人教A版高中数学必修五 3.3.2 简单的线性规划问题 教案
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学必修五 3.3.2 简单的线性规划问题 教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 33.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-17 16:00:23 | ||
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文档简介
3.3.2 简单的线性规划问题
一、教学目标：
知识与技能：
（1）、了解，了解线性约束条件、（线性）目标函数、线性规划问题、可行解、可行域和最优解等概念；
（2）、掌握求解线性规划问题的步骤与方法。
过程与方法：
（1）、让学生从实际生活中发现数学问题，把数学问题与实际生活相结合，培养学生发现问题、
提出问题的能力；
（2）、在画图的过程中培养学生的分析能力、观察能力、理解能力 。
（3）、在目标函数变式训练的中，培养学生的类比能力、探索能力。
（4）、培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力。
情感、态度与价值观：
（1）、把身边的实际问题数学化，让学生品尝学习数学的乐趣。
（2）、培养学生勤于思考、勇于探索的精神；
（3）、让学生能用运动与静止的辩证关系处理问题，开拓学生的思维活动。
二．重点难点?
重点：求解线性规划问题的步骤与方法；
难点：如何提高学生分析问题的能力。
三、教材与学情分析
本节课内容是在学生学习了直线与直线方程的关系，初步了解了二元一次不等式（组）的几何意义的基础上，进一步研究用图解法解决线性规划问题，使学生体会数与形的转化过程，逐步形成学生应用几何图形解决代数问题的意识．
面对基础较为薄弱的学生，课堂教学容量不能太大，而本节课内容需要频繁地在代数和几何上转换，学生理解起来相当的艰难．本教学设计力求让学生充分地体验数与形的转化，适当使用多媒体，让学生更 直观地理解代数问题的几何形态，感受用“图解法”解决简单的线性规划问题的必要性和有效性，进而掌握解题基本方法和步骤．作为解题的步骤，若老师没有经过仔细斟酌想要把过程表述清楚都有一定难度，更何况是学生，因此，对于刚接触新知识的学生来说必需明确解题的步骤，这样也有助于学生更深入地理解和掌握知识．
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（一）导入新课
在这堂课，我准备把我去兴农中学参观的一些图片用动画的形式播放给学生看，然后指出借助社会力量办学是教育发展的一个方向，兴农中学是贵州办得不错的一所私立中学，但是办学不是租用几间教室，招用几个老师就能解决问题的，必须要考虑到很多具体问题。假设你们以后工作了，并且有了一定的经济基础，并且想为贵州的教育事业做出一点自己的贡献，想办一所完全中学，你至少应该考虑哪些重要问题？
学生会指出一些，可能不全，也可能更多。然后我揉合这些观点，并提出问题：
假设某人准备投资1200万元办一所完全中学，为了考虑社会效益和经济效益,对该地区教育市场教育市场进行调查，得出一组数据图表（以班级为单位）：
?
班级学生数
每班配合教师数
硬件设施（万元）
教师年薪（万元）
初中
50
2.0
28
1.2
高中
40
3.0
58
1.6
根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准应适当控制，预计除书本费、办公费以外每人每年可收取600元，高中生每人每年可收取1500元. 因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜，教师实行聘任制. 初高中的教育周期均为3年，请你合理安排招生计划，使年利润最大？[ ]
【设计意图】从身边发现数学问题，通过学生对现实生活中问题的关注，提高学生提出问题的能力，激发学生的学习兴趣，引发学生对实际问题的思考。
（二）分析问题，形成概念
如何把这个问题转化为数学问题？我准备让学生先自主探究，再分组讨论交流，再请一组的代表上来演示（用投影演示，不当之处适当修正）：
解：设初中班编制为x班，高中班编制为y班，年利润为z（万元），则
①Z = 0.0650x + 0.1540y – 2.01.2x – 3.01.6y = 0.6x + 1.2y
引出一些概念：线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划（在一定的约束条件下使某目标达到最大或最小的问题称为数学规划，而当约束条件和目标函数都是一次的（又称线性的），我们称这种规划问题为线性规划。）
那么如何解决这个求最值的问题呢？我准备从以下几个方面着手：
（1）学生基于上一课时的学习，一般都能意识到要将不等式组①表示成平面区域。
于是问题转化为当点（x，y）在此平面区域内运动时，如何求z = 0.6x + 1.2y 的最大值的问题。
再引出一些概念：[ ]可行解、可行域、最优解。
（2）那么如何求最优解？我准备试着这样引导学生：把目标函数变形成我们熟悉的形式：y= –x+z,学生很自然地想到直线的方程。该直线的斜率为–,直线在y轴上的截距为z。当z取不同的值时可得到一组平行直线，于是问题又转化为当这组直线与此平面区域有公共点时，如何求z的最大值。
再问：z 的几何含义是什么呢？学生回答：直线在y轴上的截距的1.2倍。又问：要使z最大，只需……，学生会接着：只需直线在y轴上的截距最大。
接着我可以动画演示直线的变化情况：
如图，当直线过原点时，得到直线l0: y= –x, （我要强调l0与直线x+y=30及28x+58y=1200的斜率的关系），平移该直线，当直线与可行域有公共点时，由图可知，当直线经过点A(18,12)时，直线在在y轴上的截距最大。因此(18,12)就是最优解。
（3）我再提问 z 的最大值是多少，学生就能响亮的回答：把x=18,y=12代入目标函数即可，所以最大值为0.618+1.212=25.2（万元）。
【设计意图】首先培养学生建立数学模型的能力。再让学生自主探究，通过恰当的引导，从而使学生能更好地理解数学概念和方法（由对实际问题的解决自然地过渡到对新概念的讲解，使得知识的衔接较为顺畅，概念的形成水到渠成），培养学生观察能力、分析能力、理解能力，这样既突出了重点，又化解了难点。
3、反思过程，提炼方法
解题回顾是解题过程中的一个重要环节，常被学生忽略。我准备通过借用多媒体，动态地演示解题过程，引导学生归纳总结、提炼求解线性规划问题的基本步骤：（可以先让学生总结，我再补充更正）
（1） 根据实际应用问题写出约束条件及目标函数（如果不是应用题，该步骤就不要）；
（2） 画出约束条件所确定的平面区域；
（3） 把目标函数变形，确定z的几何含义；
（4） 平移直线l 0，观察确定可行域内最优解的位置；
（5） 通过解方程组求出最优解；
（6） 将最优解代入目标函数求出最值。
【设计意图】培养学生对知识归纳总结的能力，从而可以做到举一反三，避免题海战术，
避免解题的盲目性。
4、变式演练，深入探究
为了能让学生更好地理解线性规划问题的求解，我准备在例1的基础上设计如下几个变式：（可以首先让学生着重分析 z 的几何含义，再根据上述解题步骤（可适当修改）解题）
变式1：如果目标函数改为z=2x–3y呢？
变式2：如果目标函数改为z=ax+y，并使z取得最大值的最优解有无数个，如何求a的值；
变式3：如果目标函数改为z=呢？
变式4：如果目标函数改为z=呢？
【设计意图】进一步明确目标函中z的几何意义，培养学生的类比能力、探索能力、思维能力。
5、运用新知，解决问题
为能及时巩固所学知识，反馈教学信息，我准备安排了如下练习：
练习：教材第70页，练习第1题第（2）小题。
【设计意图】及时检验学生掌握所学新知识的情况，发现学生在解题过程中是否存在问题。争取做到及时发现，及时纠正。
六、课堂小结
为了能使学生对这堂课所学的知识有一个清晰而完整的印象，我准备从以下两方面做个小结。
（1）这节课的重点是什么？我们应该掌握哪些知识？
（2）从这节课中我们学到了哪些思考问题的方法？我们应该从哪些方面提高自己的能力？
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思
（1）与学生交流，反思自己的讲解有没有从根本上解决学生存在的问题，有没有提高学生的
思维能力，教学是否达到了预期目标；
（2）与同事交流，反思设计的依据、出发点，反思教学重心、基本教学过程，
反思富有创意的素材或问题等。
（3）通过批改作业，反思知识的渗透是否到位，学生是否理解了问题的本质性的东西等。
（4）从参考资料、教学信息等方面反思。学习相关的数学教育理论，参考多方面的教学信息，可以丰富我的知识水平，开阔我的教学思路，使我理智的看待自己教学活动中“熟悉的”、“习惯性”的行为，能使我更大限度的做出有效的教学决策。
一、教学目标：
知识与技能：
（1）、了解，了解线性约束条件、（线性）目标函数、线性规划问题、可行解、可行域和最优解等概念；
（2）、掌握求解线性规划问题的步骤与方法。
过程与方法：
（1）、让学生从实际生活中发现数学问题，把数学问题与实际生活相结合，培养学生发现问题、
提出问题的能力；
（2）、在画图的过程中培养学生的分析能力、观察能力、理解能力 。
（3）、在目标函数变式训练的中，培养学生的类比能力、探索能力。
（4）、培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力。
情感、态度与价值观：
（1）、把身边的实际问题数学化，让学生品尝学习数学的乐趣。
（2）、培养学生勤于思考、勇于探索的精神；
（3）、让学生能用运动与静止的辩证关系处理问题，开拓学生的思维活动。
二．重点难点?
重点：求解线性规划问题的步骤与方法；
难点：如何提高学生分析问题的能力。
三、教材与学情分析
本节课内容是在学生学习了直线与直线方程的关系，初步了解了二元一次不等式（组）的几何意义的基础上，进一步研究用图解法解决线性规划问题，使学生体会数与形的转化过程，逐步形成学生应用几何图形解决代数问题的意识．
面对基础较为薄弱的学生，课堂教学容量不能太大，而本节课内容需要频繁地在代数和几何上转换，学生理解起来相当的艰难．本教学设计力求让学生充分地体验数与形的转化，适当使用多媒体，让学生更 直观地理解代数问题的几何形态，感受用“图解法”解决简单的线性规划问题的必要性和有效性，进而掌握解题基本方法和步骤．作为解题的步骤，若老师没有经过仔细斟酌想要把过程表述清楚都有一定难度，更何况是学生，因此，对于刚接触新知识的学生来说必需明确解题的步骤，这样也有助于学生更深入地理解和掌握知识．
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（一）导入新课
在这堂课，我准备把我去兴农中学参观的一些图片用动画的形式播放给学生看，然后指出借助社会力量办学是教育发展的一个方向，兴农中学是贵州办得不错的一所私立中学，但是办学不是租用几间教室，招用几个老师就能解决问题的，必须要考虑到很多具体问题。假设你们以后工作了，并且有了一定的经济基础，并且想为贵州的教育事业做出一点自己的贡献，想办一所完全中学，你至少应该考虑哪些重要问题？
学生会指出一些，可能不全，也可能更多。然后我揉合这些观点，并提出问题：
假设某人准备投资1200万元办一所完全中学，为了考虑社会效益和经济效益,对该地区教育市场教育市场进行调查，得出一组数据图表（以班级为单位）：
?
班级学生数
每班配合教师数
硬件设施（万元）
教师年薪（万元）
初中
50
2.0
28
1.2
高中
40
3.0
58
1.6
根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准应适当控制，预计除书本费、办公费以外每人每年可收取600元，高中生每人每年可收取1500元. 因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜，教师实行聘任制. 初高中的教育周期均为3年，请你合理安排招生计划，使年利润最大？[ ]
【设计意图】从身边发现数学问题，通过学生对现实生活中问题的关注，提高学生提出问题的能力，激发学生的学习兴趣，引发学生对实际问题的思考。
（二）分析问题，形成概念
如何把这个问题转化为数学问题？我准备让学生先自主探究，再分组讨论交流，再请一组的代表上来演示（用投影演示，不当之处适当修正）：
解：设初中班编制为x班，高中班编制为y班，年利润为z（万元），则
①Z = 0.0650x + 0.1540y – 2.01.2x – 3.01.6y = 0.6x + 1.2y
引出一些概念：线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划（在一定的约束条件下使某目标达到最大或最小的问题称为数学规划，而当约束条件和目标函数都是一次的（又称线性的），我们称这种规划问题为线性规划。）
那么如何解决这个求最值的问题呢？我准备从以下几个方面着手：
（1）学生基于上一课时的学习，一般都能意识到要将不等式组①表示成平面区域。
于是问题转化为当点（x，y）在此平面区域内运动时，如何求z = 0.6x + 1.2y 的最大值的问题。
再引出一些概念：[ ]可行解、可行域、最优解。
（2）那么如何求最优解？我准备试着这样引导学生：把目标函数变形成我们熟悉的形式：y= –x+z,学生很自然地想到直线的方程。该直线的斜率为–,直线在y轴上的截距为z。当z取不同的值时可得到一组平行直线，于是问题又转化为当这组直线与此平面区域有公共点时，如何求z的最大值。
再问：z 的几何含义是什么呢？学生回答：直线在y轴上的截距的1.2倍。又问：要使z最大，只需……，学生会接着：只需直线在y轴上的截距最大。
接着我可以动画演示直线的变化情况：
如图，当直线过原点时，得到直线l0: y= –x, （我要强调l0与直线x+y=30及28x+58y=1200的斜率的关系），平移该直线，当直线与可行域有公共点时，由图可知，当直线经过点A(18,12)时，直线在在y轴上的截距最大。因此(18,12)就是最优解。
（3）我再提问 z 的最大值是多少，学生就能响亮的回答：把x=18,y=12代入目标函数即可，所以最大值为0.618+1.212=25.2（万元）。
【设计意图】首先培养学生建立数学模型的能力。再让学生自主探究，通过恰当的引导，从而使学生能更好地理解数学概念和方法（由对实际问题的解决自然地过渡到对新概念的讲解，使得知识的衔接较为顺畅，概念的形成水到渠成），培养学生观察能力、分析能力、理解能力，这样既突出了重点，又化解了难点。
3、反思过程，提炼方法
解题回顾是解题过程中的一个重要环节，常被学生忽略。我准备通过借用多媒体，动态地演示解题过程，引导学生归纳总结、提炼求解线性规划问题的基本步骤：（可以先让学生总结，我再补充更正）
（1） 根据实际应用问题写出约束条件及目标函数（如果不是应用题，该步骤就不要）；
（2） 画出约束条件所确定的平面区域；
（3） 把目标函数变形，确定z的几何含义；
（4） 平移直线l 0，观察确定可行域内最优解的位置；
（5） 通过解方程组求出最优解；
（6） 将最优解代入目标函数求出最值。
【设计意图】培养学生对知识归纳总结的能力，从而可以做到举一反三，避免题海战术，
避免解题的盲目性。
4、变式演练，深入探究
为了能让学生更好地理解线性规划问题的求解，我准备在例1的基础上设计如下几个变式：（可以首先让学生着重分析 z 的几何含义，再根据上述解题步骤（可适当修改）解题）
变式1：如果目标函数改为z=2x–3y呢？
变式2：如果目标函数改为z=ax+y，并使z取得最大值的最优解有无数个，如何求a的值；
变式3：如果目标函数改为z=呢？
变式4：如果目标函数改为z=呢？
【设计意图】进一步明确目标函中z的几何意义，培养学生的类比能力、探索能力、思维能力。
5、运用新知，解决问题
为能及时巩固所学知识，反馈教学信息，我准备安排了如下练习：
练习：教材第70页，练习第1题第（2）小题。
【设计意图】及时检验学生掌握所学新知识的情况，发现学生在解题过程中是否存在问题。争取做到及时发现，及时纠正。
六、课堂小结
为了能使学生对这堂课所学的知识有一个清晰而完整的印象，我准备从以下两方面做个小结。
（1）这节课的重点是什么？我们应该掌握哪些知识？
（2）从这节课中我们学到了哪些思考问题的方法？我们应该从哪些方面提高自己的能力？
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思
（1）与学生交流，反思自己的讲解有没有从根本上解决学生存在的问题，有没有提高学生的
思维能力，教学是否达到了预期目标；
（2）与同事交流，反思设计的依据、出发点，反思教学重心、基本教学过程，
反思富有创意的素材或问题等。
（3）通过批改作业，反思知识的渗透是否到位，学生是否理解了问题的本质性的东西等。
（4）从参考资料、教学信息等方面反思。学习相关的数学教育理论，参考多方面的教学信息，可以丰富我的知识水平，开阔我的教学思路，使我理智的看待自己教学活动中“熟悉的”、“习惯性”的行为，能使我更大限度的做出有效的教学决策。