3.1.1 方程的根与函数的零点 学案

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3.1.1　方程的根与函数的零点
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1.函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
2.方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点.
3.函数零点存在的判定方法
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
　判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)＜0不一定成立.

类型一　求函数的零点
【例1】 指出下列函数的零点：
(1)f(x)＝x2－3x＋2的零点是________；
(2)f(x)＝x4－1的零点是________；
(3)若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则a＝________，b＝________.
解析　(1)令f(x)＝0，即(x－1)(x－2)＝0，所以零点为1和2.
(2)由x4－1＝0，得(x2＋1)(x－1)(x＋1)＝0，所以x＝±1，所以函数f(x)＝x4－1的零点是1和－1.
(3)由于函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点2和3，所以2和3是方程x2－ax－b＝0的两个根，所以2＋3＝－(－a)，2×3＝－b，所以a＝5，b＝－6.
答案　(1)1和2　(2)1和－1　(3)5 －6
【训练1】 (1)函数f(x)＝2x－1的零点是________；
(2)若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________.
解析　(1)由2x－1＝0，得x＝0，故函数的零点为0.
(2)因为f(x)＝ax－b的零点是3，所以f(3)＝0，即3a－b＝0，也就是b＝3a.
所以g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1).所以方程g(x)＝0的两个根为－1和0，即函数g(x)的零点为－1和0.
答案　(1)0　(2)－1和0
类型二　判断函数零点所在区间
【例2】（1）在下列区间中函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)
A. B. C. D.
(2)若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.
解析　(1)∵f＝－2＜0，f＝－1＞0，
∴f·f＜0，∴零点在上.
(2)∵函数f(x)＝3x－7＋ln x在定义域上是增函数，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x在区间(n，n＋1)上只有一个零点.
∵f(1)＝3－7＋ln 1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln 2<0，f(3)＝9－7＋ln 3>0，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(2，3)内，
∴n＝2.
答案　(1)C　(2)2
【训练2】方程lg x＋x＝0的根所在的区间可能是(　　)
A.(－∞，0) B.(0.1，1) C.(1，2) D.(2，4)
解析　由于lg x有意义，所以x>0，令f(x)＝lg x＋x，显然f(x)在定义域内为增函数，又f(0.1)＝－0.9<0，f(1)＝1>0，故f(x)在区间(0.1，1)内有零点.
答案　B
类型三　函数零点个数的判断
【例3】 (1)判断函数f(x)＝x2＋x－b2的零点的个数.
(2)判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数.
解　(1)对于方程x2＋x－b2＝0，因为Δ＝12＋4b2>0，所以方程有两个实数根，即函数f(x)有两个零点.
(2)　由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，
∴f(1)·f(2)＜0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个.
【训练3】函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)
A.(－2，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，2)
解析　∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，
f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)·f(1)＜0，
∴f(x)在(0，1)内有零点.
答案　C
课时同步训练
1.下列函数没有零点的是(　　)
A.f(x)＝0 B.f(x)＝3 C.f(x)＝x2－2 D.f(x)＝x－
解析　函数f(x)＝3不能满足f(x)＝0，因此没有零点；函数f(x)＝0有无数个零点；函数f(x)＝x2－2有两个零点，为±；函数f(x)＝x－有两个零点，为±1.
答案　B
2.若4是函数f(x)＝ax2－2log2x的零点，则a的值等于(　　)
A.4 B.－4 C.－ D.
解析　由题意知f(4)＝0，即16a－2log24＝0，
解得a＝.
答案　D
3.对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则(　　)
A.方程f(x)＝0一定有实数解 B.方程f(x)＝0一定无实数解
C.方程f(x)＝0一定有两实根 D.方程f(x)＝0可能无实数解
解析　∵函数f(x)的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)＜0，但未必函数y＝f(x)在(－1，3)上有实数解.
答案　D
4.函数f(x)＝lg x＋1的零点是(　　)
A. B. C. D.10
解析　由lg x＋1＝0，得lg x＝－1，所以x＝.
答案　A
5.下列图象表示的函数中没有零点的是(　　)

解析　由函数零点的意义可得：函数的零点是否存在表现在函数图象与x轴有无交点.
答案　A
6.若函数f(x)满足在区间(1，2)内有唯一的零点，则(　　)
A.f(1)·f(2)>0 B.f(1)·f(2)＝0 C.f(1)·f(2)<0 D.不确定
解析　如图，

A、B、C三选项都有可能，故选D.
答案　D
7.函数f(x)＝ln x＋2x－3的零点所在的区间是(　　)
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
解析　因为f(1)＝－1<0，f(2)＝1＋ln 2>0，所以f(1)·f(2)<0，且函数f(x)是(0，
＋∞)上的连续函数，所以函数f(x)的零点所在区间是(1，2).
答案　B
8.若aA.(a，b)和(b，c)内 B.(－∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析　∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，
∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，
∵a0，f(b)<0，f(c)>0，
∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.
答案　A
9.已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________.
解析　∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f(x)有三个零点，则其和必为0.
答案　0
10.函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a取值的范围是________.
解析　由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，
故Δ＝4－4a＞0，即a＜1.
答案　(－∞，1)4.函数f(x)＝x2－5x的零点是________.
解析　由f(x)＝x2－5x＝0，解得x＝0或x＝5，所以函数f(x)的零点为0或5.
答案　0或5
11.若函数f(x)＝＋a的零点为1，那么函数g(x)＝－2ax2－2x＋1的零点是________.
解析　由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.∴g(x)＝x2－2x＋1，令g(x)＝0得方程x2－2x＋1＝0的根为x＝1，故g(x)的零点为1.
答案　1
12.设x0是方程ln x＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.[来源:学_科_网]
解析　令f(x)＝ln x＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上递增，
∵f(2)＝ln 2＋2－4＜0，f(3)＝ln 3－1＞0.∴f(x)在(2，3)内有解，∴k＝2.
答案　2
13.对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：
①在(－2，－1)内有实数根；
②在(－1，0)内有实数根；
③在(1，2)内有实数根；
④在(－∞，＋∞)内没有实数根.
其中正确的有________(填序号).
解析　设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0，
f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，则f(x)在(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)内均有零点，即①②③正确.
答案　①②③
14.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；
(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；
(3)f(x)＝2x－1－3.
解　(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.
15.若函数f(x)＝x2－ax－b的零点是2和3，试求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点.
解　函数f(x)＝x2－ax－b的零点是2和3，由函数的零点与方程的根的关系知方程x2－ax－b＝0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a＝5，b＝－6，所以g(x)＝－6x2－5x－1，易求得函数g(x)的零点为－，－.
16.已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求函数f(x)的零点.
解　(1)要使函数有意义：则有解之得：－3(2)函数可化为f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)，由f(x)＝0，
得－x2－2x＋3＝1，即x2＋2x－2＝0，解得x＝－1±.
因为－1±∈(－3，1)，故f(x)的零点是－1±.
17.求函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数.
解　令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝.
设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点.

18.已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1，4].
(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；
(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点？

解　(1)依题意：f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1，4]，其图象如图所示.由图可知，函数f(x)的值域为[－4，5].
(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点.
∴方程f(x)＝－m在x∈[－1，4]上有两相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点.
由(1)所作图象可知，－4＜－m≤0，
∴0≤m＜4.∴当0≤m＜4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，故当0≤m＜4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点.
19.已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，求下列条件下实数a的取值范围.
(1)零点均大于1；
(2)一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内.
解　(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得解得2≤a<.
即实数a的取值范围是[2，).
(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(6，8)内，结合二次函数的单调性与零点存在定理得
解得即实数a的取值范围是（，）


























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