高中数学人教A版必修五教案 2.2.1等差数列的概念与通项公式

格一教案7
章节
2.2.
课时
1
备课人

二次备课人
课题名称
2.2.1等差数列的概念与通项公式
三维目标
1、知识与技能：
（1）通过实例，理解等差数列的概念，能根据定义判断一个数列是等差数列;
（2）探索并掌握等差数列的通项公式，及通项公式的简单应用。
（3）了解等差数列的函数特征。
2、情感态度与价值观：(
通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。
3、过程与方法
（1）分小组合作探究，让学生对生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念。
（2）通过探索，推导等差数列的通项公式，并解决相应的问题。通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
（3）让学生用所学的知识解决相关的问题，归纳整理本节所学知识。
重点目标
理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式。
难点目标
等差数列通项公式推导。
导入示标
上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。
高斯10岁时计算的数列：1， 2，3，4，…，100
姚明一周每天罚球个数的数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000
运动鞋尺码的数列：
思考1：请同学们仔细观察一下，看看以上三个数列有什么共同特征？
共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（注：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列
目标三导
二．探究新知
学做思一:等差数列的定义
导学:请总结等差数列的概念：
等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
导做:请同学们尝试着用数学语言描述等差数列的定义。
练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出公差d, 如果不是，说明理由。
（1）1,1,1,1，…d=0
（2）4,7,10,13,16，…d=3
导思：
判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断每一项（从第2项起）与它的前一项的差是不是同一个常数,而且公差可以是正数，负数，也可以为0。
学做思二:等差数列的通项公式
导学:请同学们观察数列：-1，1，3，5，7,…
并思考：在数列中=？我们该如何求解呢？如何求一般等差数列的通项公式？
导做;等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：
不完全归纳法：即：
即：
即：
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
迭加法：｛｝是等差数列，所以：
……
两边分别相加得：所以：
由上述关系还可得：
即：
则：=
即等差数列的第二通项公式∴ d=
导思：等差数列的通项公式：
求 -1，1，3，5，7,…在数列中=？
三、例题分析
例1 ：⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.
导学：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.
解：由题意得：a1=8,d=5-8=-3,n=20
∴这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d=-3n+11 ∴a20=11-3×20=-49
导思：关键是求出通项公式.
⑵- 401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
导学：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得等于这一数.
解：由a1=-5，d =-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式为an=-5-4(n-1)=-4n-1.
由题意得-401= -4n-1,解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项.
例2 ：在等差数列{an}中，已知a6=12 ，a18=36 , 求通项公式an.
导思：求等差数列通项公式的关键步骤：
求基本量和d：根据已知条件列方程，由此解出和d，再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称方程思想。
这是数学中的常用思想方法之一。
例3已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
导学：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数。
导思：①若p=0，则{}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0, 则{}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
③数列{}为等差数列的充要条件是其通项=pn+q (p、q是常数)，称其为第3通项公式。
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。
达标检测
1．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是(　　)
A．15　　　　　　　　　B．30
C．31 D．64
解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，由条件得解得
则a12＝a1＋11d＝－＋11×＝15.
2．已知等差数列{an}中各项都不相等，a1＝2，且a4＋a8＝a，则公差d＝(　　)
A．0 B.
C．2 D．0或
解析：根据题意知d≠0，a4＋a8＝a?a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2.又a1＝2，则4＋10d＝(2＋2d)2，解得d＝或d＝0(舍去)，故选B.
3．等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝4，如果an＝2 019，则序号n等于(　　)
A．502 B．503
C．504 D．505
解析：由an＝a1＋(n－1)d得2 019＝3＋4(n－1)．
解得n＝505.
4已知等差数列{an}中，d＝－，a7＝8，则a1＝________.
解析：∵a7＝a1＋6d，∴8＝a1＋6×
∴a1＝10.
5等差数列{an}的前三项依次为x,2x＋1,4x＋2，则它的第5项为________．
解析：由x,2x＋1,4x＋2成等差数列，得2(2x＋1)＝x＋4x＋2，解得x＝0，∴a1＝0，a2＝1，公差d＝1，故a5＝a1＋4d＝4.
反思总结
通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：－=d ，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：和=pn+q (p、q是常数)的理解与应用.
课后练习
同步解析与测评