高中数学必修五 3.2一元二次不等式及3.4基本不等式 教案

3.2.1 一元二次不等式及其解法（一）
一、教学目标
1.知识与技能:从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等式；能把一元二次不等式的解的类型归纳出来；
2.过程与方法:通过学生感兴趣的上网问题引入一元二次不等式的有关概念，通过让学生比较两种不同的收费方式，抽象出不等关系；利用计算机将数学知识用程序表示出来；
3.情态与价值：培养学生通过日常生活中的例子，找到数学知识规率，从而在实际生活问题中数形结合的应用以及计算机在数学中的应用。
二、教学重、难点
重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想；
难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
三、教学流程
（一）创设情景
探究。通过让学生阅读第76页的上网问题，得出一个关于x的一元二次不等式，即
一元二次不等式的定义：只含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式；
练习：判断下列式子是不是一元二次不等式？
（1） （2） （3）（ （4）
（二）探索研究
思考1。一元一次方程、一元一次不等式及与一次函数三者之间有什么关系？
2．不等式、二次函数、一元二次方程的之间有什么关系？
容易知道，方程有两个实根： 由二次函数的零点与相应的一元二次方程根的关系，知是二次函数的两个零点。
通过学生画出的二次函数的图象，观察而知，
当时，函数图象位于x轴上方，此时，即；
当时，函数图象位于x轴下方，此时，即。
所以，一元二次不等式的解集是从而解决了以上的上网问题。
3．如何解一元二次不等式？
（三）举例应用
例1 求下列不等式的解集
（1） （2）
（3）4 （4）
练习：P80面练习1题。
通过以上的例题及练习的讲解，指导学生归纳P77面的表格及一元二次不等式的解的情况。
例2．解不等式
例3．解不等式
（四）小结
1. 从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等式；
2.能把一元二次不等式的解的类型归纳出来。
课后作业：
课时作业
（六）板书设计
3.2一元二次不等式
一元二次不等式的解法
一元二次不等式与一元二次方程和一元二次函数间的关系
例
练习.作业
3.2.2一元二次不等式及其解法（二）
一、教学目标
1.知识与技能: 应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题；能用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来；
2.过程与方法:通过学生对一元二次不等式的解法的理解，利用计算机将数学知识用程序表示出来；
3.情态与价值：培养学生通过日常生活中的例子，找到数学知识规率，从而在实际生活问题中数形结合的应用以及计算机在数学中的应用。
二、教学重、难点
重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想；
难点：理解一元二次不等式的应用。
三、教学流程：
（一）复习：一元二次不等式的解法
（二）举例分析
例1．某种汽车在水泥路面上的刹车距离sm和汽车车速km/h有如下关系：
。在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5cm，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？
变式：若车速为80km/h，司机发现前方50m的地方有人，问汽车是否会撞上人？
例2．一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配线，这条线生产的摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间有如下的关系：，若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
例3．求下列函数的定义域 ：（1） （2）
例4．解不等式
变式：若关于的不等式的解集为则实数a=
例5．设 则不等式的解集为
（三）小结：运用不等式解实际问题时，要注意：不大于、不小于、不超过等字眼。
3.2.3一元二次不等式及其及解法(三)
一、教学目标
（1）掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法；
（2）从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题；
（3）从二次函数或是一元二次方程的角度，来解决一元二次不等式的综合题．
二、教学重点，难点
从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题，掌握一元二次不等式恒成立的解题思路．
三、教学设计
（一）复习引入
1、 列表复习一元二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的关系：
2、由上表引导学生观察出：对一切都成立的条件为：
对一切都成立的条件为：
（二）典例分析
例1．解不等式
例2．已知关于的不等式的解集是，求实数之值．
例3．已知不等式的解集为求不等式的解集．
解：由题意 ， 即．代入不等式得：
．即，
所求不等式的解集为．
例4．已知一元二次不等式的解集为，求的取值范围．
解：为二次函数，
二次函数的值恒大于零，即的解集为．
， 即 ，解得：
的取值范围为
变式：
1．已知二次函数的值恒大于零，求的取值范围．
2．已知一元二次不等式的解集为,求的取值范围．
例5．若函数中自变量的取值范围是一切实数，求的取值范围
解：中自变量的取值范围是， 恒成立．

故的取值范围是．
思考题：若不等式对满足的所有都成立，求实数的取值范围．
解：已知不等式可化为．
设，这是一个关于的一次函数（或常数函数），从图象上看，
要使在时恒成立，其等价条件是：
　即　解得 ．
所以，实数的取值范围是 ．
四、课堂小结：
1．从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题；
2．一元二次不等式恒成立的问题
课后作业：
课时作业
板书设计
3.2一元二次不等式
一元二次不等式与一元二次方程和一元二次函数间的关系
例1.2.3.
作业
3.4.1基本不等式（一）
一、教学目标
(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释
(2)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质
(3)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力
二、教学重点、难点
教学重点：两个不等式的证明和区别
教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵
三、教学过程
提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？
（，）
提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？ （ ）
提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，。什么时候这两部分面积相等呢？
（当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有）
1、一般地，对于任意实数 、，我们有，当且仅当时，等号成立。
提问4：你能给出它的证明吗？
证明:
所以
注意强调 （1） 当且仅当时,
(2)特别地,如果 用和代替、，可得,
也可写成,引导学生利用不等式的性质推导
提问5：观察图形3.4-3,你能得到不等式的几何解释吗？

练习、已知：求证：

例3、若，，，
比较的大小
例4、当时，求函数的值域。
例5、若实数满足求的最小值
四：课堂小结：
比较两个重要不等式的联系和区别

课后作业：课时作业
板书设计
3.4
1、 取等条件：a=b
2、取等条件：a=b
3、任意两个正数，积一定，和有最小值；和一定，积有最大值。
例题1.2.3.4.5.
S正= 4S△=2ab
练习和作业
3.4.2基本不等式（二）
一、教学目标
（1）知识与技能：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题
（2）过程与方法：本节课是基本不等式应用举例的延伸。
（3）情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性
二、教学重点、教学难点
教学重点：正确运用基本不等式
教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件
三、教学流程
（一）复习引入
1．基本不等式：如果
如果a,b是正数，那么
前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数
?．我们称的算术平均数，称的几何平均数?
成立的条件是不同的：
练习
小结：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，
且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立.
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，
则a＋b≥2，等号当且仅当a＝b时成立.
（二）举例分析
例1、（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的
篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。
最大面积是多少？
解：分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值
（1）设矩形菜园的长为 m,　　宽为 m,则　　　篱笆的长为2（）m
由 ，可得 2（）
等号当且仅当，
因此，这个矩形的长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m
（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大
设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则2（）=36，=18，矩形菜园的面积为，
由 可得 ,
可得等号当且仅当
因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81
例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800深为3 m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？
分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价也就确定了，因此可转化为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价最低。
解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得
当
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元
归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
（三）课堂小结
本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。
在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：
(1)函数的解析式中，各项均为正数；
(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
课后作业：
课时作业
板书设计
3.4基本不等式
基本不等式
公式推导
例题
练习和作业
3.4.3基本不等式（三）
（一）教学目标
（1）知识与技能目标
1.熟练使用a2+b2?2ab和.
2.会应用此定理求某些函数的最值；
3.能够解决一些简单的实际问题.
（2）过程与能力目标
了解运用的条件，熟练运用不等式中1的变换.
（3）情感与态度目标
通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.
（二）教学重点：在运用中要注意“一正”、“二定”、“三相等”.
教学难点：的运用.
（三）教学流程
（1）复习：基本不等式
（2）举例分析
变形3： a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值和此时a、b的值
例2． a,b都是正数且2a+b=2,求a(1+b)的最值和此时a、b的值
。
证法1：直接用公式

证法2：对1进行变换

练习：

课堂小结：
课后作业：
课时作业
板书设计：
基本不等式复习
复习
题型分类
例
练习1.2.3