11.2.1 三角形的内角 教案
图片预览
文档简介
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
一、教学目标
（1）理解三角形内角和定理及其证明方法．(难点)
（2）能用三角形的内角和定理解决一些简单问题．(重点)
二、课前预习
（一）知识探究
1．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°.
2．直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余.
3.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
（二）预习反馈
1.（2018秋?蓬江区期末）在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝50°，则∠C度数为 40° ．
2.（2018秋?潮州期中）在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于 52 °．
3.（2018秋?巢湖市期末）已知：△ABC中，∠A+∠B＝∠C，则∠C＝ 120° ．
4.（2018秋?柯桥区期末）已知在△ABC中，∠C＝∠A+∠B，则△ABC的形状是 直角三角形 ．
三、例题精讲
知识点1 三角形的内角和定理
例1 已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，若∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．
【解答】在△DFB中，∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°.
∵∠D＝50°，∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，
∴∠B＝40°.在△ABC中，
∵∠A＝46°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.
【归纳总结】求三角形的内角，必然和三角形内角和定理有关，解决问题时要根据图形特点，在不同的三角形中，灵活运用三角形内角和定理求解．
知识点2 直角三角形的性质与判定
例2 完成下面的填空：已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F，求证：∠CEF＝∠CFE
证明：∵∠ACB＝90°（已知），∴∠CAF+∠ CFA ＝90°（ 直角三角形的两个锐角互余 ）．
∵CD⊥AB（已知），
∴∠FAB+∠ AED ＝90°（ 直角三角形的两个锐角互余 ）
∵AF平分∠CAB（ 已知 ），
∴∠CAF＝∠FAB（ 角平分线定义 ）
∴∠ CFA ＝∠ AED （ 等角的余角相等 ），
∵∠CEF＝∠ AED （ 对顶角相等 ），∴∠CEF＝∠CFE（ 等量代换 ）
【归纳总结】根据直角三角形的性质可得两锐角互余关系，有三角形中两锐角的互余关系可判定三角形为直角三角形.
【变式训练】1. 在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 ①②③ （填序号）
【思路点拨】此题要能够结合已知条件和三角形的内角和定理求得角的度数，根据直角三角形的定义进行判定．
【变式训练】2. 如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF、∠DBC的度数．
【解答】∵CE⊥AF，∴∠DEF＝90°，∴∠EDF＝90°－∠F＝90°－40°＝50°.由三角形的内角和定理得∠C＋∠DBC＋∠CDB＝∠F＋∠DEF＋∠EDF，∴30°＋∠DBC＝40°＋90°，∴∠DBC＝100°.
【思路点拨】题主要利用了直角三角形两锐角互余的性质和三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
四、巩固训练
1.（2018秋?安庆期末）已知△ABC中，∠A比它相邻的外角小10°，则∠B+∠C为（ B ）
A．85° B．95°
C．100° D．110°
2.（2018秋?顺德区期末）如图，在△ABC中，∠C＝78°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ D ）
A．282° B．180°
C．360° D．258°
3.（2018秋?太湖县期末）适合条件∠A＝∠B＝∠C的△ABC是（ B ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
4.（2018秋?萧山区期中）如图，已知AO＝10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动），∠AON＝60°．
（1）OP＝ 5或20 时，△AOP为直角三角形．
（2）设OP＝x，则x满足 0＜x＜5或x＞20 时，△AOP为钝角三角形．
5.（2018秋?蚌埠期末）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝62°，CE平分∠ACB．
（1）求∠ACE；
（2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝74°，证明：△CFD是直角三角形．
解：（1）∵∠A＝30°，∠B＝62°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝88°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝44°；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝28°，
∴∠FCD＝∠ECB﹣∠BCD＝16°，
∵∠CDF＝74°，
∴∠CFD＝180°﹣∠FCD﹣∠CDF＝90°，
∴△CFD是直角三角形．
五、课堂小结
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于.
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
11.2.1 三角形的内角
一、教学目标
（1）理解三角形内角和定理及其证明方法．(难点)
（2）能用三角形的内角和定理解决一些简单问题．(重点)
二、课前预习
（一）知识探究
1．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°.
2．直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余.
3.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
（二）预习反馈
1.（2018秋?蓬江区期末）在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝50°，则∠C度数为 40° ．
2.（2018秋?潮州期中）在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于 52 °．
3.（2018秋?巢湖市期末）已知：△ABC中，∠A+∠B＝∠C，则∠C＝ 120° ．
4.（2018秋?柯桥区期末）已知在△ABC中，∠C＝∠A+∠B，则△ABC的形状是 直角三角形 ．
三、例题精讲
知识点1 三角形的内角和定理
例1 已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，若∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．
【解答】在△DFB中，∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°.
∵∠D＝50°，∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，
∴∠B＝40°.在△ABC中，
∵∠A＝46°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.
【归纳总结】求三角形的内角，必然和三角形内角和定理有关，解决问题时要根据图形特点，在不同的三角形中，灵活运用三角形内角和定理求解．
知识点2 直角三角形的性质与判定
例2 完成下面的填空：已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F，求证：∠CEF＝∠CFE
证明：∵∠ACB＝90°（已知），∴∠CAF+∠ CFA ＝90°（ 直角三角形的两个锐角互余 ）．
∵CD⊥AB（已知），
∴∠FAB+∠ AED ＝90°（ 直角三角形的两个锐角互余 ）
∵AF平分∠CAB（ 已知 ），
∴∠CAF＝∠FAB（ 角平分线定义 ）
∴∠ CFA ＝∠ AED （ 等角的余角相等 ），
∵∠CEF＝∠ AED （ 对顶角相等 ），∴∠CEF＝∠CFE（ 等量代换 ）
【归纳总结】根据直角三角形的性质可得两锐角互余关系，有三角形中两锐角的互余关系可判定三角形为直角三角形.
【变式训练】1. 在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 ①②③ （填序号）
【思路点拨】此题要能够结合已知条件和三角形的内角和定理求得角的度数，根据直角三角形的定义进行判定．
【变式训练】2. 如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF、∠DBC的度数．
【解答】∵CE⊥AF，∴∠DEF＝90°，∴∠EDF＝90°－∠F＝90°－40°＝50°.由三角形的内角和定理得∠C＋∠DBC＋∠CDB＝∠F＋∠DEF＋∠EDF，∴30°＋∠DBC＝40°＋90°，∴∠DBC＝100°.
【思路点拨】题主要利用了直角三角形两锐角互余的性质和三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
四、巩固训练
1.（2018秋?安庆期末）已知△ABC中，∠A比它相邻的外角小10°，则∠B+∠C为（ B ）
A．85° B．95°
C．100° D．110°
2.（2018秋?顺德区期末）如图，在△ABC中，∠C＝78°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ D ）
A．282° B．180°
C．360° D．258°
3.（2018秋?太湖县期末）适合条件∠A＝∠B＝∠C的△ABC是（ B ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
4.（2018秋?萧山区期中）如图，已知AO＝10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动），∠AON＝60°．
（1）OP＝ 5或20 时，△AOP为直角三角形．
（2）设OP＝x，则x满足 0＜x＜5或x＞20 时，△AOP为钝角三角形．
5.（2018秋?蚌埠期末）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝62°，CE平分∠ACB．
（1）求∠ACE；
（2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝74°，证明：△CFD是直角三角形．
解：（1）∵∠A＝30°，∠B＝62°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝88°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝44°；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝28°，
∴∠FCD＝∠ECB﹣∠BCD＝16°，
∵∠CDF＝74°，
∴∠CFD＝180°﹣∠FCD﹣∠CDF＝90°，
∴△CFD是直角三角形．
五、课堂小结
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于.
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.