11.1.2 三角形的高、中线、角平分线与三角形的稳定性 教案
文档属性
| 名称 | 11.1.2 三角形的高、中线、角平分线与三角形的稳定性 教案 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-17 11:01:23 | ||
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文档简介
11.1.2 三角形的高、中线、角平分线与三角形的稳定性
一、教学目标
（1）掌握三角形的高、中线和角平分线的定义，并能够对其进行简单的应用．(重点)
（2）通过观察、感悟三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．(重点)
（3）能够准确的画出三角形的高、中线和角平分线，并能够在生活中应用三角形的稳定性.(难点)
二、课前预习
（一）知识探究
1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线 ，顶点和垂足间的线段 叫做三角形的高．
2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点 的线段叫做三角形的中线．
3．三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点与交点的线段 叫做三角形的角平分线．
4. 三角形具有稳定性，四边形 没有稳定性.
（二）预习反馈
1. （2018秋?柯桥区期末）在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是（ D ）
A．B．
C．D．
2.（2018秋?东兴市校级月考）如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝5cm，AC＝3cm，则△ABD的周长比△ACD周长多（ D ）
A．5cm B．3cm
C．8cm D．2cm
3. （2018?河北）下列图形具有稳定性的是（ A ）
A．B．
C．D．
4. 如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则：
（1）BE＝ EC ＝ BC ；
（2）∠BAD＝ ∠CAD ＝ ∠BAC ；
（3）∠AFB＝ ∠AFC ＝90°；
（4）△ABC中，∠B对边是 AC ，BC所对的角是 ∠BAC ；图中以∠C为内角三角形有 4 个．
三、例题精讲
知识点1 三角形的高
例1画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是( D )
【归纳总结】三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
知识点2 三角形的中线
例2 如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝__2__．
【归纳总结】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
【变式训练】如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝3BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别S、S1、S2，且S＝16，则S1﹣S2＝ 4 ．
【思路点拨】根据EC＝3BE，点D是AC的中点，可得S△ACE＝3S△AEB＝S△ACB，S△ABD＝S△CBD，即可分别求出S1、S2 .
知识点3 三角形的角平分线
例3 如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
【解答】∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－50°－30°＝100°.
【归纳总结】本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法，同时此类问题往往和三角形的高综合考查．
知识点四 三角形的稳定性
例4 要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n边形木架不变形，至少需要几根木条固定？
【解答】过n边形的一个顶点可以作(n－3)条对角线，把多边形分成(n－2)个三角形，所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要(n－3)根木条固定．
【归纳总结】将多边形转化为三角形时，所需要的木条根数，可从具体到一般去发现规律，然后验证求解．
四、巩固训练
1.（2018秋?上杭县期中）三角形的高、中线、角平分线都是（ C ）
A．直线 B．射线
C．线段 D．以上三种情况都有
2.（2018秋?垦利区期中）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（ B ）
①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.（2018秋?北碚区校级月考）如图，在△ABC中（AB＞BC），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．
解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，
∴BD＝CD，
设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，
分为两种情况：①AC+CD＝60，AB+BD＝40，
则4x+x＝60，x+y＝40，
解得：x＝12，y＝28，
即AC＝4x＝48，AB＝28；
②AC+CD＝40，AB+BD＝60，
则4x+x＝40，x+y＝60，
解得：x＝8，y＝52，
即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，
此时不符合三角形三边关系定理；
综合上述：AC＝48，AB＝28．
五、课堂小结
一、教学目标
（1）掌握三角形的高、中线和角平分线的定义，并能够对其进行简单的应用．(重点)
（2）通过观察、感悟三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．(重点)
（3）能够准确的画出三角形的高、中线和角平分线，并能够在生活中应用三角形的稳定性.(难点)
二、课前预习
（一）知识探究
1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线 ，顶点和垂足间的线段 叫做三角形的高．
2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点 的线段叫做三角形的中线．
3．三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点与交点的线段 叫做三角形的角平分线．
4. 三角形具有稳定性，四边形 没有稳定性.
（二）预习反馈
1. （2018秋?柯桥区期末）在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是（ D ）
A．B．
C．D．
2.（2018秋?东兴市校级月考）如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝5cm，AC＝3cm，则△ABD的周长比△ACD周长多（ D ）
A．5cm B．3cm
C．8cm D．2cm
3. （2018?河北）下列图形具有稳定性的是（ A ）
A．B．
C．D．
4. 如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则：
（1）BE＝ EC ＝ BC ；
（2）∠BAD＝ ∠CAD ＝ ∠BAC ；
（3）∠AFB＝ ∠AFC ＝90°；
（4）△ABC中，∠B对边是 AC ，BC所对的角是 ∠BAC ；图中以∠C为内角三角形有 4 个．
三、例题精讲
知识点1 三角形的高
例1画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是( D )
【归纳总结】三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
知识点2 三角形的中线
例2 如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝__2__．
【归纳总结】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
【变式训练】如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝3BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别S、S1、S2，且S＝16，则S1﹣S2＝ 4 ．
【思路点拨】根据EC＝3BE，点D是AC的中点，可得S△ACE＝3S△AEB＝S△ACB，S△ABD＝S△CBD，即可分别求出S1、S2 .
知识点3 三角形的角平分线
例3 如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
【解答】∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－50°－30°＝100°.
【归纳总结】本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法，同时此类问题往往和三角形的高综合考查．
知识点四 三角形的稳定性
例4 要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n边形木架不变形，至少需要几根木条固定？
【解答】过n边形的一个顶点可以作(n－3)条对角线，把多边形分成(n－2)个三角形，所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要(n－3)根木条固定．
【归纳总结】将多边形转化为三角形时，所需要的木条根数，可从具体到一般去发现规律，然后验证求解．
四、巩固训练
1.（2018秋?上杭县期中）三角形的高、中线、角平分线都是（ C ）
A．直线 B．射线
C．线段 D．以上三种情况都有
2.（2018秋?垦利区期中）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（ B ）
①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.（2018秋?北碚区校级月考）如图，在△ABC中（AB＞BC），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．
解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，
∴BD＝CD，
设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，
分为两种情况：①AC+CD＝60，AB+BD＝40，
则4x+x＝60，x+y＝40，
解得：x＝12，y＝28，
即AC＝4x＝48，AB＝28；
②AC+CD＝40，AB+BD＝60，
则4x+x＝40，x+y＝60，
解得：x＝8，y＝52，
即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，
此时不符合三角形三边关系定理；
综合上述：AC＝48，AB＝28．
五、课堂小结