高中数学必修五教案 2等比数列的前n项和

高一年级 数学备课组（总第 课时） 主备人 时间： 年 月 日
课 题
等比数列的前n项和
第 课时
教
学
目
标
1．知识与技能
理解等比数列前n项求和公式的推导方法，能够利用公式解决一些简单问题．
2．过程与方法
通过公式推导，提高数学建模意识，体会特殊到一般的思维方式．
3．情感、态度与价值观
通过经历对公式的探索，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，并从中获得成功的体验．
教学重点
等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．
教学难点
等比数列的前n项和的公式推导．
教学方法
探究式教学方法
教学过程：步骤、内容、教学活动
二次备课
等比数列前n项和公式
【问题导思】　
对于数列1,2,22,23，…，2n，…
1．该数列的首项和公比分别是多少？
【提示】　首项为1，公比为2.
2．把该数列的前n项和Sn＝1＋2＋22＋…＋2n①
两边同乘以公比2得：2Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＋1②
这两个等式的右边有何相同点？若用②式减去①式，会有什么结果？
【提示】　两个等式的右边除首项与末项不同外，其余各项均相同，若用②式减去①式会把这些相同的项全部消掉，求得Sn＝2n＋1－1.
3.对和式Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1(q≠1)按问题2的方法处理会怎样呢？
【提示】　Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， ③
qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn， ④
④－③得：(q－1)Sn＝a1(qn－1)，
由q≠1得Sn＝.
等比数列的前n项和公式
已知量
首项、公比与项数
首项、末项与公比
公式
Sn＝
Sn＝
等比数列前n项和公式的基本运算
　在等比数列{an}中，
(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5；
(3)若q＝2，S4＝1，求S8.
【思路探究】　(1)根据已知条件能否列出关于a1，n的方程组？(2)能直接求出a4与S5吗？若求出a1与q之后呢？(3)要求S8需要知道哪些量？怎样求出a1?
Sn＝＝(q≠1)为等比数列的求和公式，其中涉及a1，an，Sn，n，q五个量，通常已知其中三个，即可求另外两个，方法是解方程组，这也是等比数列的基本问题．
当已知首项a1、公比q及项数n时，用公式Sn＝；当已知首项a1、末项an及公比q时，用公式Sn＝.另外在这两个公式中强调公式q≠1，若公比q＝1，则数列为非零常数列，因此在进行等比数列的前n项求和计算时需要对公比q是否为1进行讨论．
设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30.求an和Sn.
　某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长.
求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入．
【思路探究】　(1)每年的投入怎样表示？每年的投入能否构成一个等比数列？几年内的总投入怎样表示？
(2)每年的旅游收入是多少？n年内的总收入呢？
解数列应用题的具体方法步骤
(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清项数是多少．
②弄清题目中主要的已知事项．
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．
　求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.
【思路探究】　(1)本题是否可以用错位相减法求和？(2)x的取值不同，对解题有影响吗？要不要对x进行讨论？

1．一般地，若数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．
2．运用等比数列前n项和公式时，必须注意公比q是否为1.若不能确定公比q是否为1，应分类讨论．
3．在写Sn和qSn表达式时，应特别注意“错项对齐”，以便于下一步准确写出Sn.
求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n项和(a≠0)．
忽略对公比q的讨论致误
　已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
【错解】　由等比数列的前n项和公式得：
S3＝＝＝6，
∴q＝－2，∴a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8，
所以q＝－2，a3＝8.
【错因分析】　此求解过程中，由于没有讨论公比q是否为1，就直接使用了等比数列的前n项和公式Sn＝，从而导致漏解．
【防范措施】　在求等比数列前n项和Sn时，如果不明确q的具体情况，不能直接套用前n项和公式，要记住对q＝1和q≠1进行讨论．
【正解】　若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
得S3＝＝＝6，
解得q＝1(舍去)或q＝－2.
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
小结
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．在应用公式Sn＝或Sn＝求和时，应注意公式的使用条件为q≠1，而当q＝1时，应按常数列求和，即Sn＝na1.因此，对含有字母参数的等比数列求和时，应分q＝1与q≠1这两种情况进行讨论．
3．用错位相减法不只能推导等比数列的求和公式，还可以作为一种求和方法求特定类型数列的和．
板
书
设
计
教
学
反
思