高中数学必修一教案 第2章基本初等函数

第1课时　对数函数的概念、图象与性质
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解对数函数的概念．
(2)掌握对数函数的性质了解对数函数在生产实际中的简单应用．
(3)了解反函数的概念，加深对函数思想的理解．
2．过程与方法
(1)培养学生数学交流能力和与人合作精神．
(2)用联系的观点分析问题，通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想．
3．情感、态度与价值观
(1)通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣．
●重点、难点
重点：对数函数的定义、图象和性质．
难点：反函数概念的理解．
●教学建议
1．关于对数概念的教学
建议教师以细胞分裂和放射性物质为背景，结合指数式与对数式的互化，引出对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，强调对数函数对其形式的要求．
2．关于对数函数的图象及性质的教学
建议教师在教学时类比指数函数图象和性质的研究，引导学生自己研究对数函数的性质，讲清底数a对函数值变化的影响，教学时鼓励学生积极主动地参与获得性质的过程．
3．关于反函数概念的教学
建议教师对学生讲清对反函数应掌握到何种程度，只要求学生知道同底的对数函数与指数函数互为反函数，不要求学生讨论形式化的反函数定义，也不要求学生求已知函数的反函数．
对数函数的概念
【问题导思】　
对于函数y＝log2x，y＝logx.
1．对自变量x有何限制？
【提示】　x>0.
2．两函数底数和真数有什么共同点？
【提示】　真数都是自变量，底数都是常数．
对数函数：一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域是(0，＋∞).
对数函数的图象和性质
【问题导思】　
1．试作出y＝log2x和y＝logx的图象．
2．两图象与x轴交点坐标是什么？
【提示】　交点坐标为(1,0)．
3．两函数单调性如何？
【提示】　y＝log2x是增函数，y＝logx是减函数．
对数函数的图象和性质：
a>1
0图
象
定义域
值域
图象过定点
单调性
反函数
【问题导思】　
函数y＝2x和y＝log2x的图象有什么关系？定义域、值域有什么关系？
【提示】　图象关于直线y＝x对称，定义域和值域互换．
同底的指数函数与对数函数的关系
对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数．
一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x).
对数函数的概念
　下列函数中，哪些是对数函数？
①y＝log2x3；②y＝log2x＋3；③y＝3log8x；④y＝logxa2(x>0且x≠1，a为常数)；⑤y＝log6x.
　判断所给函数是否为对数函数，即从所给函数的“系数、底数及真数”三处着眼，逐一分析是否同y＝logax(a>0，a≠1)相融合，若相同，则是对数函数；否则，不是对数函数．
函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，求实数a的值．
【解】　a2－a＋1＝1，解得a＝0,1.
又a＋1>0，且a＋1≠1，∴a＝1.
与对数函数有关的函数定义域问题
　求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝logx＋1(16－4x)．
【思路探究】　第(1)小题是三次根式，定义域和log2x的定义域相同，第(2)小题是二次根式，被开方数必须是非负数，注意不要遗漏对数函数的真数是正数这个条件，第(3)小题除了真数大于0，还要注意底数大于0且不等于1.
　求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数的取值范围，三是按底数的取值分类，根据单调性，列不等式(组)．
把(2)换成“y＝”求相应问题．
【解】　由1－log(x－1)≥0，得log(x－1)≤1.
∴log(x－1)≤log，
∴x－1≥，解得x≥.
∴函数y＝的定义域为{x|x≥}.
值域为R与定义域为R混为一谈致误
　若f(x)＝log5(x2－4mx＋8)的值域为R，求实数m的取值范围．
【错解】　∵x2－4mx＋8>0对x∈R恒成立，
∴Δ＝16m2－32<0，从而m2－2<0，
解得－【错因分析】　错解的错误原因在于对值域为R理解为定义域为R.值域为R时，需使u(x)＝x2－4mx＋8的函数值取遍所有的正实数．
【防范措施】　函数的定义域与值域是两个不同的概念．定义域是自变量的取值集合，而值域是自变量在定义域内每一个取值通过对应法则，得到的函数值的集合．
【正解】　设u(x)＝x2－4mx＋8，
∵f(x)的值域为R，
∴Δ＝16m2－32≥0，即m2－2≥0，
解得m≥或m≤－，
故实数m的取值范围为{m|m≥或m≤－}．
求下列函数的值域．
(1)y＝log2(x2－4x＋6)；
【解】　(1)∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，
又f(x)＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
∴log2(x2－4x＋6)≥log22＝1.
∴函数的值域是[1，＋∞)．
∴函数的值域是[log2，＋∞)．
第2课时　对数函数的图象与性质的应用
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握对数函数的单调性．
(2)会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较．
(3)能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质．
2．过程与方法
(1)通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法．
(2)培养学生的数学应用的意识．
3．情感、态度与价值观
(1)用联系的观点分析、解决问题．
(2)认识事物之间的相互转化．
●重点、难点
重点：对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用．
难点：依据底数的不同讨论函数的相关性质．
●教学建议
1．关于两个数大小比较的教学
教学时建议教师充分利用对数函数的单调性，进一步熟悉对数函数的性质，让学生采用不同的方法解决这个问题．
2．关于利用对数函数单调性解不等式的教学
建议教师在教学时对学生强调好两点：一是对数的真数需大于零；二是底数含参数时一定要注意分类讨论．
课标解读
1.能正确判断图象之间的变换关系(重点)．
2.理解并掌握对数函数的单调性(重点)．
3.会用对数函数的相关性质解综合题(难点).
利用对数函数的单调性比较大小
　比较下列各组数的大小．
(1)log0.14与log0.54；
(2)log45与log65；
(3)log3与log5；
(4)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m>1)．
【思路探究】　对于同底的两个对数值利用对数函数的单调性比较即可．底数不同的关键要找好中间数，或换底化为同底进行比较．
1．对数值比较大小的类型及方法：
2．如果底数不确定时，常对底数分a>1或0若a＝log3π，b＝log76，c＝log20.8，则a、b、c的大小关系是________．
【解析】　∵a＝log3π>log33＝1，即a>1，
b＝log76c＝log20.8b>c.
利用对数函数的单调性解不等式
　(1)已知loga<1，求实数a的取值范围；
(2)解不等式：log2(3x－5)【思路探究】　(1)分a>1和0(2)先化简不等式右侧成一个对数式，然后再借助y＝log2x的单调性求解．
1．本题(1)在求解过程中运用了分类讨论的思想，本题(2)在求解过程中运用了等价转化的思想．
2．在借助对数函数单调性解不等式时，应首先将不等式两边的对数写成同底数的形式，然后利用对数函数的单调性去掉对数符号，需特别注意化简变形时务必等价，在建立不等式(组)时一定要将原不等式成立的条件写上．
把(1)中“”换成“(2a＋1)”，求相应问题．
【解】　∵loga(2a＋1)<1＝logaa，
(1)当a>1时，∵y＝logax在定义域上是增函数，
∴0<2a＋1∴a无解．
(2)当0∴2a＋1>a>0，∴0综上可知，实数a的取值范围是0对数函数的图象及应用
　已知函数f(x)＝lg|x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的草图；
(3)求函数f(x)的单调递减区间，并加以证明．
【思路探究】　(1)确定函数的定义域，判断f(x)和f(－x)的关系；(2)函数f(x)的图象关于y轴对称，利用变换作图画出草图；(3)由图象观察出单调递减区间，再用定义证明．
　由对数函数和其他简单初等函数复合而成的简单复合函数，在讨论其单调性时，先求定义域，利用图象观察出单调区间，再用定义法证明，或利用复合函数的单调性口诀“同增异减”直接得到．
说明下列函数的图象与对数函数y＝log3x的图象的关系，并画出它们的示意图，由图象写出单调区间．
(1)y＝log3|x|；(2)y＝|log3x|；(3)y＝log3(－x)；(4)y＝－log3x.
忽略对数函数定义域致误
　试求函数f(x)＝log4(7＋6x－x2)的单调递增区间．
【错解】　设y＝log4u，
u＝g(x)＝7＋6x－x2＝－(x－3)2＋16，
对二次函数u＝g(x)，当x≤3时为增函数；
当x≥3时为减函数．
因为y＝log4u是增函数，
所以所求函数的单调递增区间为(－∞，3]．
【错因分析】　上述解答过程忽略了原函数的定义域，函数的单调区间应该是函数定义域的子集．
【防范措施】　对数函数的定义域，自变量除了要满足解析式的一些限制以外，还需要满足对数的底数大于0且不等于1，真数大于0这些必备的条件．解题时要加以重视，否则可能会出错．
【正解】　设y＝log4u，u＝g(x)＝7＋6x－x2＝－(x－3)2＋16，
则对于二次函数u＝g(x)，当x≤3时为增函数，
当x≥3时为减函数．
又y＝log4u是增函数，且根据对数函数的性质，
由7＋6x－x2>0，
得函数的定义域为(－1,7)，
故函数f(x)的增区间是(－1,3]．
4．函数y＝lg(x2－2x＋3)的最小值是________．
【解析】　x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2.
∵y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，
∴y＝lg(x2－2x＋3)≥lg 2.
【答案】　lg 2
5．函数y＝logax，x∈[2,4]，a>0且a≠1，若此函数的最大值比最小值大1，则a＝________.
【解析】　当a>1时，loga4－loga2＝1，解得a＝2，
当0∴a＝2或.
【答案】　2或
6．已知f(x)是定义域为R的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是______．
3.3幂函数
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解幂函数的概念，会画幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象．
(2)结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质．
2．过程与方法
(1)通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．
(2)使学生进一步体会数形结合的思想．
3．情感、态度与价值观
(1)通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣．
●重点、难点
重点：常见幂函数的概念、图象和性质．
难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．
●教学建议
1．关于幂函数定义的教学
建议教师通过实际问题，引导学生自己归纳这些函数所具有的共同特征，概括出它们的共性，获得幂函数的定义．
2．关于幂函数的基本性质的教学
建议教师通过画出学生几个熟悉的幂函数图象，让学生认真观察图象，引导学生类比前面研究指、对数函数的思想、方法．自己尝试归纳几个幂函数的基本性质．
幂函数的概念
【问题导思】　
1．函数y＝2x，y＝x3是指数函数吗？
【提示】　y＝2x是指数函数，而y＝x3不是指数函数．
2．函数y＝x2，y＝x，y＝x的底数和指数有什么共同点？
【提示】　底数是自变量，指数是常数．
一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.
幂函数的图象和性质
【问题导思】　
在同一坐标系下，作出幂函数y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的图象，如图所示：
1.上述图象在第一象限内有何共同特点？
【提示】　都过点(1,1)，只有y＝x－1随x的增大而减小，其他的都随x轴的增大而增大．
2．试判断上述函数的奇偶性．
【提示】　y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数；y＝x2是偶函数；y＝x是非奇非偶函数．
常见幂函数的图象和性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
x≠0
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
y≠0
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
奇函数
单调性
在(－∞，＋∞)上单调递增
在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，＋∞)上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减
定点
(1,1)，(0,0)
(1,1)，(0,0)
(1,1)，(0,0)
(1,1)，(0,0)
(1,1)
幂函数的概念
　函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时为减函数，求实数m的值．
【思路探究】　
　　　　　　　　↓
　　　　　　
　　　　　　　　↓
　　　　　　
【自主解答】　∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1，即(m－2)(m＋1)＝0，
∴m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，在(0，＋∞)上是减函数；
当m＝－1时，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1(x≠0)不是减函数．
综上所述，m＝2.
1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，而幂值前面的系数必须为1，这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．
2．幂函数y＝xα，当α<0时，在x∈(0，＋∞)上是减函数．
幂函数值的大小比较
　比较下列各组数中两个数的大小．
(1)()0.5与()0.5；
(2)(－)－1与(－)－1；
(3)()与().
【思路探究】　由题目可获取以下主要信息：题中给出的是三组幂值大小的比较．解答此题可借助幂函数的单调性或中间量进行比较．
　本题是比较大小的基本题型，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，则需引入中间量．可以利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象进行判断．
幂函数的性质
　已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围．
【思路探究】　→→→→→
【自主解答】　∵函数在(0，＋∞)上递减，
∴3m－9<0，
解得m<3.
又m∈N*，∴m＝1,2.又函数图象关于y轴对称，
∴3m－9为偶数，故m＝1.
∴有(a＋1)－<(3－2a)－.
又∵y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，
∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a，
或a＋1<0<3－2a，
解得第1课时　函数的零点
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解函数零点的意义，了解函数零点与方程根的关系．
(2)由方程的根与函数的零点的探究，培养转化化归思想和数形结合思想．
(3)体验零点存在性定理的形成过程，理解零点存在性定理，并能应用它探究零点的个数及存在的区间．
2．过程与方法
(1)由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与x轴的交点情况分析，导入零点的概念，引入方程的根与函数零点的关系，从而培养学生的转化化归思想和探究问题的能力．
3．情感、态度与价值观
(1)在体验零点概念形成过程中，体会事物间相互转化的辨证思想，享受数学问题研究的乐
●重点、难点
重点：函数零点的判断方法
难点：函数零点的位置判断与零点个数的确定．
●教学建议
1．关于零点的概念及存在性的判定的教学
建议教师在教学中通过具体的一元二次方程和相应的函数观察出方程的根和函数的图象之间的关系，进一步将这种关系推广到一般的一元二次方程和函数，最后拓展到一般的方程和函数；引出函数的零点的概念，分析出方程的根、函数的零点、函数的图象和x轴交点的横坐标实质上的同一性．
2．关于零点位置和个数的确定的教学
建议教师讲清判定函数的零点位置和个数可通过方程的根，也可通过函数的图象；在课堂教学中可设计多类题目让学生探究、讨论并加以归纳总结，充分体现数形结合的数学思想和从特殊到一般的归纳思想．
函数的零点
【问题导思】　
函数f(x)＝x2－2x的图象如下：
1．方程x2－2x＝0的根是什么？
【提示】　方程的根为0,2.
2．函数的图象与x轴的交点是什么？
【提示】　交点为(0,0)，(2,0)．
3．方程的根与交点的横坐标有什么关系？
【提示】　相等
4．通过观察图象，在每一个交点附近，两侧函数值的符号有什么特点？
【提示】　在每一交点的两侧，函数值的符号异号，其乘积小于0.
1．函数零点的定义
一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系
(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根．
(2)函数y＝f (x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数零点的存在性定理
若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.
求函数的零点
　求下列函数的零点．
(1)f(x)＝x2－3x－4；
(2)f(x)＝52x－1－25；
(3)g(x)＝ln(x2－2x＋e)－1.
【思路探究】　→
→
　求函数y＝f(x)的零点通常有两种办法：
(1)是令y＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；
(2)是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
若函数f(x)＝，求函数g(x)＝f(4x)－x的零点．
判断零点所在的区间
　已知函数f(x)＝log2(x＋3)－2x3＋4x的图象在[－2,5]内是不间断的．对应值表如下：
x
－2
－1
0
1
2
3
4
5
f(x)
a
－1
1.58
b
－5.68
－39.42
－109.19
－227
(1)计算上述表格中的对应值a和b.
(2)从上述对应值表中，可以发现函数f(x)在哪几个区间内有零点？说明理由．
【思路探究】　利用f(－2)，f(1)分别求a，b的值，利用f(m)·f(n)<0判断零点所在区间(m，n)．
　判断函数f(x)是否在区间(x1，x2)上存在零点，除验算f(x1)·f(x2)<0是否成立外，还需考查函数在区间(x1，x2)上是否连续．若为判断根的个数的问题，还需结合函数的单调性．
函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是________．(填序号)
①(1,2) ②(2,3) ③(1，)和(3,4) ④(e，＋∞)
【答案】　②
判断零点的个数
　求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
【思路探究】　解答本题可采用数形结合法，也可采用零点的存在性定理求解．
【自主解答】　法一　∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3>0，∴f(x)在(0,2)上必定存在零点．又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．
法二　在同一坐标系内作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图象，如图所示．由图象知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
判断函数零点个数的方法主要有以下两种：
(1)单调性法：先利用零点存在性定理来确定零点所在的大致区间，然后借助相应函数的单调性判断零点的个数，如本例方法一
(2)图象法：判断函数f(x)＝g(x)－h(x)零点个数的问题，即判断函数g(x)与函数h(x)两图象交点的个数问题，因此，在同一坐标系中画出两函数的图象，利用数形结合的思想直观判断便可，如方法二．
求函数f(x)＝log2x－2－x零点的个数．
求零点时忽略自变量的取值范围而致误
　设函数f(x)＝求函数g(x)＝f(x)－的零点．
【错解】　令g(x)＝f(x)－＝0，即f(x)＝，
若2－x＝，即2－x＝2－2，∴x＝2，
若log81x＝，即x＝81，∴x＝3，
∴g(x)＝f(x)－的零点为2或3.
【错因分析】　要求g(x)的零点，即求满足f(x)＝时的x的值，而f(x)是分段函数，要分段去求，同时要注意自变量x的取值范围，由于不注意x的取值范围，造成产生增解的现象．
【防范措施】　在求函数的零点时，求出的值一定要检验其是否在函数的自变量的取值范围之内。
1．判定f(x)在区间[a，b]上是否有零点的方法：
(1)函数在区间[a，b]上的图象连续，又它在区间[a，b]端点的函数值异号，则函数在[a，b]上一定存在零点；
(2)函数值在区间[a，b]上连续且存在零点，则它在区间[a，b]端点函数值可能异号也可能同号．
2．函数值与零点的关系：
对于任意函数y＝f(x)，只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当通过零点时函数值变号．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号.