11.2.2 三角形的外角 教案
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文档简介
11.2.2 三角形的外角
一、教学目标
（1）掌握三角形外角的定义和三角形内角和定理的两个推论．(重点)
（2）能运用三角形内角和定理的两个推论进行相关的几何计算和证明，并体会几何图形中的不等关系．(难点)
二、课前预习
（一）知识探究
1．三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线 组成的角．
2．三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
（二）预习反馈
1.（2018?广西）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于（ C ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
2.（2018?宿迁）如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是（ B ）
A．24° B．59° C．60° D．69°
3.一个零件的形状如图中阴影部分．按规定∠A等于90°，∠B、∠C分别等于29°和21°的零件是合格零件，检验人员度量得∠BDC＝141°，就断定这个零件不合格．你能说明理由吗？
【解答】解：不合格，
理由是：如图，延长BD交AC于E点，
根据三角形的外角性质可知，∠CED＝∠A+∠B，∠BDC＝∠CED+∠C，
∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C＝90°+21°+29°＝140°，
所以检验人员测量∠BDC＝141°，可断定这个零件不合格．
三、例题精讲
知识点1 三角形的外角
例1如图所示，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
【解答】延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【归纳总结】利用三角形的外角的性质将已知与未知的角联系起来是计算角的度数的方法．
【变式训练】1.已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
证明：∵∠EFG、∠EGF分别是△BDF、△ACG的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C.又∵在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
【思路点拨】解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决．
例2 如图：∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
（1）求证：∠E＝∠A．
（2）若BE、CE是△ABC两外角平分线且交于点E，则∠E与∠A又有什么关系？
【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠3＝（∠A+∠ABC）．又∵∠4＝∠E+∠2，
∴∠E+∠2＝（∠A+∠ABC）．
∵BE平分∠ABC，∴∠2＝∠ABC，
∴∠ABC+∠E＝（∠A+∠ABC），∴∠E＝∠A；
（2）如图2所示，∵BE、CE是两外角的平分线，
∴∠2＝∠CBD，∠4＝∠BCF，
而∠CBD＝∠A+∠ACB，∠BCF＝∠A+∠ABC，
∴∠2＝（∠A+∠ACB），∠4＝（∠A+∠ABC）．
∵∠E+∠2+∠4＝180°，
∴∠E+（∠A+∠ACB）+（∠A+∠ABC）＝180°，即∠E+∠A+（∠A+∠ACB+∠ABC）＝180°．
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠E+∠A＝90°．
【归纳总结】对于本题发现的结论要予以重视：图①中，∠E＝∠A；图②中，∠E＝90°－∠A.
四、巩固训练
1.（2018秋?杭州期末）在△ABC中，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是（ C ）
A．60 B．65 C．70 D．80
2.（2018?聊城）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（ A ）
γ＝2α+β B．γ＝α+2β
C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β
3. 若△ABC的三个内角之比是2：3：4，求三角形的三个外角之比．
解：∵∠BAC：∠ABC：∠ACB＝2：3：4，
∴可以假设∠BAC＝2x，∠ABC＝3x，∠ACB＝4x，
∴∠EAB＝∠ABC+∠ACB＝7x，
∠GBC＝∠BAC+∠ACB＝6x，
∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝5x，
∴∠EAB：∠GBC：∠ACF＝7：6：5．
五、课堂小结
一、教学目标
（1）掌握三角形外角的定义和三角形内角和定理的两个推论．(重点)
（2）能运用三角形内角和定理的两个推论进行相关的几何计算和证明，并体会几何图形中的不等关系．(难点)
二、课前预习
（一）知识探究
1．三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线 组成的角．
2．三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
（二）预习反馈
1.（2018?广西）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于（ C ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
2.（2018?宿迁）如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是（ B ）
A．24° B．59° C．60° D．69°
3.一个零件的形状如图中阴影部分．按规定∠A等于90°，∠B、∠C分别等于29°和21°的零件是合格零件，检验人员度量得∠BDC＝141°，就断定这个零件不合格．你能说明理由吗？
【解答】解：不合格，
理由是：如图，延长BD交AC于E点，
根据三角形的外角性质可知，∠CED＝∠A+∠B，∠BDC＝∠CED+∠C，
∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C＝90°+21°+29°＝140°，
所以检验人员测量∠BDC＝141°，可断定这个零件不合格．
三、例题精讲
知识点1 三角形的外角
例1如图所示，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
【解答】延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【归纳总结】利用三角形的外角的性质将已知与未知的角联系起来是计算角的度数的方法．
【变式训练】1.已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
证明：∵∠EFG、∠EGF分别是△BDF、△ACG的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C.又∵在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
【思路点拨】解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决．
例2 如图：∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
（1）求证：∠E＝∠A．
（2）若BE、CE是△ABC两外角平分线且交于点E，则∠E与∠A又有什么关系？
【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠3＝（∠A+∠ABC）．又∵∠4＝∠E+∠2，
∴∠E+∠2＝（∠A+∠ABC）．
∵BE平分∠ABC，∴∠2＝∠ABC，
∴∠ABC+∠E＝（∠A+∠ABC），∴∠E＝∠A；
（2）如图2所示，∵BE、CE是两外角的平分线，
∴∠2＝∠CBD，∠4＝∠BCF，
而∠CBD＝∠A+∠ACB，∠BCF＝∠A+∠ABC，
∴∠2＝（∠A+∠ACB），∠4＝（∠A+∠ABC）．
∵∠E+∠2+∠4＝180°，
∴∠E+（∠A+∠ACB）+（∠A+∠ABC）＝180°，即∠E+∠A+（∠A+∠ACB+∠ABC）＝180°．
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠E+∠A＝90°．
【归纳总结】对于本题发现的结论要予以重视：图①中，∠E＝∠A；图②中，∠E＝90°－∠A.
四、巩固训练
1.（2018秋?杭州期末）在△ABC中，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是（ C ）
A．60 B．65 C．70 D．80
2.（2018?聊城）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（ A ）
γ＝2α+β B．γ＝α+2β
C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β
3. 若△ABC的三个内角之比是2：3：4，求三角形的三个外角之比．
解：∵∠BAC：∠ABC：∠ACB＝2：3：4，
∴可以假设∠BAC＝2x，∠ABC＝3x，∠ACB＝4x，
∴∠EAB＝∠ABC+∠ACB＝7x，
∠GBC＝∠BAC+∠ACB＝6x，
∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝5x，
∴∠EAB：∠GBC：∠ACF＝7：6：5．
五、课堂小结