高中数学必修一教案 第1章集合与函数第12课时 章末归纳提升－函数

第12课时 章末归纳提升－函数及其性质
专题一
函数的定义域
　　函数的定义域是指函数y＝f(x)中自变量x的允许取值范围．确定函数的定义域是进一步研究函数其他性质的前提，而研究函数的性质，利用函数性质解决数学问题是中学数学的重要组成部分．所以熟悉函数定义域的求法，对于函数综合问题的解决起着至关重要的作用．
【例1】求下列函数的定义域：
(1)y＝＋； (2)y＝－＋.
【思路点拨】　本题考查函数的定义域，求函数的定义域，就是求使函数关系式有意义的自变量x的取值范围，在求定义域中，一个有利的工具就是数轴．
【规范解答】　(1)由得x≥2，且x≠3，∴函数的定义域为[2,3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，只需∴－≤x<2，且x≠0.即函数y＝－＋的定义域为{x|－≤x<2，且x≠0}．
【变式训练】
求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝＋＋4； (2)f(x)＝.
【解】　(1)由题意得，解得，∴≤x≤，
所以f(x)的定义域是[，]．
(2)由题意得
，解得，所以f(x)的定义域是(－∞，－3)∪(－3,0).
专题二
函数的图象及应用
　　函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．
函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点．在历届高考试题中，常出现有关函数图象和利用图象解题的试题．
【例2】设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；
(3)求函数的值域．
【思路点拨】　解答本题首先根据f(－x)与f(x)的关系判断奇偶性，然后讨论x的范围写出相应解析式，画出函数图象，根据图象判断单调区间，求值域．
【规范解答】　(1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1
＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)，且定义域[－3,3]关于原点对称，
∴f(x)是偶函数．
(2)当0≤x≤3时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2；
当－3≤x<0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2.
即f(x)＝.
根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如图所示．
函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，(－1,0]，(0,1]，(1,3]，f(x)在区间[－3，－1]，(0,1]上为减函数，在(－1,0]，(1,3]上为增函数．
(3)当0≤x≤3时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为f(1)＝－2，最大值为f(3)＝2；
当－3≤x<0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为f(－1)＝－2，最大值为f(－3)＝2.
故函数f(x)的值域为[－2,2]．
【变式训练】
求出关于x的方程|x2＋2x－3|＝a的实根的个数．
【解】　令g(x)＝a，f(x)＝|x2＋2x－3|，f(x)的图象是将y＝x2＋2x－3的图象在x轴及其上方的部分不变，x轴下方的部分以x轴为对称轴，对称地翻折到上方，如图所示．
由图可知：当a<0时，原方程无实根；
当a＝0时，原方程有2个实根；
当0当a＝4时，原方程有3个实根；
当a>4时，原方程有2个实根.
专题三
函数的单调性和奇偶性
　　函数单调性和奇偶性是函数的两个重要的性质，反映函数图象的变化趋势和对称性，充分体现了数与形相互转化的思想，是进行数学分析和数学研究的有力工具之一，对函数部分知识体系的综合应用具有纽带作用．函数性质是每年的必考内容之一，解题的关键是理解函数单调性和奇偶性的定义，解题时需要注意单调性和奇偶性证明的一般步骤．
【例3】已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(x)在x∈[2，＋∞)上为单调增函数，求a的取值范围．
【思路点拨】　本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用．解答本题可分别根据函数奇偶性与单调性的定义进行判定与求解．
【规范解答】　(1)当a＝0时，f(x)＝x2，
对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，
∴f(x)为偶函数；
当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)，
取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)设2≤x1f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，
要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为单调增函数，则需f (x1)－f(x2)<0恒成立．
∵x1＋x2>4，x1x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16.∴a的取值范围是(－∞，16]．
【变式训练】
已知函数f(x)＝x＋(a>0)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明；
(2)若a＝4，证明：函数f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数．
【解】　函数f(x)＝x＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且关于原点对称．
又因为f(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数．
(2)∵f(x)＝x＋， 设x1，x2是区间(2，＋∞)上的任意两个实数且x1f(x1)－f(x2)＝x1＋－(x2＋)＝x1－x2＋－＝(x1－x2)(1－)＝.
∵x14，
∵x1x2－4>0，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)∴函数f(x)在(2，＋∞)上为增函数.
专题四
函数与方程思想
　　函数思想方法，即是先构造辅助函数，将所给问题转化为构造的辅助函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)研究后，得出所需的结论．
与函数思想相联系的就是方程思想．所谓方程思想，就是在解决问题时，用事先设定的未知数表示问题中所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题得到解决．
函数与方程思想主要应用在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质的问题，达到化难为易，化繁为简的目的．
【例4】　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b是常数且a≠0)满足条件：f(2)＝0且方程f(x)＝x有两相等实根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数m，n(m【思路点拨】　(1)利用f(2)＝0及方程f(x)＝x的Δ＝0可求得a，b的值．
(2)先判断f(x)在[m，n]上的单调性，再列方程组求解．
【规范解答】　(1)依题意，方程ax2＋(b－1)x＝0有两相等实根，
∴Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1.
又f(2)＝0，∴4a＋2b＝0.∴a＝－，∴f(x)＝－x2＋x.
(2)∵f(x)＝－(x－1)2＋，由题意得2n≤， ∴n≤.
f(x)对称轴为x＝1，∴当n≤1时，f(x)在[m，n]上为增函数，
设m，n存在，则即
又m即存在实数m＝－2，n＝0，使f(x)的定义域为[－2,0]，值域为[－4,0]．
【变式训练】
已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.求实数m和n的值．
【解】　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f (x)．
∴＝－＝. 比较得n＝－n，∴n＝0.
又f(2)＝，∴＝，解得m＝2，
即实数m和n的值分别是2和0.