高中数学人教A版选修4-5 4.1 数学归纳法 教案

4.1 数学归纳法
教学目标：
1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；
2. 进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。
教学重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。
教学难点：数学归纳法中递推思想的理解。
教学过程：
一、创设情境，引出课题
（1）不完全归纳法：
今天早上，我曾疑惑，怎么一中（永昌一中）只招男生吗？因为清晨我在学校门口看到第一个进校园的是男同学，第二个进校园的也是男同学，第三个进校园的还是男同学。于是得出结论：学校里全部都是男同学，同学们说我的结论对吗？
（这显然是一个错误的结论，说明不完全归纳的结论是不可靠的，进而引出第二个问题）
（2）完全归纳法：
一个火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是红色的，抽出第二根也是红色的，请问怎样验证五根火柴都是红色的呢？
（将火柴盒打开，取出剩下的火柴，逐一进行验证。）
注：对于以上二例的结果是非常明显的，教学中主要用以上二题引出数学归纳法。
结论：不完全归纳法→结论不可靠；
　　 完全归纳法→结论可靠。
问题：以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？（完全归纳法）
情境一：（播放多米诺骨牌视频）
问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？
二、讲授新课：
探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？
条件一：第一张骨牌倒下；
条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。
探究二：同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对怎样证明有些启发？
得出结论：证明的两个步骤：
（1）证明当时，命题成立；
（2）假设当时命题成立，证明当时命题也成立。
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；
（2）（归纳递推）假设时命题成立，证明当时，命题也成立。
只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从开始的所有正整数都成立。
上述方法叫做数学归纳法。
三、应用举例：
例1用数学归纳法证明：
证明：（1）当时，左边，右边，等式成立；
（2）假设当（k≥1,kN*）时，，那么：
，则当时也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何都成立。
注：①对例1，首先说明在利用数学归纳法证题时，当时的证明必须利用的归纳假设，
例2：用数学归纳法证明求证：能被6 整除.
[证明]：. 当时，13+5×1=6能被6整除，命题正确；
. 假设时命题正确，即能被6整除，
∴当时，
，
∵两个连续的整数的乘积是偶数，能被6整除，
能被6整除，即当时命题也正确，
由知命题时都正确.
即：当时，等式成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何都成立。
注：上例可让学生独立完成，教师板书写现完整过程，以突出数学归纳法证题的一般步骤。
例3：平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分.
分析要点：n=k+1时，在k+1个圆中任取一个圆C，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆C与k个圆有2k个交点，这2k个交点将圆C分成2k段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了2k个平面部分.因此，f(k+1)=f(k)+2k=k2－k+2+2k=(k+1)2－(k+1)+2.
证明：（略）
四、巩固练习：：
（1） 求证: （n∈N*）.
（2） 用数学归纳法证明：
（Ⅰ）能被264整除；
（Ⅱ）能被整除（其中n，a为正整数）
（3） 是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
（4）教材50 1、2、5题
五、课堂小结：
两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.
六、布置作业：
教材50 4、5、6题.