高中数学必修五教案 1三角形中的几何计算

高一年级 数学备课组（总第 课时） 主备人： 时间： 年 月 日
课 题
三角形中的几何计算
第 课时
教
学
目
标
1．知识与技能
通过回顾正弦定理、余弦定理的表达式及文字语言的叙述，进—步熟悉正、余弦定理的内容，作用及所解三角形的类型．能够联系勾股定理、三角形面积定理及三角形内角和公式等有关三角形问题灵活地解三角形．
2．过程与方法
善于利用分类讨论的思想、先易后难、逐层推进的思想解决一些繁、难三角形问题，把对学生的思维训练贯穿整节课的始终．
3．情感、态度与价值观
通过本节课的探究，培养学生勇于探索、勇于创新、善于分析以及具体问题具体分析的科学精神和良好的学习习惯．并对正弦定理、余弦定理的反射美产生愉悦感，从而激发学生热爱数学，热爱科学的追求精神．
教学重点
灵活选用正弦定理、余弦定理并结合面积公式进行有关的三角形中的几何计算．
教学难点
利用正、余弦定理进行边角互化及正弦、余弦定理与三角形有关性质的综合应用．
教学方法
讲练结合
教学过程：步骤、内容、教学活动
【问题导思】　 三角形的面积公式
如图，在△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha，hb和hc.
1．你能用△ABC的边角分别表示ha，hb，hc吗？
【提示】　ha＝bsin C＝csin B. hb＝csin A＝asin C. hc＝bsin A＝asin B.
2．你能用边a与高ha表示△ABC的面积吗？
【提示】　S△ABC＝aha＝absin C＝acsin B.
已知△ABC中，a，b，c所对的角分别为A，B，C，其面积为S，则：S＝absin C＝bcsin A＝casin B
例题讲解： 三角形中的面积计算
　△ABC中，已知C＝120°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积．
【思路探究】　(1)AB、AC是不是C的两夹边？(2)要使用三角形的面积公式应求哪个角？怎样求？
【自主解答】　由正弦定理＝，
∴sin B＝＝＝.
因为AB>AC，所以C>B， ∴B＝30°，∴A＝30°.
所以△ABC的面积S＝AB·AC·sin A＝·2·2·sin 30°＝.
由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．
(2013·蒙阴高二检测)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为________．
【解析】　由S△ABC＝，得AB·ACsin A＝，
即×2AC×＝，
∴AC＝1.由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A
＝22＋12－2×2×1×＝3.
∴BC＝.
【答案】　
三角形中的证明问题
　在△ABC中，求证：a(sin B－sin C)＋b(sin C－sin A)＋c(sin A－sin B)＝0.
【思路探究】　去掉括号再考虑用正弦定理求解．
【自主解答】　由正弦定理＝＝，
则asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B，
所以左边＝asin B－asin C＋bsin C－bsin A＋csin A－csin B
＝(asin B－bsin A)＋(bsin C－csin B)＋(csin A－asin C)
＝0＋0＋0＝0＝右边，
所以原式成立．
1．证明本题的关键在于充分借助正、余弦定理实现边角互化．
2．恒等式证明通常采用以下三种方法：
(1)从等式的左边证到右边；
(2)从等式的右边证到左边；
(3)对等式的两边同时变形，化为同一个式子．
方法的选择原则是从复杂的一边证明到简单的一边．
3．证明过程中，要注意三角函数和、差、倍角公式的灵活运用．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
求证＝2.
【证明】　由正弦定理，设＝＝＝k，
则＝＝，
所以＝，
即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B.
化简可得s in(A＋B)＝2sin(B＋C)，
又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A，
因此＝2.
三角形中的综合问题
　(2013·黄冈高二检测)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列且cos B＝.
(1)求＋的值；(2)设·＝3，求a＋c的值．
【思路探究】　(1)结合已知条件，用正弦定理与三角恒等公式求值．
(2)用余弦定理解决．
【自主解答】　(1)由已知b2＝ac，及正弦定理得sin2B＝sin Asin C，
由cos B＝，则sin B＝.
＋＝＝＝＝＝.
(2)由·＝3，得accos B＝3，ac＝＝5，
由余弦定理：b2＝a2＋c2－2ac×，得ac＝a2＋c2－ac，
a2＋c2＋2ac＝ac＝21，
∴(a＋c)2＝21.∴a＋c＝.
1．本题体现了正、余弦定理在三角形中的综合应用．解答本类综合问题时，还常常用到同角三角函数的基本关系和三角恒等变换公式．
2．以下结论也常常用到：
(1)A＋B＝π－C，＝－.
(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4)三角形内的诱导公式
sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，
tan(A＋B)＝－tan C(C≠)，
sin＝cos，cos＝sin.
△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C，
(1)求A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求△ABC的面积．
【解】　(1)由已知条件得
2cos Asin B＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin(A＋C)＝sin B.
又∵sin B≠0，∴cos A＝.
又∵0°(2)由余弦定理得
7＝b2＋c2－2bc·cos 60°
＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
将b＋c＝4代入，得bc＝3
故△ABC面积为S＝bcsin A＝.
解三角形中的函数思想
　(12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，满足S＝(a2＋b2－c2)．
(1)求角C的大小； (2)求sin A＋sin B的最大值．
【思路点拨】　利用面积公式求角C，再利用三角形的内角和定理和两角和的正弦公式化简求最大值．
【规范解答】　(1)由题意可知absin C＝×2abcos C．2分
所以tan C＝，4分
因为0＜C＜π，所以C＝.6分
(2)由已知sin A＋sin B＝sin A＋sin (π－A－)
＝sin A＋sin(－A)＝sin A＋cos A＋sin A
＝sin(A＋)≤(0＜A＜).9分
当A＝，即△ABC为等边三角形时取等号，11分
所以sin A＋sin B的最大值为.12分　
本题把求最值问题转化为三角函数求最值的方法是函数思想在本章的重要体现．
巩固练习：
1．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D．2
【解析】　S△ABC＝AB·ACsin A＝sin 60°＝.
【答案】　B
2．△ABC中，若A＝60°，b＝16，此三角形的面积S＝220，则a的值为(　　)
A．20 B．25
C．55 D．49
【解析】　由bcsin A＝220，∴c＝55.
又a2＝b2＋c2－2bccos A＝2 401.∴a＝49.
【答案】　D
3．边长为a的等边三角形的高为________．
【解析】　高h＝asin 60°＝a.
【答案】　a
4．已知△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，求AC边上的高．
【解】　设AC边上的高为h，由余弦定理知
cos B＝＝，
∴sin B＝，
∴S＝×3××＝×2＝3.
又S＝×4×h，∴2h＝3，∴h＝，
∴AC边上的高为.
课堂小结：
1．对于三角形中的几何计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决．求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理和余弦定理算出需要的元素，就可以求出三角形的面积．证明三角恒等式的关键是用正、余弦定理实现边角转化．
2．许多问题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚至可以两者兼用，当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式列式．
3．解三角形问题除了应用正、余弦定理外，也经常用到内角和定理以及三角变换公式中的平方关系、两角和与差的正、余弦公式等．
布置作业：
二次备课
板
书
设
计
教
学
反
思