高中数学必修五教案 2数列的概念与简单表示法

高一年级 数学备课组（总第 课时） 主备人 时间： 年 月 日
课 题
数列的概念与简单表示法
第 课时
教
学
目
标
1．知识与技能
了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与an的关系．
2．过程与方法
经历数列知识的形成及理解运用的过程．
3．情感、态度与价值观
通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣．
教学重点
根据数列的递推公式写出数列的前几项．
教学难点
理解递推公式与通项公式的关系．
教学方法
讲练结合
教学过程：步骤、内容、教学活动
二次备课
递推公式
【问题导思】　
某会议室有若干排座位，每一排的座位数构成的数列设为{an}．从第二排起，后一排都比前一排多2个座位．(如图)
1．第n排与第n－1排座位数有什么关系？
【提示】　an＝an－1＋2(n∈N，且n≥2).
2．若第一排有7个座位，数列{an}是怎样的一列数？
【提示】　7,9,11,13,15，…如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．用递推公式给出数列的方法叫做递推法.
递推公式的应用
　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．
【思路探究】　(1)已知a1，怎样求a2？进而怎样求a3，a4，a5?
(2)由通项写出的5项，怎样归纳{an}的通项公式？
【自主解答】　∵a1＝1，an＋1＝，
∴a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，a5＝＝，
∴它的前5项依次是1，，，，.
它的前5项又可写成，，，，，
故它的一个通项公式为an＝.
1．在递推公式中令n＝1,2,3,4,5，…，结合a1的值即可以求出数列的前几项．
2．解答本题归纳猜想通项公式是难点，在写出数列的前几项时，一般不对其化简，目的是利于观察规律，进而写通项公式．
已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋1，写出数列的前6项并归纳出{an}的通项公式．
　已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前5项，猜想an并加以证明．
【思路探究】　(1)你能写出数列的前5项并猜想出an吗？(2)若把条件an＋1＝2an变形为＝2，你能依此递推下去，直到产生＝2吗？(3)如果把产生的这些式子相乘会有什么结论产生？
1．本例求通项公式的方法称为累乘法，它首先将递推公式变形，然后递推出n－1个具体的式子，通过相乘约分，结合a1的值可以求得通项公式．
2．(1)一般地，形如an＝f(n)·an－1(n≥2)的数列的递推公式常用累乘法求通项公式：an＝··…···a1.
(2)形如an－an－1＝f(n)(n≥2)的数列的递推公式常用累加法求通项公式：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1.
已知数列{an}中，a1＝1，－＝，求数列{an}的通项公式．
　已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋9n＋3，求当n为何值时，an有最大值？并求出最大值．
【思路探究】　(1)通项公式是什么函数的形式？能否利用函数求出最大值？(2)若设an为{an}中的最大项，则an应满足什么关系式？能否利用此关系式求得n值？
【自主解答】　法一　∵an＝－2n2＋9n＋3＝－2(n－)2＋.
又∵n∈N*，∴当n＝2时，an取得最大值13.
法二　设an为数列中的最大项，
则
∴
解之得：≤n≤，
∴n＝2，a2＝13，
∴当n＝2时，an取得最大值13.
判断数列最大项和最小项的方法一般有两种：一是利用函数的单调性和最值，即参照数列对应的函数的性质的研究方法，由函数的单调性过渡到数列的增减性，然后判断最值；二是利用通项求解，即通过判断不等式组(或)有无正整数解来判断．
忽略数列的项可能相等致误
　已知an＝(n∈N*)，则数列{an}中有没有最大项？如果有，求出最大项；如果没有，请说明理由．
【错解】　设an最大(n≥2)，
则即
解得8又因为n∈N*，所以n不存在，
故数列{an}中没有最大项．
【错因分析】　若an最大，则an与an－1或an＋1可能同时最大，上面解题错在认为数列中的项都不相等，因此列出的不等式组未含“等号”．
【防范措施】　对于数列{an}，若第n项最大，则而不是
【正解】　设an最大(n≥2)，则
即
解得8≤n≤9.又∵n∈N*，∴n＝8或9.
故数列{an}的最大项为a8＝a9＝.
小结
1．数列的递推公式是除通项公式外的另一种表达数列的方法，要注意它与通项公式的区别．
2．用递推公式求通项公式是常见的题型，本节所介绍的累加与累乘法是常用方法．
3．求数列的最值是数列单调性的具体应用，要结合函数求最值的方法加以理解，同时注意数列本身的性质.
板
书
设
计
教
学
反
思