】
1．设集合M中有m个元素，集合N中有n个元素，则从M到N共可建立nm个不同映射；从N到M共可建立mn个不同映射．
2．对于有限定条件的映射个数问题，常采用列举法求解．
【变式训练】
集合M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，由M到N的映射f满足条件f(a)＋f(b)＝f(c)，求这样的映射有几个．（7个）
理解不清映射的概念致误
【例4】下列集合A到集合B的对应中，哪些是A到B的映射？
(1)A＝N，B＝Z，f：x→x；
(2)A＝R，B＝R，f：x→；
(3)A＝N*，B＝{0,1,2}，f：除以3得的余数；
(4)A＝{－4，－1,1,4}，B＝{－2，－1,1,2}，f：x→x.
【错解】　(1)不是　(2)是　(3)不是　(4)是
【错因分析】　(2)中，0∈A，但0不存在倒数，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，故不是映射．(4)由于负数没有偶次方根，所以A中的－4，－1在B中无元素与之对应．
【防范措施】　映射实质上是按照某种对应关系从一个集合到另一个集合的单值对应，对映射f：A→B而言，集合A中的任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．在解题过程中防止忽略“A中任意，B中唯一”而导致错误．
【正解】　(1)是　(2)不是　(3)是　(4)不是
1．关于映射，和函数不同的地方是集合A、B是非空集合即可，不一定是数集．对于映射f：A→B，要求集合A中没有多余的元素，允许集合B中有多余的元素，对应方式可以是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”．
2．一个对应法则是否能构成映射，关键是看它是否对A中的任意一个元素在B中都有唯一的一个元素与之对应；一个法则是否能构
在函数，首先是看它是否为映射，其次是看他是否为非空数集之间的映射
. 【当堂双基达标】
1．下列关于从集合M到集合N的映射四个说法中错误的是________．
①M中的每一个元素在N中都有元素和它对应；
②M中的两个元素在N中和它对应必不相同；
③N中的每一个元素在M中必有元素和它对应；
④M中的元素在N中和它对应的元素可以相同．
2．若A＝{2,4,6,8}，B＝{－1，－3，－5，－7}，下列对应关系：
①f：x→9－2x　 ②f：x→1－x ③f：x→7－x　 ④f：x→x－9
其中能确定A到B的映射的是________．
3．f是集合A＝{a，b，c}到集合B＝{d，e}的一个映射，则满足映射条件的“f”共有_____8___个．
4．设集合A＝{x|－4≤x≤6}，B＝{y|y∈R}，映射f：A→B，f(x)＝x2＋3x－4.
(1)求A中的元素0,1,3在集合B中的对应元素； (2)求B中的元素0在集合A中的对应元素．
【教学反思】