人教A版高中数学必修四 第三章习题课 教案

第三章 三角恒等变换习题课1
一、教学目标：
知识与技能：
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；
3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
过程与方法：
通过知识回顾及典例分析的过程，让学生熟悉基本题型，形成解决问题的思路。培养学生分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法．
情感、态度与价值观
通过复习及解题训练归，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从知识系统化的观念，帮助学生构建良好的知识网络。
二．重点难点?
重点：掌握两角和（差）的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式，并能解决常见问题。
难点：知识的综合运用及分类和转化思想。
三、教材与学情分析
求三角函数值及化简问题是三角函数中的基本问题之。运用两角和（差）及二倍角公式进行变形是求三角函数值的基本方法。在解题训练中培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（一）.温故知新
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α?β)＝cos αcos β±sin αsin β； tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin αcos α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan 2α＝.
3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或
f(α)＝·cos(α－φ).
（二）自我检测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)　
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β
＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(　　)
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
解析　(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ，k∈Z.
答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.若tan θ＝－，则cos 2θ＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
解析　cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝.
答案　D
3.若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β等于(　　)
A. B. C. D.
解析　tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝，故选A.
答案　A
4. in 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________.
解析　sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.
答案　
（三）典例解析
考点一　三角函数式的化简
【例1】 cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝(　　)
A.sin(α＋2β) B.sin α
C.cos(α＋2β) D.cos α
解析　cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.
答案　D　
规律方法：　三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.
【训练1】 (1)＋2的化简结果是________.
(2)化简：＝________.
解析　(1)原式＝＋2＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|，
因为π<4<π，所以cos 4<0，且sin 4(2)原式＝＝＝＝＝cos 2α.
答案　(1)－2sin 4　(2)cos 2α
考点二　三角函数式的求值
【例2】 (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________.
(2)已知cos＝，<α<，则的值为________.
(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________.
解析　(1)原式＝·
sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·)·
cos 10°＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.
(2)＝＝＝sin 2α＝sin 2α·tan.
由<α<得<α＋<2π，又cos＝，所以sin＝－，tan＝－.
cos α＝cos＝－，sin α＝－，sin 2α＝.所以＝－.
答案　(1)　(2)－　
规律方法　(1)已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子，再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手)，最后将已知条件及其变形代入所求式子，化简求值.
(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.
【训练2】 (1)4cos 50°－tan 40°＝(　　)
A. B.
C. D.2－1
(2)已知sin＋sin α＝－，－<α<0，则cos α的值为________.
(3)已知cos α＝，cos(α－β)＝(0<β<α<)，则tan 2α＝________，β＝________.
解析　(1)原式＝4sin 40°－＝＝
＝＝
＝＝，故选C.
(2)由sin＋sin α＝－，得sin α＋cos α＝－，sin＝－.
又－<α<0，所以－<α＋<，于是cos＝.
所以cos α＝cos＝.
(3)∵cos α＝，0<α<，∴sin α＝，tan α＝4，∴tan 2α＝＝＝－.
∵0<β<α<，∴0<α－β<，∴sin(α－β)＝，∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，∴β＝.
答案　(1)C　(2)　(3)－　
考点三　三角变换的简单应用
【例3】 已知△ABC为锐角三角形，若向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量q＝(sin A－cos A，1＋sin A)是共线向量.
(1)求角A；
(2)求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.
解　(1)因为p，q共线，所以(2－2sin A)(1＋sin A)＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)，则sin2A＝.
又A为锐角，所以sin A＝，则A＝.
(2)y＝2sin2 B＋cos＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B＝sin 2B－cos 2B＋1＝sin＋1.
因为B∈，所以2B－∈，所以当2B－＝时，函数y取得最大值，此时B＝，ymax＝2.
规律方法　解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.
【训练3】已知函数f(x)＝(2cos2x－1)·sin 2x＋cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间；
(2)若α∈(0，π)，且f＝，求tan的值.
解　(1)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin，
∴f(x)的最小正周期T＝.
令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋π，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z.
∴f(x)的单调减区间为，k∈Z.
(2)∵f＝，即sin＝1.
因为α∈(0，π)，－<α－<，所以α－＝，故α＝.因此tan＝＝＝2－.
六、课堂小结
1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.
(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；
(2)变名：尽可能减少函数名称；
(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.
2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思