高中数学人教A版必修四教案 2.3 平面向量基本定理

2.3 平面向量基本定理
学习目标: 了解平面向量的基本定理及意义；能用两个不共线向量表示一个向量；能把一个向量分解为两个向量。
重点难点: 重点：能用两个不共线向量表示一个向量
难点：对向量共线的的进一步理解
教学过程：
一 复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=
2．运算定律
结合律：λ(μ)=(λμ) ；分配律：(λ+μ)=λ+μ， λ(+)=λ+λ
3. 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
二、讲解新课：
问题：
①由平行四边形想到：是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？
②对于平面上两个不共线向量，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？
(1)平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的________向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝________________________________.
(2)基底
平面内________的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
探究：
(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
三、讲解范例：
例1　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③
C．③④ D．②
反思与感悟　考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
跟踪训练1　若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　)
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2
C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和

例3已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4
例4（1）如图，，不共线，=t (t?R)用，表示.
（2）设不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且.求证：A、B、P三点共线.
例5 已知 a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数与c共线.
四、课堂练习：
1．下列关于基底的说法正确的是(　　)
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．① B．② C．①③ D．②③
2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系
A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( )
A.3 B.-3 C.0 D.2
4.已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= .
5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).
五、小结（略）
六、课后作业（略）：
七、板书设计（略）