高中数学必修五教案 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 教案

年级　　 备课组（总第 课时）主备人： 时间：
课题：3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第　　课时
教
学
目
标
1.会画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域．
2.通过二元一次不等式(组)表示平面区域的探索，培养学生识图、画图的观察能力和联想能力，进一步巩固数形结合、分类讨论、化归的数学思想，以及由具体到抽象、由特殊到一般的推理方法．
重点
二元一次不等式(组)表示的平面区域．
难点
准确理解和判断二元一次不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧
教学方法、手段
通过积极启发诱导，使学生学会观察问题、探究问题， 自主归纳总结进而得出规律。
教学过程（教学设计）：步骤、内容、教学活动
二次备课
【问题导思】
给出不等式(1)2x＋3y－4>0，(2)x－4y＋1≤0，观察它们有什么共同特点？
【提示】　都含有2个未知数，未知数的次数都是1.
(1)含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组叫做二元一次不等式组．
(2)满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，称为二元一次不等式(组)的一个解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.
二元一次不等式表示的平面区域
　　 及确定
【问题导思】　
1．如图作直线x＋y－1＝0，此直线将坐标平面分成几部分？
【提示】　三个部分．即直线的两侧与直线上．
2．在直线上任取点P(x0，y0)，它与方程x＋y－1＝0有怎样的关系？
【提示】　P点的坐标满足方程．
3．在直线上方取点(0,2)，(1,3)，(0,5)，(2,2)，把它们分别代入式子x＋y－1中，其符号怎样？在直线的下方取点呢？
【提示】　直线上方的点的坐标都满足x＋y－1>0，直线下方的点的坐标都满足x＋y－1<0.
(1)直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成的三个部分：
①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0.
②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c>0，另一侧平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c<0.
(2)在直角坐标平面内，把直线l：ax＋by＋c＝0画成实线，表示平面区域包括这一边界直线；画成虚线表示平面区域不包括这一边界直线．
(3)①对于直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入ax＋by＋c所得的符号都相同．
②在直线ax＋by＋c＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由ax0＋by0＋c的符号可以断定ax＋by＋c>0表示的是直线ax＋by＋c＝0哪一侧的平面区域.
二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分．
(对应学生用书第59页)
二元一次不等式表示的平面区域
　画出下列不等式表示的平面区域．
(1)2x＋y－10<0；
(2)y≤－2x＋3.
【思路探究】　(1)你能画出不等式的对应的直线吗？画成实线还是虚线？(2)如何确定不等式所表示的平面区域？
【自主解答】　(1)画出直线2x＋y－10＝0(画成虚线)，
取点 (1,1)，代入2x＋y－10中，得2×1＋1－10＝－7<0，
所以2x＋y－10<0表示的区域是直线2x＋y－10＝0左下方的平面区域，如图(1)所示：
图(1)
(2)将y≤－2x＋3变形为2x＋y－3≤0，
画出直线2x＋y－3＝0(画成实线)，
取点(0,0)，代入2x＋y－3中，得2×0＋0－3＝－3<0，
所以2x＋y－3≤0表示的区域是直线2x＋y－3＝0及其左下方的平面区域，如图(2)所示．
图(2)
1．画平面区域时，要分清实线和虚线，“≥”“≤”应画成实线如(2)，“>，<”应画成虚线，如(1)．
2．二元一次不等式表示的平面区域的画法是以线定界，以点定域(以Ax＋By＋C>0为例)．
(1)“以线定界”，即画二元一次方程Ax＋By＋C＝0表示的直线定边界，其中要注意实线或虚线．
(2)“以点定域”，由于对在直线Ax＋By＋C＝0同侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都相同，故为了确定Ax＋By＋C的符号，可采用取特殊点法，如取原点等．
画出下列不等式表示的平面区域：
(1)2x－3y＋6≥0；
(2)x≥1；
(3)2y＋3<0.
【解】　(1)作直线2x－3y＋6＝0，将原点(0,0)代入2x－3y＋6，得2x－3y＋6≥0，故不等式表示的平面区域在原点一侧．
故不等式2x－3y＋6≥0表示的平面区域是如图1所示的阴影部分．
图1　　　　　　　　图2　　　　　　　图3
(2)不等式x≥1表示的平面区域是如图2所示的阴影部分．
(3)不等式2y＋3<0表示的平面区域是如图3所示的阴影部分.
二元一次不等式组表示的平面区域
　已知不等式组
(1)画出不等式组表示的平面区域；
(2)求不等式所表示的平面区域的面积；
(3)求不等式所表示的平面区域内的整点坐标．
【思路探究】　(1)怎样画出不等式组表示的平面区域？(2)该平面区域是什么图形？如何求其面积？(3)整点是什么样的点？怎样求其坐标？
【自主解答】　(1)不等式4x＋3y≤12表示直线4x＋3y＝12上及其左下方的点的集合；x>0表示直线x＝0右方的所有点的集合；y>0表示直线y＝0上方的所有点的集合，故不等式组表示的平面区域如图(1)所示．
　　　　　(1)　　　　　　　　　　　　(2)
(2)如图(1)所示，不等式组表示的平面区域为直角三角形，其面积S＝×4×3＝6.
(3)当x＝1时，代入4x＋3y≤12，得y＝，
∴整点为(1,2)，(1,1)．
当x＝2时，代入4x＋3y≤12，得y≤，
∴整点为(2,1)．
∴区域内整点共有3个，其坐标分别为(1,1)，(1,2)，(2,1)．如图(2)．
1．在画二元一次不等式组所表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可，其步骤为：①画线(注意实、虚)；②定侧；③求“交”；④表示．
2．画出不等式表示的平面区域后，常常要求区域面积或区域内整点的坐标．
(1)求区域面积时，要先确定好平面区域的形状，注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标，这样易求底与高．必要时分割区域为特殊图形．
(2)整点是横纵坐标都是整数的点，求整点坐标时要注意虚线上的点和靠近直线的点，以免出现错误．
画出不等式组所表示的平面区域，并求其面积．
【解】　如图所示，其中的阴影部分便是欲表示的平面区域．
由
得A(1,3)．
同理得B(－1,1)，C(3，－1)．
∴|AC|＝＝2，
而点B到直线2x＋y－5＝0的距离为
d＝＝，
∴S△ABC＝|AC|·d＝×2×＝6.
用二元一次不等式组表示实际问题
　一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表所示，设厂里有工人200人，每天只能保证160 kW·h的用电额度，每天用煤不得超过150 t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围.
品种
电力/kw·h
煤/t
工人/人
甲
2
3
5
乙
8
5
2
【思路探究】　(1)设出甲、乙两种产品，你能根据资源需求及条件限制，列出二元一次不等式组吗？(2)你能画出不等式组表示的平面区域吗？
【自主解答】　设每天分别生产甲、乙两种产品x t和y t，生产x t甲产品和y t乙产品的用电量是(2x＋8y)kW·h，根据条件有2x＋8y≤160；用煤量为(3x＋5y)t，根据条件有3x＋5y≤150；用工人数(5x＋2y)人，根据条件有5x＋2y≤200.
综上所述，x，y应满足以下不等式组
甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域，
即如图所示的阴影部分(含边界)．
用平面区域来表示实际问题相关量的取值范围的基本方法是：先根据问题的需要设出有关量，再根据有关量的限制条件和实际意义写出不等式，组成不等式组，最后画出平面区域．注意：在实际问题中写不等式组时，必须把所有的限制条件都表示出来，而不能遗漏任何一个．
甲、乙、丙三种食物的维生素A、维生素D的含量如下表：
甲
乙
丙
维生素A(单位/千克)
60
70
40
维生素D(单位/千克)
80
40
50
某食物营养研究所想把甲种食物、乙种食物、丙种食物配成10千克的混合食物，并使混合食物中至少含有560单位维生素A和630单位维生素D.请在平面直角坐标系画出甲、乙两种食物的用量范围．
【解】　设配成10千克的混合食物分别用甲、乙、丙三种食物x千克、y千克、z千克，则z＝10－x－y，由题意可得：
即
甲、乙两种食物的用量范围是不等式组表示的平面区域即图中阴影部分．
(对应学生用书第60页)
实虚不分、位置不明致误
　画出不等式组所表示的平面区域．
【错解】　不等式组表示的平面区域如图(1)所示．
　　　　(1)　　　　　　　　　　(2)
【错因分析】　不等式x－y＋1<0不含等号，故直线x－y＋1＝0画成实线错误，不等式组表示的平面区域是两个不等式表示的平面区域的公共部分，不是所有部分．
【防范措施】　二元一次不等式组所表示的平面区域
应该是每个不等式所表示的平面区域的公共部分，同时还要注意是否含有边界直线，含边界直线时，直线应画成实线，不含边界直线时，直线应画成虚线．
【正解】　不等式组表示的平面区域如图(2)所示．
1．一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0在平面直角坐标系内表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域．
2．在画二元一次不等式表示的平面区域时，应用“直线定边界、特殊点定区域”的方法来画区域．取点时，若直线不过原点，一般用“原点定区域”；若直线过原点，则取点(1,0)即可．总之，尽量减少运算量．
3．画平面区域时，注意边界线的虚实问题
(对应学生用书第61页)
1．不等式3x－2y－6>0表示的平面区域在直线3x－2y－6＝0的(　　)
A．左上方　　　　　　B．右上方
C．左下方 D．右下方
【解析】　作出不等式3x－2y－6>0的平面区域如图所示：
【答案】　D
2．以下不等式所表示的平面区域中包含原点的是(　　)
A．x－y＋1<0 B．2x＋3y－6>0
C．2x＋5y－10≥0 D．4x－3y≤12
【解析】　把原点(0,0)分别代入各不等式，只有D成立．
【答案】　D
3．(2013·南昌高二检测)已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是________．
【解析】　由题意(9－2＋a)(－12－12＋a)<0，
即(a＋7)(a－24)<0，∴－7【答案】　(－7,24)
4．在直角坐标系中，求不等式组表示的平面区域面积．
【解】　如图，不等式组所表示的区域为△ABC(包括边界)．|BC|＝4，|AO|＝2，∴S△ABC＝×2×4＝4.
一、选择题
1．(2013·岳阳高二检测)图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是(　　)
图3－3－1
A．x＋y－1<0　　　　　　　B．x＋y－1>0
C．x－y－1<0 D．x－y－1>0
【解析】　边界所在的直线为x＋y－1＝0，取点O(0,0)，代入得－1<0，则不等式x＋y－1>0表示图中阴影部分．
【答案】　B
2．(2013·新余高二检测)在平面直角坐标系中，可表示满足不等式x2－y2≤0的点(x，y)的集合(用阴影部分来表示)的是(　　)
【解析】　原不等式等价于(x＋y)(x－y)≤0，即或，故D选项正确．
【答案】　D
3．(2013·福建师大附中高二检测)在平面直角坐标系中，若点(2，t)在直线x－2y＋4＝0的右下方区域包括边界，则t的取值范围是(　　)
A．t<3 B．t>3
C．t≥3 D．t≤3
【解析】　原点(0,0)也在直线x－2y＋4＝0的右下方，代入x－2y＋4得4>0，故点(2，t)使x－2y＋4≥0成立，即2－2t＋4≥0，∴t≤3.
【答案】　D
4．不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)
A.　　　　B. C.　　　D.
【解析】　如图所示为不等式组表示的平面区域，平面区域为一三角形，三个顶点坐标分别为(4,0)，(，0)，(1,1)，所以三角形的面积为S＝×(4－)×1＝.
【答案】　C
5．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是(　　)
A．a<5 B．a≥7
C．5≤a<7 D．a<5或a≥7
【解析】　不等式组表示的平面区域如图所示．
当y＝a过A(0,5)时表示的平面区域为△ABC.
当5综上，当5≤a<7时表示三角形．
【答案】　C
二、填空题
6．点P(m，n)不在不等式5x＋4y－1>0表示的平面区域内，则m，n满足的条件是________．
【解析】　由题意知点P在不等式5x＋4y－1≤0表示的平面区域内，则5m＋4n－1≤0.
【答案】　5m＋4n－1≤0
7．(2013·苏州高二检测)不等式|2x＋y＋m|<3表示的平面区域包含点(0,0)和点(－1,1)，则m的取值范围是________．
【解析】　由题意知，
∴.
∴－2【答案】　(－2,3)
8．定义符合条件的有序数对(x，y)为“和谐格点”，则当a＝3时，和谐格点的个数是________．
【解析】　不等式组表示的平面区域如图所示，
和谐格点有(0,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)，(3,3)共7个．
【答案】　7
三、解答题
9．(1)画出不等式x＋2y－4>0表示的平面区域；
(2)画出不等式组表示的平面区域．
【解】　(1)先画出直线x＋2y－4＝0，因为这条直线上的点都不满足x＋2y－4>0，所以画成虚线．取原点(0,0)，代入x＋2y－4得0＋2×0－4＝－4<0，所以原点(0,0)不在x＋2y－4>0所表示的平面区域内，所以不等式x＋2y－4>0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．
(2)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合，x＋y≤0表示直线x＋y＝0上及左下方的点的集合，y≥－3表示直线y＝－3上及上方的点的集合．不等式组表示的平面区域即为图示的三角形区域：
10．某校食堂基本以面食和米食为主，面食每百克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元；米食每百
克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元．学校要求给学生配制成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，请在直角坐标系中画出每份盒饭中面食、米食的含量所满足的范围．
【解】　设每份盒饭中面食为x百克，米食为y百克，则由题意得：

作出不等式组所表示的平面区域如图．
11．画出下列不等式(组)表示的平面区域．
(1)(x－y)(x－y－1)≤0；
(2)|3x＋4y－1|<5；
(3)x≤|y|≤2x.
【解】　(1)由得0≤x－y≤1；
或无解．
故不等式表示的区域如图(1)所示．
(2)由|3x＋4y－1|<5，得－5<3x＋4y－1<5，
得不等式组
故不等式表示的区域如图(2)所示．
　　　(1)　　　　　　　(2)　　　　　　　　(3)
(3)当y≥0时，原不等式可化为点(x，y)在第一象限内两条过原点的射线y＝x(x≥0)与y＝2x(x≥0)所表示的区域内．
当y≤0时，由对称性作出另一半区域，如图(3)所示．
(教师用书独具)
在△ABC中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC(包含边界)内部所对应的二元一次不等式组．
【思路探究】　先求出三边所在的直线方程，再用特殊点确定不等式组．
【自主解答】　如图，直线AB的方程为x＋2y－1＝0(可用两点式或点斜式写出)．
直线AC的方程为2x＋y－5＝0，
直线BC的方程为x－y＋2＝0，
把(0,0)代入2x＋y－5＝－5<0，
∴AC左下方的区域为2x＋y－5<0.
把(0,0)代入x＋2y－1＝－1<0，且(0,0)不在三角形区域内．
∴AB右上方的区域为x＋2y－1>0.
同理BC右下方的区域为x－y＋2>0.
又∵包含边界，
∴不等式组应为
用不等式(组)表示如图所示的阴影部分区域．
【解】　∵直线AC在x轴及y轴上的截距分别为－5和5，
∴直线AC的方程为＋＝1，
即x－y＋5＝0.
显然直线BC的方程为x＝3，即x－3＝0.
而直线AB过原点和点(3，－3)，
∴直线AB的方程为y＝－x，即x＋y＝0，
将点(1,0)分别代入这些直线方程的左边得1－0＋5>0,1－3<0,1＋0>0.
故阴影部分区域为不等式组所表示的平面区域．
3．3.2　简单的线性规划问题
【问题导思】　
已知不等式组
表示的平面区域如图所示．
1．在平面区域中，A，B，C的坐标分别是什么？
【提示】　由
得B(－3,2)；由得A(3,8)；
由得C(3，－4)．
2．对于函数z＝2x－y，当直线2x－y－z＝0经过A、B、C三点时，z的值分别是多少？
【提示】　直线经过A(3,8)时，z的值为－2；
直线经过B(－3,2)时，z的值为－8，
直线经过C(3，－4)时，z的值为10.
3．当直线2x－y－z＝0经过平面区域时，z的最大值是多少？最小值呢？
【提示】　z的最大值为10，最小值为－8.
4．z值的大小与直线2x－y－z＝0的纵截距有何关系？
【提示】　z随直线的纵截距的增大而变小．
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式组
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
(对应学生用书第62页)
求线性目标函数的最值
　设z＝2x＋y，式中变量x，y满足条件求z的最大值和最小值．
【思路探究】　(1)你能画出本题的可行域吗？(2)将目标函数变形成什么形式？变形后直线的纵截距与z有什么关系？(3)平移哪条直线最方便？在可行域中的什么位置z取得最大，最小值？
【自主解答】　可行域如图所示．
把z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在y轴上的截距为z，随z变化的一组平行直线．
由图可知，当直线z＝2x＋y经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小．
解方程组
得A点坐标为(5,2)，
解方程组
得B点坐标为(1,1)，
所以zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3.
1．本题中，z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，z代表直线在y轴上的截距，所以越向上平移，z越大，反之则越小，解决这种题目，首先要搞清z 的几何意义．
2．(1)解二元线性规划问题的一般步骤是：
①画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)；
②移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；
③求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值；
④答：给出正确答案．
(2)一般地，对目标函数z＝ax＋by，若b>0，则纵截距与z同号，因此，纵截距最大时，z也最大；若b<0，则纵截距与z异号，因此，纵截距最大时，z反而最小．
若变量x，y满足约束条件，则z＝2x＋3y的最小值为(　　)
A．17　　　　B．14　　　　C．5　　　　D．3
【解析】　可行域如图所示：
当目标函数过点A(1,1)时取最小值，故zmin＝2×1＋3×1＝5.
【答案】　C
已知线性目标函数的最值求参数
　已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为________．
【思路探究】　(1)本题的可行域是怎样的？你能准确画出吗？(2)目标函数仅在点(3,1)处取得最大值说明目标函数对应的直线的斜率是怎样的？它与直线CD的斜率有怎样的关系？
【自主解答】　由约束条件画出可行域(如图所示)为矩形ABCD(包括边界)．
点C的坐标为(3,1)，z最大，即平移y＝－ax时使直线在y轴上的截距最大，
∴－a∴a>1.
【答案】　a>1
1．本题属逆向思维类型，解答时要画出图形，使用数形结合的方法．
2．解答此类问题首先要熟练线性规划问题的求解程序和确定最优解的方法，还要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，对边界直线的斜率与目标函数对应的直线的斜率要认真对照分析．
在本例条件下，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，求a的取值范围．
【解】　如上例中图形，若z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，则必有直线z＝ax＋y与直线x＋y＝4重合，此时a＝1.
非线性目标函数的最优解问题
　变量x，y满足
(1)设z＝，求z的最小值；
(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围．
【思路探究】　(1)①式子z＝可进行怎样的改写？
②表示的几何意义是什么？
③当倾斜角是锐角时，斜率与倾斜角的大小关系是什么？
(2)①代数式x2＋y2可以怎样进行改写？
②x2＋y2的几何意义是什么？
【自主解答】　由约束条件
作出(x，y)的可行域如图所示．
由
解得A(1，)．
由
解得C(1,1)，
由
解得B(5,2)．
(1)∵z＝＝，
∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．
观察图形可知zmin＝kOB＝.
(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域中的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域中的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝，
∴2≤z≤29.
1．本题巧妙地运用目标函数z的几何意义，结合可行域把问题解决，这种方法值得借鉴．
2．非线性目标函数求最值的常见模型：
距离模型和斜率模型．
(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；表示点(x，y)与点(a，b)的距离．
(2)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．
实数x，y满足条件则z＝的取值范围是________．
【解】　不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分，而z＝可以看成是可行域内的动点(x，y)与定点C(－1,1)连线的斜率的取值范围．
由图可知l1的斜率k1＝kBC，由得B点坐标为(1,0)，所以k1＝－，l2与直线x－y＝0平行，故z∈[－，1)．
【答案】　[－，1).
利用线性规划解决实际问题
　某公司计划同时出售电子琴和洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于两种产品的有关数据如下表：
电子琴(架)
洗衣机(台)
月供应量
成本(百元)
30
20
300
劳动力
5
10
110
单位利润(百元)
6
8
试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？
【思路探究】　提取不等信息→转化为不等式组→作出可行域→借助线性规划分析→还原实际问题
【自主解答】　设电子琴和洗衣机月供应量分别为x架、y台，总利润为z百元，则根据题意，
有
且z＝6x＋8y，作出不等式组所表示的平面区域，如图中所示的阴影部分．
令z＝0，作直线l0：6x＋8y＝0，即3x＋4y＝0.
当移动直线l0平移至过图中的A点时，z＝6x＋8y取得最大值．解方程组得A(4,9)，
代入z＝6x＋8y得zmax＝6×4＋8×9＝96.
所以当供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，公司可获得最大利润，最大利润是96百元．
1．本题的关键是建立线性规划的数学模型，这也是求解这类应用题的难点．
2．线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题．解线性规划应用题时，先转化为简单的线性规划问题，再按作图、平移、求值的步骤完成即可．
某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分别为A，B两种规格的金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2.用A种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格的金属板可造甲，乙两种产品各6个．问A，B两种规格的金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？
【解】　设A，B两种金属板各取x张，y张，用料面积为z，则约束条件为

目标函数z＝2x＋3y.
作出可行域，如图所示的阴影部分．
目标函数z＝2x＋3y即直线y＝－x＋，其斜率为－，在y轴上的截距为，且是随z变化的一簇平行线．
由图知，当直线z＝2x＋3y过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．
解方程组得M点的坐标为(5,5)，
此时zmin＝2×5＋3×5＝25(m2)，
即两种金属板各取5张时，用料面积最省．
(对应学生用书第64页)
直线的倾斜程度判断不准致误
　已知求z＝x＋y的最大值．
【错解】　作出可行域如图(1)所示，
(1)
令z＝x＋y＝0，作出直线x＋y＝0，且让它平行移动，在点B处取得最大值．
由方程组
得
∴点B的坐标是(，)，
∴z＝x＋y的最大值为.
【错因分析】　由于对直线的倾斜程度判断不准，导致求出的点不是最优解．
【防范措施】　要准确画图，尤其是多条直线斜率相当时，一定要画准，才能准确地找到最优解．
(2)
【正解】　作出可行域如图(2)所示，令z＝x＋y＝0，作出直线x＋y＝0，且让它平行移动，在点A处取得最大值，
由方程组

得
∴点A的坐标是(，)，
∴z＝x＋y的最大值为.
1．用图解法求线性目标函数的最值时，由于关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图一定要准确；其次要弄清z的含义，z总是与直线的纵截距有关；平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，以确定最优解．
2．解决非线性目标函数问题时，要首先考虑目标函数的几何意义，再结合图形解决．
3．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．
(对应学生用书第64页)
1．线性规划中的可行域中的点(x，y)是(　　)
A．最优解 B．可行解
C．线性目标函数 D．可能不满足线性约束条件
【解析】　根据线性规划问题中的相关概念知应选B.
【答案】　B
2．目标函数z＝2x－y，将其看成直线方程时，z的意义是
(　　)
A．该直线在坐标轴上的距离
B．该直线在y轴上的截距
C．该直线在y轴上的截距的相反数
D．该直线在x轴上的截距
【解析】　把目标函数变形为y＝2x－z，由此可见，z是该直线在y轴上的截距的相反数．
【答案】　C
3．若x≥0，y≥0，且x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为________．
【解析】　如图：
可行域为图中△AOB，
当直线y＝x－z经过B时，－z最小从而z最大，
∴zmax＝1.
【答案】　1
4．已知变量x、y满足约束条件，求目标函数z＝2x＋y的最大值．
【解】　可行域如图所示．
由图易知，当直线y＝－2x＋z经过A点时截距最大，
由得A(3,3)，∴zmax＝2×3＋3＝9.
一、选择题
1．图3－3－2中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是(　　)
图3－3－2
A．(0,5)　　　　　　 B．(1,4)
C．(2,4) D．(1,5)
【解析】　目标函数可化为y＝－x＋，因为－>－1，
∴当过点(0,5)时，目标函数z＝6x＋8y取得最大值．
【答案】　A
2．现有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，设需x辆载重6吨汽车和y辆载重4吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为(　　)
A．z＝6x＋4y B．z＝5x＋4y
C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y
【解析】　由题意，要运送最多的货物，先找到两类型汽车运送的总货物量，即z＝6x＋4y.
【答案】　A
3．(2013·济宁高二检测)已知x、y满足约束条件则(x＋3)2＋y2的最小值为(　　)
A.　　　　B．2 C．8　　　D．10
【解析】　画出可行域(如图所示)．
(x＋3)2＋y2即点A(－3,0)与可行域上点(x，y)间距离的平方．显然|AC|长度最小，
∴|AC|2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10.
【答案】　D
4．(2013·惠州高二检测)已知x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围为(　　)
A．[－2，－1] B．[－2,1]
C．[－1,2] D．[1,2]
【解析】　画出可行域，如图中的阴影部分所示．
如图知，－z是直线y＝x－z在y轴上的截距，当直线y＝x－z经过点A(2,0)时，－z取最小值，此时x＝2，y＝0，则z的最大值是x－y＝2－0＝2；当直线y＝x－z经过点B(0,1)时，－z取最大值，此时x＝0，y＝1，则z的最小值是x－y＝0－1＝－1，所以z＝x－y的取值范围为－1≤z≤2.
【答案】　C
5．某厂拟用集装箱托运甲，乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制等数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各被托运的箱数为(　　)
货物
体积/箱(m3)
质量/箱(50 kg)
利润/箱(百元)
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制
24
13
A.4,1　　　　B．3,2 C．1,4　　　D．2,4
【解析】　设托运货物甲x箱，托运货物乙y箱，由题意得：
，利润z＝20x＋10y，由线性规划知识可得，当x＝4，y＝1时，利润最大．
【答案】　A
二、填空题
6．若变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为________．
【解析】　画出x，y的可行域，如图阴影部分，直线x＋2y－5＝0与直线x－y－2＝0交于点A(3,1)，当z＝2x＋3y＋1过A点时，使得z＝2x＋3y＋1取得最大值，zmax＝2×3＋3＋1＝10.
【答案】　10
7．已知x、y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝________.
【解析】　由条件作出可行域如图．
根据图象知，目标函数过x＋y＋k＝0与x＝3的交点(3，－3－k)时取最小值，代入目标函数得－6＝2×3＋4×(－3－k)，∴k＝0.
【答案】　0
8．(2013·烟台高二检测)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则ab的取值范围是________．
【解析】　作出可行域如图．
∵a>0，b>0.
∴当ax＋by＝z经过A时，z取得最大值．
由得A(4,6)．
∴4a＋6b＝12,2a＋3b＝6，
∴ab＝×(2a)×(3b)≤×()2＝，
即ab∈(0，]．
【答案】　(0，]
三、解答题
9．若变量x，y满足约束条件求z＝x＋2y的最小值．
【解】　作出可行域如图阴影部分所示，
由解得A(4，－5)．
当直线z＝x＋2y过A点时z取最小值，将A(4，－5)代入，
得zmin＝4＋2×(－5)＝－6.
10．已知x，y满足设z＝ax＋y(a>0)，若当z取最大值时，对应的点有无数多个，求a的值．
【解】　作出可行域如图所示．
由
得
∴点A的坐标为(5,2)．
由得
∴点C的坐标为C(1,4.4)．
当直线z＝ax＋y(a>0)平行于直线AC，且直线经过线段AC上任意一点时，z均取得最大值，此时有无数多点使z取得最大值，而kAC＝－，
∴－a＝－，即a＝.
11．(2013·厦门高二检测)某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可生产产品90千克，若采用乙种原料，每吨成本1 500元，运费400元，可生产产品100千克，若每日预算总成本不得超过6 500元，运费不得超过2 200元，问此工厂如何安排每日可生产产品最多？最多生产多少千克？
【解】　设采用甲种原料x吨、乙种原料y吨，生产产品z千克．
则有：，z＝90x＋100y，
即y＝－x＋.
其可行域为：
由图形知：点A是z取最大值时的最优解．
解，得，
即A(2,3)，
∴zmax＝90×2＋100×3＝480千克．
答：工厂安排采用甲种原料2吨、乙种原料3吨时每日可生产产品最多，最多为480千克．
(教师用书独具)
已知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a，b∈R，求的最大值和最小值．
【思路探究】　先根据韦达定理求a，b的范围，再根据的几何意义求解．
【自主解答】　∵∴
∵0≤α≤1,1≤β≤2，
∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2，
∴
建立平面直角坐标系aOb，则上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
令k＝，可以看成动点P(a，b)与定点A(1,3)的连线的斜率．
∵kAB＝，kAC＝，
∴≤≤.
故的最大值是，最小值是.
实数x，y满足不等式组则W＝的取值范围是(　　)
A．[－1，]　　　　　B．[－，]
C．[－，＋∞) D．[－，1)
【解析】　画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数 W＝表示阴影部分的点与定点A(－1,1)的连线的斜率，由图可见点(－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－≤W<1.故选D.
【答案】　D

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