高中数学必修五教案 2等比数列
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高一年级 数学备课组（总第 课时） 主备人： 时间： 年 月 日
课 题
等比数列
第 课时
教
学
目
标
1．知识与技能
形成并掌握等比数列的概念，理解等比数列的通项公式．
2．过程与方法
培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法．
3．情感、态度与价值观
让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣．
教学重点
等比数列的概念．
教学难点
等比数列通项公式的推导过程及应用．
教学方法
启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法
教学过程：步骤、内容、教学活动
二次备课
等比数列的定义
【问题导思】
观察下面几个数列：
①1,2,4,8,16，…
②1，，，，，…
③1，－1,1，－1,1，…
④，－1,2，－4,8，…
1．上面几组数列是等差数列吗？为什么？
【提示】 都不是等差数列，因为不符合等差数列的定义．
2．如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同特点？
【提示】 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数．
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．
等比中项
【问题导思】
如果在a，b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G与a，b之间有怎样的数量关系？
【提示】 G2＝ab.
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式G2＝a·b.
等比数列的通项公式
【问题导思】
1．你能用一个数学式子表示出等比数列的定义吗？
【提示】 ＝q或＝q(n≥2)或an＋1＝qan或an＝qan－1(n≥2)．
2．根据问题1中的式子，你能归纳出等比数列的通项公式吗？
【提示】 由a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3…，可猜测an＝a1qn－1.
等比数列的递推公式与通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则
(1)递推公式：＝q(n≥2)；
(2)通项公式：an＝a1qn－1.
等比数列的通项公式及运算
在等比数列{an}中，
(1)若a2＝4，a5＝－，求an；
(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
【思路探究】 (1)由a2＝4，a5＝－能否建立a1，q的方程组求出a1，q？能否写出通项公式an?
(2)由已知条件能否求a1，q？怎样求？怎样求n?
1．a1和q是等比数列的两个基本量，解决本题时，只要求出这两个基本量，其余的量便可以得出．
2．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，解题时常列方程(组)来解决．
在等比数列{an}中，
(1)已知a3＝9，a6＝243，求a9；
(2)已知a1＝，an＝，q＝，求n.
在各项为负数的数列{an}中，已知：2an＝3an＋1，且a2·a5＝.
(1)求证：{an}是等比数列，并求出通项；
(2)试问：－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，说明理由．
【思路探究】 (1)要判断{an}为等比数列，an＋1与an需要满足怎样的关系？怎样求一个等比数列的通项公式？(2)如何判断一个数是否为一个数列中的项？
判断一个数列是等比数列的常用方法
1．定义法：＝q(常数)(n∈N*)或＝q(常数)(n≥2)?{an}为等比数列．
2．等比中项法：a＝an·an＋2且an≠0，n∈N*?{an}为等比数列．
3．通项法：an＝a1qn－1(其中a1、q为非零常数，n∈N*)?{an}为等比数列．
已知b是a与c的等比中项．求证：a2＋b2，ab＋bc，b2＋c2成等比数列．
某工厂2013年1月的生产总值为a万元，计划从2013年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2014年8月底该厂的生产总值为多少万元？
【思路探究】 (1)该问题可以转化为等比数列模型吗？(2)a1，q分别是多少？要求哪一个量？
利用数列解决实际问题的关键是建立恰当的数学模型，本例的数学模型是每月的生产总值组成一个等比数列，2014年8月底的生产总值是该数列中的第n项，常常容易被搞错．
在利用电子邮件传播病毒的例子中，如果第一轮感染的计算机数是80台，并且从第一轮起，以后各轮的每一台计算机都可以感染下一轮的20台计算机，到第5轮可以感染多少万台计算机？
忽略等比中项的符号致误
在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，试求a7.
【错解】 因为a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，
所以
又因为a7是a5，a9的等比中项， 所以a＝a5·a9＝1，即a7＝±1.
【错因分析】 上述解法忽略了对a7符号的讨论，由于a5，a9均为正数，所以不论q取正还是取负，a7始终与a5，a9同号．
【防范措施】 解等比数列的问题时，一定要特别注意符号，等比数列中项可以同正、同负，还可以正负交错，但是所有奇数项(或偶数项)的符号是相同的．
【正解】 ∵a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两根，
∴∴a5>0，a9>0故a7>0.
又∵a7是a5，a9的等比中项，∴a＝a5·a9＝1，∴a7＝1
小结
1．要注意利用等比数列的定义解题，在很多时候紧扣定义是解决问题的关键．
2．注意基本量法：在用等比数列通项公式时，以首项a1，公比q为基本量，其他量用这两个量表示出来，再寻求条件与结论的联系，往往使很多问题更容易解决．
3．等比中项在题目中会经常出现，因此要掌握好.
板
书
设
计
教
学
反
思
高一年级 数学备课组（总第 课时） 主备人： 时间： 年 月 日
课 题
等比数列
第 课时
教
学
目
标
1．知识与技能
形成并掌握等比数列的概念，理解等比数列的通项公式．
2．过程与方法
培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法．
3．情感、态度与价值观
让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣．
教学重点
等比数列的概念．
教学难点
等比数列通项公式的推导过程及应用．
教学方法
启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法
教学过程：步骤、内容、教学活动
二次备课
等比数列的定义
【问题导思】
观察下面几个数列：
①1,2,4,8,16，…
②1，，，，，…
③1，－1,1，－1,1，…
④，－1,2，－4,8，…
1．上面几组数列是等差数列吗？为什么？
【提示】 都不是等差数列，因为不符合等差数列的定义．
2．如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同特点？
【提示】 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数．
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．
等比中项
【问题导思】
如果在a，b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G与a，b之间有怎样的数量关系？
【提示】 G2＝ab.
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式G2＝a·b.
等比数列的通项公式
【问题导思】
1．你能用一个数学式子表示出等比数列的定义吗？
【提示】 ＝q或＝q(n≥2)或an＋1＝qan或an＝qan－1(n≥2)．
2．根据问题1中的式子，你能归纳出等比数列的通项公式吗？
【提示】 由a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3…，可猜测an＝a1qn－1.
等比数列的递推公式与通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则
(1)递推公式：＝q(n≥2)；
(2)通项公式：an＝a1qn－1.
等比数列的通项公式及运算
在等比数列{an}中，
(1)若a2＝4，a5＝－，求an；
(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
【思路探究】 (1)由a2＝4，a5＝－能否建立a1，q的方程组求出a1，q？能否写出通项公式an?
(2)由已知条件能否求a1，q？怎样求？怎样求n?
1．a1和q是等比数列的两个基本量，解决本题时，只要求出这两个基本量，其余的量便可以得出．
2．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，解题时常列方程(组)来解决．
在等比数列{an}中，
(1)已知a3＝9，a6＝243，求a9；
(2)已知a1＝，an＝，q＝，求n.
在各项为负数的数列{an}中，已知：2an＝3an＋1，且a2·a5＝.
(1)求证：{an}是等比数列，并求出通项；
(2)试问：－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，说明理由．
【思路探究】 (1)要判断{an}为等比数列，an＋1与an需要满足怎样的关系？怎样求一个等比数列的通项公式？(2)如何判断一个数是否为一个数列中的项？
判断一个数列是等比数列的常用方法
1．定义法：＝q(常数)(n∈N*)或＝q(常数)(n≥2)?{an}为等比数列．
2．等比中项法：a＝an·an＋2且an≠0，n∈N*?{an}为等比数列．
3．通项法：an＝a1qn－1(其中a1、q为非零常数，n∈N*)?{an}为等比数列．
已知b是a与c的等比中项．求证：a2＋b2，ab＋bc，b2＋c2成等比数列．
某工厂2013年1月的生产总值为a万元，计划从2013年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2014年8月底该厂的生产总值为多少万元？
【思路探究】 (1)该问题可以转化为等比数列模型吗？(2)a1，q分别是多少？要求哪一个量？
利用数列解决实际问题的关键是建立恰当的数学模型，本例的数学模型是每月的生产总值组成一个等比数列，2014年8月底的生产总值是该数列中的第n项，常常容易被搞错．
在利用电子邮件传播病毒的例子中，如果第一轮感染的计算机数是80台，并且从第一轮起，以后各轮的每一台计算机都可以感染下一轮的20台计算机，到第5轮可以感染多少万台计算机？
忽略等比中项的符号致误
在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，试求a7.
【错解】 因为a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，
所以
又因为a7是a5，a9的等比中项， 所以a＝a5·a9＝1，即a7＝±1.
【错因分析】 上述解法忽略了对a7符号的讨论，由于a5，a9均为正数，所以不论q取正还是取负，a7始终与a5，a9同号．
【防范措施】 解等比数列的问题时，一定要特别注意符号，等比数列中项可以同正、同负，还可以正负交错，但是所有奇数项(或偶数项)的符号是相同的．
【正解】 ∵a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两根，
∴∴a5>0，a9>0故a7>0.
又∵a7是a5，a9的等比中项，∴a＝a5·a9＝1，∴a7＝1
小结
1．要注意利用等比数列的定义解题，在很多时候紧扣定义是解决问题的关键．
2．注意基本量法：在用等比数列通项公式时，以首项a1，公比q为基本量，其他量用这两个量表示出来，再寻求条件与结论的联系，往往使很多问题更容易解决．
3．等比中项在题目中会经常出现，因此要掌握好.
板
书
设
计
教
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反
思