人教A版高中数学必修五 3.2 一元二次不等式及其解法 教案

3.2 一元二次不等式及其解法
一、教学目标：
知识与技能：
1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程;
2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系;
3.会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.?
过程与方法：
采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想;
情感、态度与价值观：
通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观.
二．重点难点?
重点：1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.
2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.
难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.
三、教材与学情分析
由具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的一元二次不等式关系并鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，及数形结合思想，感受函数思想在解决二次不等式的作用。激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，激发学生的学习兴趣.
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（一）导入新课
播放2014“新闻联播最萌结尾”，为学生创设如下问题情境：
春天来了，熊猫饲养员计划在靠墙的位置为它们圈建一个矩形的室外活动室。现有可以做出20m栅栏的材料，要求使得活动室的面积不小于42m2，你能确定与墙平行的栅栏的长度范围吗？
分析可得如下数学模型：
设与墙平行的栅栏长度为x（0则依题意得：
整理得： x2-20x+84≤0
师生活动：针对问题情境，在教师的引导下，展开课堂讨论，分析得出以上数学模型。
设计意图：舍弃课本上枯燥的收费问题，换用一个鲜活的实例吸引学生的注意力，激发学习兴趣，以便顺利导入新课。
（2）观察归纳，形成概念
观察式子： x2-20x+84≤0
抢答竞赛： （1）该式子是等式还是不等式？
（2）该式中含有几个未知数？
（3）未知数的最高次数是几次？
通过抢答竞赛，你能归纳出一元二次不等式的定义吗？
定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
其一般形式为： ax2+bx+c＞0 (a≠0) ax2+bx+c＜0 (a≠0)
ax2+bx+c≥0 (a≠0) ax2+bx+c≤0 (a≠0)
师生活动：让学生观察所得式子，抢答以上三个问题。在此基础上，学生自己归纳一元二次不等式的定义，教师帮助明确一元二次不等式的一般形式。
设计意图：通过抢答竞赛，即活跃了课堂气氛，也为学生归纳一元二次不等式定义做好知识准备。整个环节意在让学生经历数学知识的产生过程，体会成功的喜悦。
（3）辨析讨论，深化概念
抢答竞赛：判断下列式子是不是一元二次不等式？
（1）xy+3≤0 （2）(x+2)(x-3)<0
（3）x3+5x-6>0 （4）ax2+bx+c>0
师生活动：教师再次展开抢答竞赛，其中命题（4）的判断中，教师要说明二次项系数a可能为0，
也可能不为0。
设计意图：通过问题辨析，加深概念的理解，让学生区别一元二次不等式与其他不等式．（1）题可使学生明确定义中“一元”的意思，（3）（4）使学生明确定义中“二次”的意思．
2. 一元二次不等式解法的探究
此时，学生已经认识到x2-20x+84≤0是一个一元二次不等式，那么如何确定这个不等式的解集，以得到熊猫活动室栅栏的长度范围呢？
回忆旧知，寻找方案
观察一元二次不等式x2-20x+84≤0左边的形式，在学过的哪些知识中出现过？
一元二次方程 x2-20x+84=0
二次函数 y= x2-20x+84
猜想：利用三者之间的关系来解一元二次不等式x2-20x+84≤0
师生活动：根据“温故而知新”的教育理念，教师引导学生观察这个一元二次不等式左边的形式，在学过的哪些知识中出现过？由此得到求这个一元二次不等式解集的猜想方案。
设计意图：在教师的引导下，让学生思考、发现解决问题的关键点，避免了传统的填鸭式教学。
探究新知，从形到数
环节一：
画出二次函数y= x2-20x+84的图象？
环节二：
观看几何画板动画，随着动点C横坐标x的变化，纵坐标y的变化情况
思考回答：
当x取哪些值时，y>0?
当x取哪些值时，y=0?
当x取哪些值时，y<0?
环节三：
（1）方程x2-20x+84=0的根是
（2）不等式x2-20x+84≥0的解集是
（3）不等式x2-20x+84≤0的解集是
师生活动：学生进行以上三个环节，最终得出不等式x2-20x+84≤0的解集，从而冲出困惑，顺利解决“怎样设计熊猫活动室”的问题。
设计意图：以上三个环节借助二次函数图象的直观性，引导学生对图象上任意一点的纵坐标进行跟踪观察，以获得对一元二次不等式解集的感性认识，从而培养了学生从形到数的转化能力。
类比讨论，获得解法
环节四：
如果把函数y=x2-20x+84变为y=ax2+bx+c(a>0)
1.方程ax2+bx+c=0的根是
2.函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有几个交点？
3.不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集是
4.不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集是
可得下表：

二次函数
（）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
师生活动：学生仿照熊猫活动室问题的解决过程，经过小组研讨、代表发言、集体交流等一系列活动，共同得出“三个二次”之间的关系，从而找到了利用二次函数图象解一元二次不等式的方法。
设计意图：整个过程既能提高学生从特殊到一般的归纳能力，体会数形结合和分类讨论思想在解决问题中的运用，又能让每名学生充分发挥各自的长处和优势，促进共同进步。
3.一元二次不等式解法的应用
自主探究
求不等式 x2－5x≤0 的解集.
求不等式 4x2－4x＋1 > 0 的解集.
求不等式 －x2 ＋2x－3 > 0 的解集.
思考：解一元二次不等式的一般步骤？
总结：（1）把二次项系数化为正数
（2）计算判别式△
（3）解对应的一元二次方程
（4）根据一元二次方程的根，结合图象，写出不等式的解集
师生活动：学生先自主探究课本上包含引例在内的三道例题，学习其规范的解题格式，并思考解一元二次不等式的一般步骤。在教师的引导下，展开课堂讨论，师生共同总结出解一元二次不等式的四个步骤。
设计意图：学生通过探究会发现当二次项系数小于零时，可以先化为正再求解，而且这三道例题也分别体现了△>0、△=0、△<0对不等式解集的影响，具有典型性、层次性和学生的可接受性。
演练反馈——（演板）
1.求不等式 -2x2+x-5<0 的解集.
2.求不等式 x2-4x+4>0 的解集.
3.求不等式 log2x2≤log2(3x+4) 的解集.
4.求函数y=的定义域.
师生活动：学生上台演板，教师巡视课堂，给予个别指导。演板结束后，针对学生暴露出的问题，如解题不规范、运算错误等做详细点评。
设计意图：通过练习，反馈教学情况，内化学生所学知识。同时这几道练习题由浅入深，并能结合函数定义域和对数函数等内容，可以有效帮助学生实现知识间的融会贯通。
一元二次不等式的解法是近几年来高考综合题的热点，那么在掌握了解法步骤后能否百无一失、稳操胜券，还取决于是否拥有良好的解题习惯和数学素养。
六、课堂小结
1.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）.
2.求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序.
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思