高中数学必修五教案 等比数列的性质

高一年级 数学备课组（总第 课时） 主备人 时间： 年 月 日
课 题
等比数列的性质
第 课时
教
学
目
标
1．知识与技能
理解和掌握等比数列的性质，能选择更方便，快捷的解题方法．
2．过程与方法
学生在教师指导下，通过对数列性质的分析，提高观察、发现规律的能力．通过对等比数列实际应用，提高分析、比较、归纳能力．
3．情感、态度与价值观
在等比数列性质学习过程中，学生通过与教师对话，主动思考，生生交流，体验数学的发现过程，提高创新意识与能力．
教学重点
等比数列的性质．
教学难点
等比数列性质的灵活应用．
教学方法
直观对比法，讨论法，以及讲练结合等教学方法
教学过程：步骤、内容、教学活动
二次备课
“子数列”性质
【问题导思】　
1．将等比数列{an}中的前k项去掉，剩余各项组成一个新数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
【提示】　是．首项为ak＋1，公比为q.
2．取出等比数列{an}中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
【提示】　是．首项为a1，公比为q2.
3．如果取出数列{an}中所有k的倍数项呢？
【提示】　是．首项为ak，公比为qk.
对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列为等比数列，首项为ak，公比为qk.
“下标和”性质
【问题导思】　
给出以下两个等比数列{an}：
(1)1,2,4,8，…；
(2)1，－3,9，－27，….
1．在上述每一个数列中，请你计算a2·a6与a3·a5的值，看它们有什么关系？若计算a1·a5与a2·a4呢？
【提示】　a2·a6＝a3·a5；a1·a5＝a2·a4.
2．在上述每一个数列中，a2·a6，a3·a5的值与a4的值有什么关系？a1·a5，a2·a4与a3的值呢？
【提示】　a2·a6＝a3·a5＝a，a1·a5＝a2·a4＝a.
在公比为q的等比数列{an}中：
若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，
则am·an＝ap·aq＝a.
等比数列的性质的应用
　(1)在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝162，求a10；
(2)在等比数列{an}中，an＞0，若a1a2a3…a2012＝22012，求a2·a2011.
【思路探究】　(1)由a2＝2，a6＝162，能不能建立关于a1，q的方程组解出a1，q的值进而求出a10呢？用等比数列的性质能解决吗？(2)考虑性质若“m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，你能不能得出a2·a2 011的值？
1．本例(1)的解法很多，其通法是用等比数列基本量的运算，但是这种方法有时会很麻烦，遇到此类问题时应优先考虑结合性质，以化繁为简．
2．等比数列的性质中，尤其以“下标和”性质应用最多，最灵活，但使用时一定要区别其与等差数列“下标和”性质的不同，以免混淆致误，比较如下表：
等差数列
等比数列
条件
m＋n＝p＋q＝2k
结论
am＋an＝ap＋aq＝2ak
am·an＝ap·aq＝a
已知正数等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝7，a1·a2·a3＝8，求an.
　有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，第一个数与第四个数之和为16，第二个数与第三个数之和为12，求这四个数．
【思路探究】　(1)如何根据已知条件列出方程组求解问题？(2)怎样使列出的方程组求解简单呢？设未知量时有何技巧？
巧设等差数列、等比数列的方法
1．若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d.若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2.
2．若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为，，aq，aq3.
三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．
等差、等比数列的综合问题
　已知数列{an}与等比数列{bn}满足bn＝2an，n∈N*.
(1)判断{an}是什么数列，并给予证明；
(2)若a8＋a13＝，求b1·b2·…·b20的值．
【思路探究】　 (1)怎样判断一个数列是等差数列还是等比数列？若{an}是等差数列，需要证明an－an－1为常数，由bn＝2an你能产生an的表达式吗？
(2)等比数列与等差数列的“下标和”性质是怎样描述的？它在具体题目中应怎样运用？
等比数列与等差数列的区别与联系：
等差数列
等比数列
不同点
(1)强调每一项与前一项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一.
(1)强调每一项与前一项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值．
相同点
(1)都强调每一项与前一项的关系；
(2)结果都必须是常数；
(3)数列都可以由a1，d或a1，q确定．
联系
(1)若{an}为正项等比数列，则{logaan}为等差数列；
(2){an}为等差数列，则{ban}为等比数列.
已知等差数列{an}中a2＝3,4S2＝S4(Sn是{an}的前n项和)，
(1)求证：数列{2an}是等比数列；
(2)求使Sn＋2>2Sn成立的n的集合．
方程思想在等比数列中的应用
　(12分)等比数列{an}是递增数列，若a5－a1＝60，a4－a2＝24，求公比q.
【思路点拨】　用a1，q分别表示a2，a4，a5，解方程组求出q，注意所求值是否需要舍去．
　
将等比数列中的项或前n项和用基本量a1和q来表示得到方程或方程组，然后求解是解决等比问题的基本思想和方法．
小结
1．在准确掌握等比数列的定义及通项公式的前提下认识等比数列的性质，可以提高解题速度与解题的准确率．
2．对于等比数列基本量之间的运算应先考虑是否能用性质解决，然后再考虑是否能列出关于a1，d的方程组.
板
书
设
计
教
学
反
思