1.3.1单调性与最大(小)值（函数单调性限时训练）有答案

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函数的单调性限训
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 时间120分钟 满分150分
第I卷
一．选择题（共11小题，满分55分，每小题5分）
1．函数y＝的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．{x∈R|x≠1} D．R
2.函数的单调递减区间为（　　）
A．（﹣∞，﹣3] B．（﹣∞，﹣1] C．（1，+∞） D．（﹣3，﹣1]
3．已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是(　　)
A．y＝－f(x)在R上是减函数 B．y＝在R上是减函数
C．y＝[f(x)]2在R上是增函数 D．y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数
4．设是定义在上的函数.
①若存在，使成立，则函数在上单调递增；
②若存在，使成立，则函数在上不可能单调递减；
③若存在对于任意都有成立，则函数在上单调递减.
则以上命题正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
6．函数f（x）=满足：对任意的实数x1≠x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0成立，则实数a的取值范围是（　）
A． B． C． D．
7．若函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（，+∞） C．（﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
10.函数f（x）=|x2﹣6x+8|的单调递增区间为（　　）
A．[3，+∞） B．（﹣∞，2），（4，+∞）
C．（2，3），（4，+∞） D．（﹣∞，2]，[3，4]
11．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　)

第II卷(非选择题）
二．填空题（共7小题，满分35分，每小题5分）
12．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________．

13．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)
14．函数f(x)是在区间(－2,3)上的增函数，则y＝f(x＋5)的一个递增区间是________．

15.函数的单调递减区间为_______．

16．函数的单调递增区间为________.

17．已知是定义在整数集上的减函数，则的取值范围为________.
18．函数在上是减函数，则实数的取值范围是________.
三．解答题（共6小题，满分60分，每小题10分）
19.已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．



20．已知函数是定义在上的函数．
（1）用定义法证明函数在上是增函数；
（2）解不等式．


21．已知定义域为，对任意都有，当时，，.
（1）求和的值；
（2）试判断在上的单调性，并证明；
（3）解不等式：.


22.定义在R上的函数y＝f（x）．对任意的a，b∈R．满足：f（a+b）＝f（a）?f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）＝2．
（1）求f（0），f（﹣1）的值；
（2）判断该函数的单调性，并证明；
（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．


23.已知函数对于一切正实数，都有且时，，.
（1）求证：；
（2）求证：在上为单调减函数；
（3）若，试求的值．


24．定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求f(1)的值，并判断f(x)的单调性；
(2)若f(4)＝2，求f(x)在[5，16]上的最大值．






函数的单调性限训答案
1.解：单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表达不当．故选A.
2.解：该函数的定义域为，函数的对称轴为，由复合函数单调性可知该函数在区间上是减函数，故选A.
3.解：设x1所以－f(x1)>－f(x2)，A选项一定成立．其余三项不一定成立，如当f(x)＝x时，B，C不成立，当a≤0时，D不成立．∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．
4.解：对于①，“任意”，使成立，函数在上单调递增，故①不对；对于②，由减函数的定义知，必须有“任意”，使成立，即若存在，使成立，函数在上不可能单调递减，故②对；对于③，存在对于任意都有成立，则函数不在上单调递减，故③不对；即真命题的个数为1，故选B.
5.解：　画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增，故f(4－a)>f(a)?4－a>a，解得a<2.
6.解：因为函数f（x）=满足：对任意的实数x1≠x2，
都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0成立，所以函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，所以f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上均单调递增，且-12+2a×1≤（2a-1）×1-3a+6，故有，解得1≤a≤2．所以实数a的取值范围是[1，2]．
7.解：由函数在区间上是增函数，可得对称轴，得.
又在区间上是减函数，所以，得.
综上：.故选B.
8.解：当时，为减函数，符合题意.当时，由于函数在上为减函数，故二次函数的开口向上，且对称轴在的右侧，即，解得.综上所述，故选B.
9．解：∵当a=0时，f（x）=在区间（﹣2，+∞）上单调递减，故a=0舍去，∴a≠0，此时f（x）===a+，又因为y=在区间（﹣2，+∞）上单调递减，而函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上单调递增，∴须有1﹣2a＜0，即a＞，故选：B．　
10.解：画出的图象如图：由图象可知，函数的增区间为，故选C.
11.解：对于A，存在x1∈(0,1)，f(x1)>f(1)，A不对；对于C，存在x1>1，f(x1)12．答案　
解：当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，解得a≥0；当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤，∴0≤a≤.
13．答案　
解：由题意，得解得1≤x<，故满足条件的x的取值范围是1≤x<.
答案(－7，－2)
解：由－2＜x＋5＜3，得－7＜x＜－2，
故函数y＝f(x＋5)的一个递增区间为(－7，－2)．
15.解：，定义域是，
∴单调减区间为和．
故答案为和．
答案
解：由，解得.
令，为开口向下的抛物线，对称轴为：
由二次函数单调性可知当时， 单调递增，则也单调递增.
17.解：为定义在上的减函数；∴ 解得 ．
18.解：若f（x）在区间（0，1）上是减函数， 解得：a∈（﹣∞，0）∪（1，3]

19. (1)证明　设任意x1，x2∈(－∞，－2)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)(2)解　设任意x1，x2∈(1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述，020.解：（1）证明：对于任意的，且，则：
，
∵，∴，，∴．
∴，即．∴函数在上是增函数．
（2）由函数的分析式及（1）知，是奇函数且在上递增，
，即：，
结合函数的定义域和单调性可得关于实数的不等式：
，求解关于实数的不等式组可得：，则不等式的解集为．
21.解：
（1）因为对任意都有，
所以，令，则，所以；
令，则，因为，
所以；
（2）任取，则
，，当时，，
，在上单调递减；
（3）因为，
所以原不等式可化为；即，
由（2）可得，解得或；即原不等式的解集为
22.解：（1）根据题意，对任意的a，b∈R，满足f（a+b）＝f（a）?f（b）；
令a＝1，b＝0，则f（1）＝f（0）?f（1），又由f（1）＞1，则f（0）＝1；
令a＝1，b＝﹣1，则f（0）＝f（1）?f（﹣1），又由f（1）＝2，则f（-1）＝；
（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则有x2﹣x1＞0，则f（x2﹣x1）＞1，又∵；
f（x2）＝f[（x2﹣x1）+x1]＝f（x2﹣x1）?f（x1）＞f（x1），
则f（x2）﹣f（x1）＞0，即函数f（x）为增函数；
（3）根据题意，f（2）＝f（1+1）＝f（1）?f（1）＝4，
则f（x+1）＜4?f（x+1）＜f（2）?x+1＜2，解可得：x＜1，即不等式的解集为（﹣∞，1）．
23.解：（1）∵，∴，则由，得
若存在则对任意都有，与相矛盾，
所以不存在即.
（2）任取，且则，，
，
即由此得到是在上为单调减函数．
（3）解：令，，则，即，
∵，，∴，
即，则，解得．
24.解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，
由于当x>1时， f(x)>0，所以f()>0，
即f(x1)－f(x2)>0，因此f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递增函数．
(2)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数，所以f(x)在[5，16]上的最大值为f(16)．
由f()＝f(x1)－f(x2)，得f()＝f(16)－f(4)，而f(4)＝2，∴f(16)＝4，
∴f(x)在[5，16]上的最大值为4.










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